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1、第十六讲 一、质数、合数和分解质因数一、质数、合数和分解质因数 数 论整除 【基本概念和知识基本概念和知识】 1质数和合数 一个数除了 1 和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数） 。 一个数除了 1 和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。 要特别记住：1 不是质数，也不是合数。2质 因数与分解质因数 如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。 【例题例题】 例例 1 1：三三个个连连续续自自然然数数的的乘乘积积是是 210210，求这三个数。，求这三个数。 210=2357 可知这三个数是 5、6、7。 例例 2 2：两两个个质质数数的的和和是是 4040
2、，求这两个质数的乘积的最大值是多少？，求这两个质数的乘积的最大值是多少？ 解：把 40 表示为两个质数的和，共有三种形式： 40=1723=1129=337 1723=3911129=319337=111， 所求的最大值是 391。 例例 3 3：自自然然数数 123456789123456789 是是质质数数，还还是是合合数数？为为什什么么？ 解：123456789 是合数。 因为它除了约数 1 和它本身，至少还有约数 3，所以它是一个合数。 例例 4 4：连续：连续 9 9 个自然数中至多有几个质数？为什么？个自然数中至多有几个质数？为什么？ 解：如果这连续九个自然数在 1 与 20 之间
3、，那么显然其中最多有 4 个质数（如：19 中有 4 个质 数 2、3、5、7） 。 如果这连续的九个自然数中最小的不小于 13，那么其中的偶数显然为合数，而其中奇数的个数最 多有 5 个。这 5 个奇数中必只有一个个位数是 5，因而 5 是这个奇数的一个因数，即这个奇数是合数。这 样，至多另 4 个奇数都是质数。 综上所述，连续九个自然数中至多有 4 个质数。 例例 5 5：把把 5 5、6 6、7 7、1414、1515 这这五五个个数数分分成成两两组组，使使每每组组数数的的乘乘积积相相等等。 解： 5=5，7=7，6=23，14=27，15=35。 这些数中质因数 2、3、5、7 各共有
4、 2 个，所以如把 14（=27）放在第一组，那么 7 和 6（=2 3）只能放在第二组，继而 15（=35）只能放在第一组，则 5 必须放在第二组。 这样，1415=210=567。 这五个数可以分为 14 和 15，5、6 和 7 两组。 例例 6 6：有有三三个个自自然然数数，最最大大的的比比最最小小的的大大 6 6，另另一一个个是是它它们们的的平平均均数数，且且三三数数的的乘乘积积是是 4256042560。求这三。求这三 个自然数。个自然数。 分析先大概估计一下，303030=27000，远小于 42560，404040=64000，远大于 42560。 1 因此，要求的三个自然数在
5、 3040 之间。 解：42560=2 65719 =2 5（57）（192） =323538（合题意） 要求的三个自然数分别是 32、35 和 38。 例例 7 7：有有三三个个自自然然数数 a a、b b、c c，已已知知 ab=6ab=6，bc=15bc=15，ac=10ac=10。求求 abcabc 是是多多少少？ 解： 6=23，15=35，10=25。 (ab)(bc)(ac) =(23)(35)(25) a 2b2c2=223252 (abc) 2=(235)2 abc=235=30 在例 7 中有 a 2=22,b2=32,c2=52，其中 2 2=4，32=9，52=25，像
6、 4、9、25 这样的数，推及一般情况， 我们把一个自然数平方所得到的数叫做完全平方数或叫做平方数。 如：1 2=1，22=4，32=9，42=16，112=121，122=144，其中 1，4，9，16，121，144，都叫 做完全平方数。 下面让我们观察一下，把一个完全平方数分解质因数后，各质因数的指数有什么特征。 例：把下列各完全平方数分解质因数。 9，36，144，1600，275625。 解：9=3 2 36=2 232 144=3 224 1600=2 652 275625=3 25472 可见，一个完全平方数分解质因数后，各质因数的指数均是偶数。 反之，如果把一个自然数分解质因数
7、之后 ，各个质因数的指数都是偶数，那么这个自然数一定 是完全平方数。 如上例中，36=6 2，144=122，1600=402，275625=5252。 例例 8 8：一个整数：一个整数 a a 与与 10801080 的乘积是一个完全平方数，求的乘积是一个完全平方数，求 a a 的最小值与这个完全平方数。的最小值与这个完全平方数。 分析 a 与 1080 的乘积是一个完全平方数。 乘积分解质因数后，各质因的指数一定全是偶数。 解： 1080a=2 3335a， 又 1080=2 3335 的质因数分解中各质因数的指数都是奇数。 a 必含质因数 2、3、5，因此，a 最小为 235。 1080
8、a=1080235=108030=32400。 答：a 的最小值为 30，这个完全平方数是 32400。 例例 9 9：360360 共有多少个约数？共有多少个约数？ 分析360=2 3325 为了求 360 有多少个约数，我们先来看 3 25 有多少个约数，然后再把所有这些约数分别剩以 1、 2、2 2、23，即得到 2 3325（=360）的所有约数。为了求 3 25 有多少个约数，可以先求出 5 有多少个约 数，然后再把这些约数分别乘以 1、3、3 2，即得到 3 25 的所有约数。 2 解：记 5 的约数个数为 Y1，3 5 的约数个数为 Y2。 360（=2 3325）的约数个数为
9、Y 。 3 由上面的分析可知： Y3=4Y2，Y2=3Y1， 显然 Y1=2（5 只有 1 和 5 两个约数） 。 因此 Y3=4Y2=43Y1=432=24。 2 所以，360 共有 24 个约数。 233 Y3=4Y2 中的“4”即为“1、2、2 、2 ”中数的个数，也就是其中 2 的最大指数加 1，也就是 360=2 3 25 中质因数 2 的个数加 1；Y =3Y 中的“3”即为“1、3、3 2”中数的个数，也就是 2 3325 中 21 32 质因数 3 的个数加 1；而 Y1=2 中的“2”即为“1、5”中数的个数，即 2 3 5 中质因数 5 的个数加 1。 因此 Y3=（31）
10、（21）（11）=24。 对于任何一个合数，用类似于 2 3325（=360）的约数个数的讨论方式，我们可以得到一个关于 求一个合数的约数个数的重要结论： 一个合数的约数个数，等于它的质因数分解式中每个质因数的个数（即指数）加 1 的连乘积。 例例 1010：求求 240240 的的约约数数的的个个数数。 解： 240=2 43151， 240 的约数的个数是： （41）（11）（11）=20 个， 240 有 20 个约数。 请你列举一下 240 的所有约数，再数一数，看一看是否是 20 个？ 二、最大公约数和最小公倍数二、最大公约数和最小公倍数 【基本概念和知识基本概念和知识】 1公约数和
11、最大公约数 几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。 2公倍数和最小公倍数 几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。 3互质数 如果两个数的最大公约数是 1，那么这两个数叫做互质数。 【例题例题】 例例 1 1：用用一一个个数数去去除除 3030、6060、7575，都能整除，这个数最大是多少？，都能整除，这个数最大是多少？ 分析 又 要求的数去除 30、60、75 都能整除， 要求的数是 30、60、75 的公约数。要 求符合条件的最大的数， 就是求 30、60、75 的最大公约数。 解 ： （30，60，7
12、5）=15 所以，这个数最大是 15。 例例 2 2：一个数用：一个数用 3 3、4 4、5 5 除都能整除，这个数最小是多少？除都能整除，这个数最小是多少？ 分析由题意可知，要求求的数是 3、4、5 的公倍数，且是最小公倍数。 解： 3，4，5=60， 用 3、4、5 除都能整除的最小的数是 60。 例例 3 3：有有三三根根铁铁丝丝，长长度度分分别别是是 120120 厘厘米米、180180 厘厘米米和和 300300 厘厘米米。现现在在要要把把它它们们截截成成相相等等的的小小段段，每每根根都都 不不能能有有剩剩余余，每每小小段段最最长长多多少少厘厘米米？一一共共可可以以截截成成多多少少段
13、段？ 分析要截成相等的小段，且无剩八， 每段长度必是 120、180、300 的公约数； 3 又每段要尽可能长， 要求的每段长度就是 120、180、300 的最大公约数。 解：（120，180，300）=60， 每小段最长 60 厘米。 120601806030060=235=10（段） 答：每段最长 60 厘米，一共可以截成 10 段。 例例 4 4：加加工工某某种种机机器器零零件件，要要经经过过三三道道工工序序。第第一一道道工工序序每每个个工工人人每每小小时时可可完完成成 3 3 个个零零件件，第第二二道道工工序序每每 个个工工人人每每小小时时可可完完成成 1010 个个，第第三三道道工
14、工序序每每个个工工人人每每小小时时可可完完成成 5 5 个个。要要使使加加工工生生产产均均衡衡，三三道道工工序序至至少少 各各分分配配几几个个工工人人？ 分析要使加工生产均衡， 各道工序生产的零件总数应是 3、 10 和 5 的公倍数。 要求三道工序 “至 少”要多少工人，要先求 3、10 和 5 的最小公倍数。 解：3，10，5=30 各道工序均应加工 30 个零件。 303=10（人） 3010=3（人） 305=6（人） 答：第一道工序至少要分配 10 人，第二道工序至少要分配 3 人，第三道工序至少要分配 6 人。 例例 5 5：一一次次会会餐餐供供有有三三种种饮饮料料。餐餐后后统统计
15、计，三三种种饮饮料料共共用用了了 6565 瓶瓶：平平均均每每 2 2 个个人人饮饮用用一一瓶瓶 A A 饮饮料料，每每3 3 个个人人饮饮用用一一瓶瓶 B B 饮饮料料，每每 4 4 个个人人饮饮用用一一瓶瓶 C C 饮饮料料。问问参参加加会会餐餐的的人人数数是是多多少少人人？ 分析由题意可知，参加会餐人数应是 2、3、4 的公倍数。 解：2，3，4=12 参加会餐人数应是 12 的倍数。 又122123124=13（瓶） 可见 12 个人要用 6 瓶 A 饮料，4 瓶 B 饮料，3 瓶 C 饮料，共用 13 瓶饮料。 又6513=5 参加会餐的总人数应是 12 的 5 倍。 125=60（
16、人） 答：参加会餐的总人数是 60 人。 例例 6 6：一一张张长长方方形形纸纸，长长 27032703 厘厘米米，宽宽 11131113 厘厘。要要把把它它截截成成若若干干个个同同样样大大小小的的正正方方形形，纸纸张张不不能能有有剩剩余余 且且正正方方形形的的边边长长要要尽尽可可能能大大。问问：这这样样的的正正方方形形的的边边长长是是多多少少厘厘米米？ 分析由题意可知，正方形的边长即是 2703 和 1113 的最大公约数。在学校，我们已经学过用短 除法求两个数的最大公约数， 但有时会遇到类似此题情况， 两个数除了 1 以外的公约数一下子不好找到， 但又不能轻易断定它们是互质数。怎么办？在此，我们以例 6 为例介绍另一种求最大公约数的方法。 对于例 6，可做如下图解： 4 从图中可知：在长 2703 厘米、宽 1113 厘米的长方形纸
