六年级下册数学试题-15讲 圆和扇形(含答案)全国通用.pdf

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1、第十五讲第十五讲 圆和扇形圆和扇形 研究圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形,通过变动图 形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补,使它变成可以计算出面积的规则图形来计算它们的面积 圆的面积;扇形的面积; 2 r 2 360 n r 圆的周长;扇形的弧长2r2 360 n r 一、一、跟曲线有关的图形元素:跟曲线有关的图形元素: 扇形:扇形由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形,扇形是圆的一部分我们 经常说的圆、圆、圆等等其实都是扇形,而这个几分之几表示的其实是这个扇形的圆心角占这 1 2 1 4 1 6 个圆周角的几分之几那么一般的求法是什么呢?

2、关键是 360 n 比如:扇形的面积所在圆的面积; 360 n 扇形中的弧长部分所在圆的周长 360 n 扇形的周长所在圆的周长2半径(易错点是把扇形的周长等同于扇形的弧长) 360 n 弓形:弓形一般不要求周长,主要求面积 一般来说,弓形面积扇形面积-三角形面积(除了半圆) ”弯角”:如图: 弯角的面积正方形-扇形 ”谷子”:如图: “谷子”的面积弓形面积2 一、常用的思想方法: 转化思想(复杂转化为简单,不熟悉的转化为熟悉的) 等积变形(割补、平移、旋转等) 借来还去(加减法) 外围入手(从会求的图形或者能求的图形入手,看与要求的部分之间的”关系”) 板块一板块一 平移、旋转、割补、对称在

3、曲线型面积中的应用平移、旋转、割补、对称在曲线型面积中的应用 【例例 1】 下图中每一个小正方形的面积是下图中每一个小正方形的面积是 1 平方厘米,那么格线部分的面积是多少平方厘米?平方厘米,那么格线部分的面积是多少平方厘米? 【解析】割补法如右图,格线部分的面积是 36 平方厘米 【例例 2】 ( (2007 年西城实验考题年西城实验考题) )在一个边长为在一个边长为 2 厘米的正方形内,分别以它的三条边为直径向内作三厘米的正方形内,分别以它的三条边为直径向内作三 个半圆,则图中阴影部分的面积为个半圆,则图中阴影部分的面积为 平方厘米平方厘米 【解析】采用割补法如果将阴影半圆中的 2 个弓形

4、移到下面的等腰直角三角形中,那么就形成两个 相同的等腰直角三角形,所以阴影部分的面积等于两个等腰直角三角形的面积和,即正方形 面积的一半,所以阴影部分的面积等于平方厘米 2 1 22 2 【例例 3】 计算图中阴影部分的面积计算图中阴影部分的面积( (单位:分米单位:分米) ) 5 10 AA 5 【解析】将右边的扇形向左平移,如图所示两个阴影部分拼成个直角梯形 (平方分米)5105275237.5 【例例 4】 求图中阴影部分的面积求图中阴影部分的面积 12 12 D CB A 12 12 D CB A 【解析】如图,连接,可知阴影部分的面积与三角形的面积相等,即为BDBCD 11 12 1

5、236 22 【例例 5】 求如图中阴影部分的面积求如图中阴影部分的面积( (圆周率取圆周率取) )3.14 4 4 【解析】可将左下橄榄型的阴影部分剖开,两部分分别顺逆时针,则阴影部分转化为四分之一圆90 减去一个等腰直角三角形,所以阴影部分的面积为 2 11 4444.56 42 【例例 6】 求下列各图中阴影部分的面积求下列各图中阴影部分的面积 (1) 10 10 (2) b a 【解析】在图(1)中,阴影部分经过切割平移变成了一个底为 10,高为 5 的三角形,利用三角形面积 公式可以求得; 110 1025 22 S 阴影 在图(2)中,阴影部分经过切割平移变成了一个长为b,宽为a的

6、长方形,利用长方形面积公 式可以求得Sabab 阴影 【例例 7】 如图,长方形如图,长方形的长是的长是,则阴影部分的面积是,则阴影部分的面积是 ( () )ABCD8cm 2 cm3.14 【解析】阴影部分的面积实际上是右上图阴影部分面积的一半,所以求出右上图中阴影部分面积再除 以 2 即可 长方形的长等于两个圆直径,宽等于 1 个圆直径,所以右图的阴影部分的面积等于: 2 8 8282226.88 所以左图阴影部分的面积等于平方厘米 6.8823.44 【例例 8】 求右图中阴影部分的面积求右图中阴影部分的面积( (取取 3) ) 4545 20cm 【解析】看到这道题,一下就会知道解决方

7、法就是求出空白部分的面积,再通过作差来求出阴影部分 面积,因为阴影部分非常不规则,无法入手 这样,平移和旋转就成了我们首选的方法 (法 1)我们只用将两个半径为 10 厘米的四分之一圆减去空白的、部分面积之和即可,其 中、面积相等易知、部分均是等腰直角三角形,但是部分的直角边AB的长度未 知单独求部分面积不易,于是我们将、部分平移至一起,如右下图所示,则、 部分变为一个以AC为直角边的等腰直角三角形,而AC为四分之一圆的半径,所以有 AC10两个四分之一圆的面积和为 150,而、部分的面积和为,所以阴 1 10 1050 2 影部分的面积为(平方厘米)15050100 (法 2)欲求图中阴影部

8、分的面积,可将左半图形绕B点逆时针方向旋转 180,使A与C重 合,从而构成如右图的样子,此时阴影部分的面积可以看成半圆面积减去中间等腰直角三 角形的面积 所以阴影部分面积为(平方厘米) 2 11 1010 10100 22 4545 D CB A A C B 板块二板块二 曲线型面积计算曲线型面积计算 【例例 9】 如图,已知扇形如图,已知扇形的面积是半圆的面积是半圆面积的面积的 3 4 倍,则角倍,则角的度数是的度数是_BACADBCAB D C BA 【解析】设半圆的半径为 1,则半圆面积为,扇形的面积为因为扇ADB 2 1 1 22 BAC 42 233 形的面积为,所以,得到,即角的

9、度数是 60BAC 2 360 n r 2 2 2 3603 n 60n CAB 度 【例例 10】如下图,直角三角形如下图,直角三角形的两条直角边分别长的两条直角边分别长和和,分别以,分别以为圆心,为圆心,为半径画为半径画ABC67,B C2 圆,已知图中阴影部分的面积是圆,已知图中阴影部分的面积是,那么角,那么角是多少度是多少度( () )17A3 【解析】, 1 6 721 2 ABC S 三角形内两扇形面积和为,ABC21 174 根据扇形面积公式两扇形面积和为, 2 24 360 BC 所以,.120BC60A 6 7 C B A 【例例 11】如图,大小两圆的相交部分如图,大小两圆

10、的相交部分( (即阴影区域即阴影区域) )的面积是大圆面积的的面积是大圆面积的,是小圆面积的,是小圆面积的如如 4 15 3 5 果量得小圆的半径是果量得小圆的半径是 5 厘米,那么大圆半径是多少厘米?厘米,那么大圆半径是多少厘米? 【解析】小圆的面积为,则大小圆相交部分面积为,那么大圆的面积为 2 525 3 2515 5 ,而,所以大圆半径为厘米 4225 15 154 2251515 422 7.5 【例例 12】有七根直径有七根直径 5 厘米的塑料管,用一根橡皮筋把它们勒紧成一捆厘米的塑料管,用一根橡皮筋把它们勒紧成一捆( (如图如图) ),此时橡皮筋的长,此时橡皮筋的长 度是多少厘米

11、?度是多少厘米?( (取取 3) ) C BA 【解析】由右图知,绳长等于 6 个线段与 6 个弧长之和ABBC 将图中与弧相似的 6 个弧所对的圆心角平移拼补,可得到 6 个角的和是,BC360 所以弧所对的圆心角是,6 个弧合起来等于直径 5 厘米的圆的周长BC60BC 而线段等于塑料管的直径,AB 由此知绳长为:(厘米)56545 【例例 13】用一块面积为用一块面积为 36 平方厘米的圆形铝板下料,从中裁出了平方厘米的圆形铝板下料,从中裁出了 7 个同样大小的圆铝板问:所个同样大小的圆铝板问:所 余下的边角料的总面积是多少平方厘米?余下的边角料的总面积是多少平方厘米? 【解析】大圆直径

12、是小圆的 3 倍,半径也是 3 倍,小圆面积大圆面积, 22 :1:9rR 小圆面积,个小圆总面积, 1 364 9 74728 边角料面积(平方厘米)36288 【例例 14】如图,两个正方形摆放在一起,其中大正方形边长为如图,两个正方形摆放在一起,其中大正方形边长为 12,那么阴影部分面积是多少?,那么阴影部分面积是多少? ( (圆周率取圆周率取) )3.14 A F E D CB M A F E D CB 【解析】方法一:设小正方形的边长为,则三角形与梯形 的面积均aABFABCD 为阴影部分为:大正方形梯形三角形右上角不规则部分大正方122aaABF 形右上角不规则部分圆因此阴影部分面

13、积为: 1 4 3.14 12 124113.04 方法二:连接、,设与的交点为,由于四边形是梯形,根据梯形ACDFAFCDMACDF 蝴蝶定理有,所以 ADMCMF SS DCF SS 阴影扇形 3.14 12 124113.04 【巩固巩固】如右图,两个正方形边长分别是如右图,两个正方形边长分别是 10 和和 6,求阴影部分的面积,求阴影部分的面积( (取取 3) ) 610 GF ED CBA 610 GF ED CBA 【解析】(法 1)观察可知阴影部分面积等于三角形的面积减去月牙的面积,那么求出月牙ACDBCD 的面积就成了解题的关键BCD 月牙的面积为正方形的面积减去四分之一圆:;

14、BCDBCDE 1 66669 4 则阴影部分的面积为三角形的面积减去月牙的面积,为:ACDBCD 1 1066939 2 S 阴影 (法 2)观察可知和是平行的,于是连接、AFBDAFBDDF 则与面积相等,那么阴影部分面积等于与小弓形的面积之和,也就等于ABDBDFBDF 与扇形的面积之和,为:DEFBED 2 11 (106)6639 24 【例例 15】如图,如图,是等腰直角三角形,是等腰直角三角形,是半圆周的中点,是半圆周的中点,是半圆的直径已知是半圆的直径已知ABCDBC ,那么阴影部分的面积是多少?,那么阴影部分的面积是多少?( (圆周率取圆周率取) )10ABBC3.14 D

15、B P C A D B P C A 【解析】连接、,如图,平行于,则在梯形中,对角线交于点,那么PDAPBDPDABABDPM 与面积相等,则阴影部分的面积转化为与圆内的小弓形的面积和ABDABPABP 的面积为:;ABP10102225 弓形面积: ;3.145 545 527.125 阴影部分面积为:257.12532.125 【例例 16】如图,如图,ABCD是边长为是边长为a的正方形,以的正方形,以AB、BC、CD、DA分别为直径画半圆,求这四个半分别为直径画半圆,求这四个半 圆弧所围成的阴影部分的面积圆弧所围成的阴影部分的面积( (取取 3) ) D C B A a D C B A

16、a 【解析】这道题目是很常见的面积计算问题阴影部分是一个花瓣状的不规则图形,不能直接通过面 积公式求解,观察发现阴影部分是一个对称图形,我们只需要在阴影部分的对称轴上作两条 辅助线就明了了 如图,这样阴影部分就划分成了 4 个半圆减去三角形,我们可以求得, 4SSS 阴影半圆三角形 2 11 4 2222 aa a 2 1 2 a 【巩固巩固】如图,正方形如图,正方形ABCD的边长为的边长为 4 厘米,分别以厘米,分别以B、D为圆心以为圆心以 4 厘米为半径在正方形内画厘米为半径在正方形内画 圆求阴影部分面积圆求阴影部分面积( (取取 3) ) D C B A D C B A 【解析】由题可知,图中阴影部分是两个扇形重叠的部分,我们可以利用容斥原理从图形整体上

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