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1、在所有智慧的追求中，很难找到其他例子能够在深刻的普遍性与优美简洁性方面与对称性原理相比。 李政道,第二章 晶体的宏观对称性,电荷对称: 一组带电粒子极性互换, 其相互作用不变（但在弱相互作用下这种对称被部分破坏）.,C60,手性分子,对称在科学界开始产生重要的影响始于19世纪。发展到近代，我们已经知道这个观念是晶体学、分子学、原子学、原子核物理学、化学、粒子物理学等现代科学的中心观念。 杨振宁,第二章的主要内容,对称的概念 晶体的宏观对称元素和对称操作 晶体宏观对称元素的组合 晶体的32种点群及其符号 晶体的分类 准晶,对称（symmetry）： 物体（或图形）中等同部分有规律的重复。,2.1
2、 晶体的宏观对称元素与对称操作,一、对称、对称元素、对称操作的概念,对称操作（symmetry operation） ： 使物体（或图形）中等同部分之间重合的动作，即使各等同部分调换位置、整个物体恢复原状的动作。,对称元素（symmetry element）： 进行对称操作所凭借的辅助几何要素（点、线、面）。,二、物体宏观对称性的描述,1. 对称元素与对称操作,对称元素： 对称中心、对称面、对称轴、旋转反演轴； 对称操作： 反演、反映、旋转、旋转反演；,（1）对称中心与反演操作,对称中心（center of symmetry, 习惯符号C）： 一假想的几何点，相应的对称操作是对于这个点的反演（
3、倒反，反伸）。国际符号：i ，,反演： 符号：I (x, y, z) (-x, -y, -z),（2）对称面与反映操作,对称面（symmetry plane, 符号P）： 一假想的平面，相应的对称操作为对此平面的反映。对称面将图形平分成互为镜像的两个部分，反映使物与像重合而不是互换位置。国际符号：m,反映： 符号：M,（3）对称轴与旋转操作,对称轴（symmetry axis, 习惯符号 ）： 一假想的直线，相应的对称操作是以此直线为轴旋转 及其整数倍可使物体复原。又称为旋转轴。国际符号：n 基转角a ：使整个物体复原需要的最小转角 轴次n： 旋转一周物体复原的次数 旋转： 符号:,2 4 6
4、,轴次的确定：取最高的轴次,旋转对称性的平面图解：,旋转反演轴（rotoinversion axis, 习惯符号 ）： 又称为倒转轴、反轴、反演轴（inversion axis）等，是一种复合的对称元素。国际符号： 辅助几何要素有两个：直线和此直线上的一个定点 旋转反演： 绕轴旋转 后再对轴上定点进行反演的联合操作以及该联合操作的整数倍可使物体复原。 符号: （ 其中 ）,（4）旋转反演轴与旋转反演操作,对称操作 正交变换,2. 对称操作的数学描述,正交矩阵,对称变换矩阵：, 绕z轴逆时针转角,反演,3. 对称性的数学描述,研究物体对称性的方法 观察物体的正交变换不变性,物体的对称操作越多，其
5、对称性越高。 一个物体的全部对称操作的集合满足群的定义,群的概念, 群代表一组“元素”的集合，G E, A ,B, C, D ，这些“元素”被赋予一定的“乘法法则”，满足下列性质：,(1)闭合性：若 A, B G，则AB=C G,(2)存在单位元素E：使得所有元素满足 AE = A,(3) 存在逆元素：对于任意元素A存在A-1 ， AA-1=A-1A=E,(4)满足结合律：A(BC)=(AB)C,3. 对称性的数学描述,研究物体对称性的方法 观察物体的正交变换不变性,物体的对称操作越多，其对称性越高。 一个物体的全部对称操作的集合满足群的定义,运算法则 连续操作 一个物体全部宏观对称操作的集合
6、满足群的定义 点群 宏观对称操作 ,三、晶体的宏观对称性,1. 晶体对称性的来源与体现,晶体内部原子排布的周期性 晶体的对称性 晶体物理性质的对称性 （各向同性和各向异性） 晶体的对称性： 宏观对称性：至少有一点不动，没有平移操作 微观对称性：晶格的对称性，可以有平移操作,2. 晶体对称性的规律,晶体的宏观对称性受晶体周期性的限制,晶体对称性定律（law of crystal symmetry）： 在晶体中，只可能出现轴次为一次、二次、三次、四次和六次的对称轴，而不可能存在五次及高于六次的对称轴。, 任何晶体的宏观对称性只能有以下十种对称元素:,3. 晶体的宏观对称具有的对称元素与对称操作,一
7、次对称轴 1 的对称操作,除Li4外，其余各种旋转反演轴都可以用其它简单的对称 要素或它们的组合来代替，其间关系如下： Li1 = C， Li2 = P， Li3 = L3 +C， Li6 = L3 + P 在写晶体的对称要素时，保留Li4 和Li6，而其他旋转反演 轴就用简单对称要素代替。这是因为Li4 不能被代替， Li6 在晶体对称分类中有特殊意义。, 晶体的宏观对称性只有以下八个独立的对称元素:,4. 晶体宏观对称性分析实例,例1. 立方体的对称性（面心立方、体心立方）,对称中心 i 在正方体中心,四个3：8个对称操作,三个4：9个对称操作,六个2：6个对称操作,一个1：E,48个对称操作：,对称轴也是旋转反演轴： 旋转反演操作共24个,例2. 正四面体的对称性（金刚石）,四个3：8个对称操作,三个 ：9个对称操作,六个 ：6个对称操作,一个1：E,共24个对称操作,
