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1、第一章波动方程 齐海涛 山东大学威海分校 数学与统计学院 Email: September 28, 2011 目录 1方程的导出、定解条件2 2达朗贝尔公式、波的传播4 3初边值问题的分离变量法7 4高维波动方程的柯西问题10 5波的传播与衰减13 6能量不等式、波动方程解的唯一性和稳定性14 1 1方程的导出、定解条件 例 1.1 细杆(或弹簧)受某种外界原因而产生纵向振动, 以 u(x,t) 表示静止时在 x 点处的点在 时刻 t 离开原来位置的偏移. 假设振动过程中所发生的张力服从胡克定律, 试证明 u(x,t) 满足 方程 t ( (x)u t ) = x ( E u x ) , 其中
2、 为杆的密度, E 为杨氏模量. 解:由细杆的假设, 在杆的垂直与杆的每一个截面上的每一点力与位移的情形是相同的. 取杆的左端截面的形心为原点, 杆轴为 x 轴. 任取 (x, x + x) 上的小段 B 为代表加以研 究. t 时刻, B 的两端位移分别记作 u(x,t) 和 u(x + x,t) = u(x,t) + u, B 段的伸长为 u(x + x,t) u(x,t) = u, 相对伸长则为 u(x + x,t) u(x,t) x = u x = u x(x,t), x 0. 由 Hooke 定律, B 两端的张力分别为 E(x)ux|x, E(x)ux|x+x. B 段的运动方程为
3、 S(x)x 2u t2 (x,t) = E(x)Sux|x+x E(x)Sux|x 其中 S 为细杆截面面积, x 为 B 段重心坐标. 约去 S, 令 x 0, 有 t ( (x)u t ) = x ( E(x)u x ) . 例 1.2 在杆纵向振动时, 假设 (1) 端点固定, (2) 端点自由, (3) 端点固定在弹性支撑上, 试分别 导出这三种情况下所对应的边界条件. 解:(1) u(0,t) = u(l,t) = 0; (2) 端点自由, 即端点处无外力作用. 在左端点 SE(0)u x(0,t) = 0, 即 u x(0,t) = 0. 同理右端 点 u x(l,t) = 0.
4、 (3)端点固定在弹性支承上, 端点受的外力与支撑的变形成比例. 如左端有弹性支承, 弹性 系数设为 k, 则 SE(0)u x(0,t) = ku(0,t), ( u x + hu )? ? ? ? ?x=0 = 0h = k E(x)S . 同理右端: (u x + hu )? ? ? ? ?x=l = 0. 例 1.3 试证: 圆锥形枢轴的纵向振动方程为 E x ( 1 x h )2 u x = ( 1 x h )2 2u t2 , 其中 h 为圆锥的高. 2 解:仿照第一题有 (R 为圆锥的底面半径) V(x) 2u t2 (x,t) = ES(x + x)u x(x + x,t) E
5、S(x) u x(x,t) 其中 V(x) = R2 ( 1 x h )2 x + o(x),S(x) = R2 ( 1 x h )2 . 令 x 0, 即得结论. 例 1.4 绝对柔软而均匀的弦线有一端固定, 在它本身重力作用下, 此线处于铅垂的平衡位置, 试导出此线的微小横振动方程. 解:设弦长为 l, 取弦上端点为原点, 取铅垂向下的轴为 x 轴. 设 u(x,t) 为时刻 t, x 处的横向位 移. 取位于 (x, x + x) 的微元进行分析, 由绝对柔软的假设, 弦的张力 T 的方向总是沿弦的切 线方向. 又由微小振动的假设 ux 1. 因此认为弦在振动过程中不伸长, 且张力 T
6、与时间无 关. 考察受力平衡 (1, 2为张力 T 的方向与竖直线的夹角) T(x + x)cos2 T(x)cos1= gx,(1) T(x + x)sin2 T(x)sin1= xutt.(2) 由 (1) 知 dT dx = gT = gx +C. 而 x = 0 时, T(0) = gl, 知 C = gl, 所以 T(x) = g(l x). 又 sin2 tan2= u x(x + x,t), sin1 tan1= u x(x,t). 由 (2) 知 x T(x)u(x) x = 2u t2 2u t2 = g x (l x)u x . . . O . x . T . T . x
7、. x + x 例 1.5 一柔软均匀的细弦, 一端固定, 另一端是弹性支承. 设该弦在阻力与速度成正比的介质 中作微小的横振动, 试写出弦的位移所满足的定解问题. 解:k, 为正常数 utt a2uxx+ kut= 0,0 x 0, u|t=0= (x), ut|t=0= (x), u|x=0= 0, (ux+ u)|x=l= 0. 例 1.6 若 F(), G() 均为其变元的二次连续可导函数, 验证 F(x at), G(x + at) 均满足弦振 动方程 (1.11). 例 1.7 验证 u(x,y,t) = 1/ t2 x2 y2在锥 t2 x2 y2 0 中满足波动方程 utt=
8、uxx+ uyy. 3 2达朗贝尔公式、波的传播 例 2.1 证明方程 x ( 1 x h )2 u x = 1 a2 ( 1 x h )2 2u t2 (h 0 常数)的通解可以写成 u = F(x at) +G(x + at) h x , 其中 F,G 为任意的具有二阶连续导数的单变量函数, 并由此求解它的初值问题: t = 0 :u = (x), u t = (x). 解:(1) 令 v(x,t) = (h x)u(x,t) 并代入方程得 vtt= a2vxx, 进而 u = v h x = F(x at) +G(x + at) h x . (2) vtt= a2vxx, t = 0 :
9、 v = (h x)(x), vt= (h x)(x). 由 dAlembert 公式有 v(x,t) = 1 2(h x + at)(x at) + (h x at)(x + at) + 1 2a x+at xat (h )()d. 再由 (1) 知此定解问题的解. 注：此问题也可由 (1) 并利用初始条件决定 F 和 G. 例 2.2 问初始条件 (x) 与 (x) 满足怎样的条件时, 齐次波动方程初值问题的解仅由右传播 波组成? 解:由题意知 G(x) = 1 2(x) + 1 2a x x0 ()d C 2a const. 故 G(x) = 0, 即 a(x) + (x) = 0. 例
10、 2.3 利用传播波法, 求解波动方程的古沙(Goursat)问题 2u t2 = a2 2u x2 , u|xat=0= (x), u|x+at=0= (x),(0) = (0). 解:设 u(x,t) 具有行波解 u = F(x at) +G(x + at), 由边界条件得 F(0) +G(2x) = (x),F(2x) +G(0) = (x). F(x) = (x/2) G(0),G(x) = (x/2) F(0),F(0) +G(0) = (0) = (0). u(x,t) = (x at 2 ) + (x + at 2 ) (0). 4 例 2.4 对非齐次波动方程的初值问题 (2.
11、5)、(2.6), 证明: 当 f(x,t) 不变时, (1) 如果初始条件在 x 轴的区间 x1, x2 上发生变化, 那么对应的解在区间 x1, x2 的影响区 域外不发生变化; (2) 在 x 轴区间 x1, x2 上所给的初始条件唯一确定区间 x1, x2 的决定区域中解的数值. 解:弄清影响区域、决定区域的定义. 例 2.5 求解 utt a2uxx= 0, x 0,t 0, u|t=0= (x), ut|t=0= 0, ux kut|x=0= 0, 其中 k 为正常数. 解:波动方程的通解为 u = F(x at) +G(x + at), 由初始条件得 F(x) +G(x) = (
12、x),aF(x) + aG(x) = 0 F(x) G(x) = C, F(x) = 1 2(x) + C 2 , G(x) = 1 2(x) C 2 , 其中 C = F(0) G(0). 由于 x + at 0, G(x + at) = 1 2(x + at) C 2. 当 x at 0 时, F(x at) = 1 2(x at) + C 2. 此时 u(x,t) = 1 2(x + at) + (x at). 当 x at 0 时, 由边界条 件知 (1 + ka)F(at) + (1 ka)G(at) = 0(1 + ka)F(x) + (1 ka)G(x) = 0. 对上式从 0
13、到 x 积分 (1 + ka)F(x) + (1 ka)G(x) = C1,C1= (1 + ka)F(0) + (1 ka)G(0). F(x) = 1 ka 1 + kaG(x) C1 1 + ka, F(x at) = F(at x) = 1 ka 1 + kaG(at x) C1 1 + ka. u(x,t) = 1 2(x + at) + 1 ka 2(1 + ka)(at x) + ka 1 + ka(0). 例 2.6 求解初边值问题 utt uxx= 0, 0 t 1, u|t=0= 0(x), x 0, ut|t=0= 1(x), x 0, u|t=kx= (x), 其中 0
14、(0) = (0). 解:当 x t 0 时, 由 dAlembert 公式有 u(x,t) = 1 20(x t) + 0(x + t) + 1 2 x+t xt 1()d. xt 0 时, 取 u = F(xt)+G(x+t). 当 t = x 时, 它应与上式的解相同. 当 t = kx 时, 利用边 界条件有 F(0) +G(2x) = 1 20(0) + 0(2x) + 1 2 2x 0 1()d, 5 F(1 k)x) +G(1 + k)x) = (x). 由以上两式解 F 和 G 得 u(x,t)= ( x t 1 k ) + 1 2 0(x + t) 0 (1 + k 1 k
15、(x t) ) +1 2 xt 1+k 1k(xt) 1()d,x t kx 例 2.7 求解初边值问题 utt uxx= 0, x t f(x), u|t=x= (x), u|t=f(x)= (x), 其中 (0) = (0), t = f(x) 为由原点出发的、介于特征线 x = t 与 x = t 之间的光滑曲线, 且 对一切 x, f(x) , 1. 解:设通解为 u = F(x t) +G(x + t), 将边界条件代入得 F(0) +G(2x) = (x), F(x f(x) +G(x + f(x) = (x). 由 f(x) , 1, 故有 x f(x) = y 可解得 x = h(y). 由上面两式可解得 G(x) = (x 2 ) F(0), F(y) = (h(y) ( h(y) y 2 ) + F(0), 代入通解表达式得 u = (x + t 2 ) ( h(x t) x t 2 ) + (h(x t). 例 2.8 求解波动方程的初边值问题 2u t2 2u x2 = tsin x, u|t=0= 0, u t ? ? ?t=0= sin x. 解: u(x,t) = 1 2 x+t xt sind + 1 2 t 0 x+(t) x(t) sindd = tsin x. 例 2.9 求解波动方程的初边值问题
