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1、8.4直线、平面平行的判定与性质2014 高考会这样考 1.考查空间平行关系的判定及性质有关命题的判定；2.解答题中证明或探索空间的平行关系复习备考要这样做 1.熟练掌握线面平行、面面平行的判定定理和性质，会把空间问题转化为平面问题，解答过程的叙述步骤要完整，避免因条件书写不全而失分；2.学会应用“化归思想”进行“线线问题、线面问题、面面问题”的互相转化，牢记解决问题的根源在“定理” 1直线与平面平行的判定与性质判定定义 定理 性质图形条件 a a，b ，ab aa，a ，b结论 a b a ab2.面面平行的判定与性质判定定义 定理 性质图形条件 a，b ，abP，a ，b，a， b ，a
2、结论 ab a难点正本疑点清源1证明线面平行是高考中常见的问题，常用的方法就是 证 明这条线与平面内的某条直线平行但一定要说明一条直线在平面外，一条直 线在平面内2在判定和证明直线与平面的位置关系 时，除熟 练运用判定定理和性 质定理外，切不可丢弃定义，因为定义既可作判定定理使用，亦可作性 质定理使用3辅助线(面) 是解 (证)线面平行的关键为了能利用线面平行的判定定理及性 质定理，往往需要作辅助线(面)1已知不重合的直线 a，b 和平面 ，若 a，b ，则 ab；若 a，b，则 ab；若 ab，b ，则 a；若 ab，a，则 b 或 b.上面命题中正确的是_( 填序号) 答案解析若 a，b
3、，则 a，b 平行或异面；若 a， b，则 a，b 平行、相交、异面都有可能；若 ab，b ，则 a 或 a.2已知 、 是不同的两个平面，直线 a，直线 b，命题 p：a 与 b 没有公共点；命题 q：，则 p 是 q 的_ 条件答案必要不充分解析a 与 b 没有公共点，不能推出 ，而 时，a 与 b 一定没有公共点，即 pD/q，qp，p 是 q 的必要不充分条件3已知平面 平面 ，直线 a，有下列命题：a 与 内的所有直线平行；a 与 内无数条直线平行；a 与 内的任意一条直线都不垂直其中真命题的序号是_答案解析因为 ，a，所以 a，在平面 内存在无数条直 线与直线 a 平行，但不是所有
4、直线都与直线 a 平行，故命 题为真命题，命 题为假命 题在平面 内存在无数条直线与直线 a 垂直，故命题为 假命题4(2011浙江)若直线 l 不平行于平面 ，且 l ，则 ()A 内的所有直线与 l 异面B 内不存在与 l 平行的直线C 内存在唯一的直线与 l 平行D 内的直线与 l 都相交答案B解析由题意知，直线 l 与平面 相交，则直线 l 与平面 内的直线只有相交和异面两种位置关系，因而只有选项 B 是正确的5(2012四川)下列命题正确的是 ()A若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C若一条直线平行于两个
5、相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行答案C解析利用线面位置关系的判定和性质解答A 错误，如圆锥的任意两条母线与底面所成的角相等，但两条母线相交；B 错误，ABC 的三个顶点中，A、B 在 的同侧，而点 C 在 的另一侧，且 AB 平行于，此时可有 A、B、C 三点到平面 的距离相等，但两平面相交；D 错误，如教室中两个相邻墙面都与地面垂直，但这两个面相交，故选 C.题型一直线与平面平行的判定与性质例 1 正方形 ABCD 与正方形 ABEF 所在平面相交于 AB，在 AE、BD 上各有一点 P、Q，且 APDQ.求证：PQ 平面 BCE.思
6、维启迪：证明直线与平面平行可以利用直线与平面平行的判定定理，也可利用面面平行的性质证明方法一如图所示作 PMAB 交 BE 于 M，作 QNAB 交 BC 于 N，连接 MN.正方形 ABCD 和正方形 ABEF 有公共边 AB，AEBD.又 APDQ， PEQB，又 PMABQN， ，PMAB PEAE QBBD QNDC ，PMAB QNDCPM 綊 QN，即四 边形 PMNQ 为平行四边形，PQMN.又 MN平面 BCE，PQ平面 BCE，PQ平面 BCE.方法二如图，连接 AQ，并延长交 BC 延长线于 K，连接 EK，AEBD ，APDQ，PEBQ ， ，APPE DQBQ又 ADB
7、K， ，DQBQ AQQK ，PQEK.APPE AQQK又 PQ平面 BCE，EK平面 BCE，PQ平面 BCE.方法三如图，在平面 ABEF 内， 过点 P 作 PMBE，交 AB 于点 M，连接 QM.PM平面 BCE，又平面 ABEF平面 BCEBE，PMBE， ，APPE AMMB又 AEBD ，APDQ，PEBQ， ， ，APPE DQBQ AMMB DQQBMQ AD，又 ADBC，MQ BC，MQ 平面 BCE，又 PMMQM，BEBC B，平面 PMQ平面 BCE，又 PQ平面 PMQ.PQ平面 BCE.探究提高判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义 (无公共
8、点)；(2)利用线面平行的判定定理(a，b ，aba)；(3)利用面面平行的性质定理(，a a)；(4)利用面面平行的性质(，a ，a a) 如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是菱形，BAD60，AB2，PA1，PA平面 ABCD，E 是 PC 的中点，F 是 AB 的中点求证：BE平面PDF.证明取 PD 中点为 M，连接 ME，MF，E 是 PC 的中点，ME 是PCD 的中位线，ME 綊 CD.12F 是 AB 的中点且四 边形 ABCD 是菱形，AB 綊 CD，ME 綊 FB，四边形 MEBF 是平行四边形，BEMF.BE 平面 PDF，MF平面 PDF，BE 平面 PD
9、F.题型二平面与平面平行的判定与性质例 2 如图，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，E，F，G ，H 分别是AB，AC，A 1B1，A 1C1 的中点，求证：(1)B，C，H，G 四点共面；(2)平面 EFA1平面 BCHG.思维启迪：要证四点共面，只需 证 GHBC；要证面面平行，可证一个平面内的两条相交直线和另一个平面平行证明(1)GH 是A 1B1C1 的中位 线， GHB 1C1.又B 1C1BC，GHBC，B，C，H，G 四点共面(2)E、F 分别为 AB、AC 的中点，EFBC ，EF平面 BCHG，BC平面 BCHG，EF平面 BCHG.A 1G 綊 EB，四边形 A1EBG 是
10、平行四边形，A 1EGB.A 1E平面 BCHG，GB平面 BCHG.A 1E平面 BCHG.A 1EEFE，平面 EFA1平面 BCHG.探究提高证明面面平行的方法：(1)面面平行的定义；(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；(5)利用“线线平行” 、 “线面平行” 、 “面面平行”的相互转化证明：若一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线平行于两个平面的交线解已知：直线 a平面 ，直 线 a平面 ， b.求证：ab.证明：如图所示，过直线
11、 a 作平面 ，分别交平面 ，于直线 m，n(m，n 不同于交线 b)，由直线与平面平行的性质定理，得 am，an，由平行 线的传递性，得 mn，由于 n，m，故 n平面 .又 n， b，故 nb.又 an，故 ab.题型三平行关系的综合应用例 3 如图所示，在四面体 ABCD 中，截面 EFGH 平行于对棱 AB 和CD，试问截面在什么位置时其截面面积最大？思维启迪：利用线面平行的性质可以得到线线平行，可以先确定截面形状，再建立目标函数求最 值解AB平面 EFGH，平面 EFGH 与平面 ABC 和平面 ABD 分别交于 FG、EH.ABFG ，ABEH，FGEH，同理可 证 EFGH，截面
12、 EFGH 是平行四边形设 ABa，CDb，FGH ( 即为异面直线 AB 和 CD 所成的角或其补角) 又设 FGx，GH y ，则由平面几何知识可得 ， ，两式相加得 1，即xa CGBCyb BGBC xa yby (a x)，baS EFGHFG GHsin x (ax)sin x(ax )ba bsin ax0，ax0 且 x(ax ) a 为定值，当且仅当 xax 时， x(ax) ，此 时 x ，y .bsin a absin 4 a2 b2即当截面 EFGH 的顶点 E、F、G、H 为棱 AD、AC、BC、BD 的中点时截面面积最大探究提高利用线面平行的性质，可以实现与线线平行
13、的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，O 为底面 ABCD 的中心，P 是 DD1的中点，设 Q 是 CC1 上的点，问：当点 Q 在什么位置时，平面 D1BQ平面 PAO?解当 Q 为 CC1 的中点时，平面 D1BQ平面 PAO.证明如下：Q 为 CC1 的中点，P 为 DD1 的中点，QB PA .P、O 分别为 DD1、DB 的中点， D 1BPO.又D 1B平面 PAO，PO平面 PAO，QB平面 PAO，PA平面 PAO，D 1B平面 PAO，QB平面 PAO，又 D1BQB B ，D1B、
14、QB平面 D1BQ，平面 D1BQ平面 PAO.立体几何中的探索性问题典例：(12 分) 如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中， E 是棱 DD1 的中点(1)求直线 BE 和平面 ABB1A1 所成的角的正弦值；(2)在棱 C1D1 上是否存在一点 F，使 B1F平面 A1BE？证明你的结论审题视角(1)可过 E 作平面 ABB1A1 的垂线、作线面角；(2)先探求出点 F，再进行证明 B1F平面 A1BE.注意解题的方向性规范解答解(1)如图(a)所示，取 AA1 的中点 M，连接 EM，BM.因为 E 是 DD1 的中点，四 边形ADD1A1为正方形，所以 EMAD.2 分图(a)又在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，AD 平面 ABB1A1，所以 EM平面 ABB1A1，从而 BM 为直线 BE 在平面 ABB1A1 上的射影，EBM 为 BE 和平面 ABB1A1 所成的角4 分设正方体的棱长为 2，则 EMAD 2， BE 3.于是，在 RtBEM 中，22 22 12sinEBM ，5 分EMBE 23即直线 BE
