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1、直线与圆锥曲线问题的处理方法二1如图，已知某椭圆的焦点是 F1(4，0)、 F2(4，0)，过点 F2并垂直于 x轴的直线与椭圆的一个交点为 B，且| F1B|+|F2B|=10，椭圆上不同的两点A(x1,y1),C(x2,y2)满足条件 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco |F2A|、| F2B|、| F2C|成等差数列 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (1)求该弦椭圆的方程；(2)求弦 AC中点的横坐标；(3)设弦 AC的垂直平分线的方程为 y=kx+m，求 m的取值范围 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 2若抛物线
2、上总存在关于直线 对称的两点，求 的范围 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 21yax0xya头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 3试确定 的取值范围，使得椭圆 上有不同两点关于直线2143xy对称 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 4y F1 F2B CBAoy x4已知直线 过定点 A(4,0)且与抛物线 交于 P、Q 两点，l 2:(0)Cypx若以 PQ为直径的圆恒过原点 O，求 的值 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 学生巩固练习 头htp:/w.xjkygcom126t1
3、26.hp:/wxjkygco 1头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 在抛物线 y2=16x内，通过点(2，1)且在此点被平分的弦所在直线的方程是_ 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 2头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 已知两点 M(1， )、 N(4， )，给出55下列曲线方程 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 4 x+2y1=0, x2+y2=3, +y2=1, y2=1,在曲线上存在点 Pxx满足| MP|=|NP|的所有曲线方程是_ 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 3头htp:/w.
4、xjkygcom126t:/.j 已知双曲线 C的两条渐近线都过原点，且都以点 A( ，0)为圆心，1为半径的圆相切，双曲线的一个顶点 A1与 A点关于直线 y=x对称 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (1)求双 曲线 C的方程 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (2)设直线 l过点 A，斜率为 k,当 0 k1 时，双曲线 C的上支上有且仅有一点 B到直线 l的距离为 ，试求 k的值及此时 B点的坐标 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j PQA(4,0)oy x直线与圆锥曲线问题的处理方法二答案高考要求 头htp:/w.xjkygcom126t
5、126.hp:/wxjkygco 直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次” ，有利于选拔的功能 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 重难点归纳 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 1头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 直线与圆 锥曲线有无公共点或 有几个公共
6、点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解成实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 2头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 当直线与圆锥曲线相交时 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能
7、事半功倍 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 典型题例示范讲解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 例 1如图，已知某椭圆的焦点是 F1(4，0)、 F2(4，0)，过点 F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为 B，且| F1B|+|F2B|=10，椭圆上不同的两点A(x1,y1),C(x2,y2)满足条件 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco |F2A|、| F2B|、| F2C|成等差数列 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (1)求该弦椭圆的方程；(2)求弦 AC中点的横坐标；(3)设
8、弦 AC的垂直平分线的方程为 y=kx+m，求 m的取值范围 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 命题意图 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 本题考查直线、椭圆、等差数列等基本知识，一、二问较简单，第三问巧妙地借助中垂线来求参数的范围，设计新颖，综合性，灵活性强 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 知识依托 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 椭圆的定义、等差数列的定义，处理直线与圆锥曲线的方法 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 错解分析 头htp:/w.xjkygcom1
9、26t126.hp:/wxjkygco 第三问在表达出“ k= y0”时，忽略了“ k=0”时的情况，理35不清题目中变量间的关系 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 技巧与方法 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 第一问利用椭圆的第一定义写方程；第二问利用椭圆的第二定义(即焦半径公式)求解，第三问利用 m表示出 弦 AC的中点 P的纵坐标 y0,利用 y0的范围求 m的范围 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco (1)由椭圆定义及条件知，2 a=|F1
10、B|+|F2B|=10,得 a=5,又 c=4,所以 b=3头htp:/w.xjkygcom126t:/.j a故椭圆方程为 =1头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 952(2)由点 B(4,yB)在椭圆上，得| F2B|=|yB|= 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 因为椭圆右准线方程为 x=59F1 F2B CBAoy x,离心率为 ，根据椭圆定义，有| F2A|= ( x1),|F2C|= ( x2)，425545454由| F2A|、| F2B|、| F2C|成等差数列，得( x1)+ ( x2)=2 ,由此得出 头htp:/w.xjkygcom126t1
11、26.hp:/wxjkygco x1+x2=8头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 49设弦 AC的中点为 P(x0,y0),则 x0= =4头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (3)解法一 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 由 A(x1,y1),C(x2,y2)在椭圆上 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 得 22959 得 9(x12 x22)+25(y12 y22)=0,即 9 =0(x1 x2)()(5)( 21x将 (k 0)yyx,2,42210101 代入上式，得 94+25y0( )=0 (k0)即
12、 k= y0(当 k=0时也成立) 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 365由点 P(4， y0)在弦 AC的垂直平分线上，得 y0=4k+m,所以 m=y04 k=y0 y0= y0头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 95由点 P(4， y0)在线段 BB( B与 B关于 x轴对称)的内部，得 y0 ,所以 m 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 595解法二 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 因为弦 AC的中点为 P(4,y0)，所以直线 AC的方程为y y0= (x4)( k0) 将代入椭圆方程 =1,得
13、925y(9k2+25)x250( ky0+4)x+25(ky0+4)2259 k2=0所以 x1+x2= =8,解得 k= y0头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (当 k=0时也成立)9)4(k35(以下同解法一) 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 例 2若抛物线 上总存在关于直线 对称的两点，求 的范围a0a头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解法一 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco （对称曲线相交法）曲线 关于直线 对称的曲线方程为 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j a0xya如果抛物线
14、 上总存在关于直线 对称的两点，则两曲线210xy与 必有不在直线 上的两个不同的交点(如图所示)，21yax21ay0xy从而可由 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 2()x 0,xy 1a代入 得 有两个不同的解，2yx210xa 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 3(1)4()4解法二 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco （对称点法）设抛物线 上存在异于于直线2a 0xy的交点的点 ，且 关于直线0(,)A0(,)xy的对称点 也在抛物线 上 奎 屯王 新 敞新 疆 y 21a则必有两组解 奎
15、屯王 新 敞新 疆20()()axy(1)-(2)得 必有两个不同解 奎 屯王 新 敞新 疆200()x ，0yx 有解 奎 屯王 新 敞新 疆 ()1a从而有 有两个不等的实数解 奎 屯王 新 敞新 疆20()1xa即 有两个不等的实数解 奎 屯王 新 敞新 疆2 奎 屯王 新 敞新 疆2()4()0 ，0a 奎 屯王 新 敞新 疆34解法二 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco （点差法）设抛物线 上以 为端点的弦关于直线 对称，且以2a12(,),Axy 0xy-x=ay2-1y=ax2-1x+y=0-1AAoyxy=ax2-1x+y=0-1AAoyx为中点是抛物线 （即 ）内的点 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 0(,)Mxy21yax2()ya从而有 头htp:/w.xjkyg
