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1、流 体 力 学流 体 力 学 微分形式的基本方程微分形式的基本方程 内容内容 主要内容主要内容主要内容 微分形式的连续性方程和动量方程； 作用在流体微元上的体积力和表面力； 重力场、应力场、压强场； 边界条件和初始条件等 主要内容 微分形式的连续性方程和动量方程； 作用在流体微元上的体积力和表面力； 重力场、应力场、压强场； 边界条件和初始条件等 微分形式的流体力学基本方程描述空间点邻域内的物理量 关系，求解这些方程可得到物理量在空间分布的细节，上一 章讨论了运动参数的空间分布，这一章将把力的分布形式加 入基本方程。 微分形式的流体力学基本方程描述空间点邻域内的物理量 关系，求解这些方程可得到
2、物理量在空间分布的细节，上一 章讨论了运动参数的空间分布，这一章将把力的分布形式加 入基本方程。 本章内容本章内容 本章内容本章内容 本章重点 （ 本章重点 （1）不可压缩流体连续性方程； （ ）不可压缩流体连续性方程； （2） 纳维） 纳维-斯托克斯方程； （ 斯托克斯方程； （3） 压强的表达方式和单位； （ ） 压强的表达方式和单位； （4） 静止和运动流体中压强分布特征。） 静止和运动流体中压强分布特征。 内容内容 ?微分形式的连续性方程微分形式的连续性方程?微分形式的连续性方程微分形式的连续性方程 ?作用在流体元上的力作用在流体元上的力 ?微分形式的动量方程微分形式的动量方程 ?纳维
3、纳维-斯托克斯（斯托克斯（N-S）方程）方程 ?边界条件与初始条件边界条件与初始条件 ?压强场压强场 流体运动的连续性流体运动的连续性 17世纪初，英国年轻科学家哈维（世纪初，英国年轻科学家哈维（W.Harvey）运用伽利略倡 导的定量研究原则，测量出人的心脏每小时泵出约 ）运用伽利略倡 导的定量研究原则，测量出人的心脏每小时泵出约540磅 （ 磅 （245Kg）的血，相当于人体重的两倍多，这么多血来自何 方流向何方呢？ 哈维通过实验和逻辑思维否定了统治人类 ）的血，相当于人体重的两倍多，这么多血来自何 方流向何方呢？ 哈维通过实验和逻辑思维否定了统治人类1400多年的陈旧观 念，大胆提出从动
4、脉到静脉的血液循环理论，虽然当时还不 知道毛细血管的存在。 直至 多年的陈旧观 念，大胆提出从动脉到静脉的血液循环理论，虽然当时还不 知道毛细血管的存在。 直至45年后从发明的显微镜里首次观察到毛细血管，证实了 哈维的理论。血液循环理论是流体连续性原理的胜利，在科 学史上有里程碑的意义。 年后从发明的显微镜里首次观察到毛细血管，证实了 哈维的理论。血液循环理论是流体连续性原理的胜利，在科 学史上有里程碑的意义。(图图B3.1.1) 微分形式的连续性方程微分形式的连续性方程 如图如图B3.1.1所示， 设流体流过以 所示， 设流体流过以M(x,y,z) 为基点，以为基点，以dx,dy,dz为 边
5、长的控制体元。 在 为 边长的控制体元。 在 t 时间内沿时间内沿x方向净流出控制体（流出质量减去流入质量） 的质量为 方向净流出控制体（流出质量减去流入质量） 的质量为 按质量守恒定律，在 时间内沿三个方向净流出控制体的总质 量应等于控制体内减少的质量： 按质量守恒定律，在 时间内沿三个方向净流出控制体的总质 量应等于控制体内减少的质量： (B3.1.5) 取极限后可得取极限后可得 (B3.1.6) 利用质点导数概念，可改写为利用质点导数概念，可改写为 (B3.1.8) (B3.1.6)和和(B3.1.8)式均为微分形式的三维流动连续性方程式均为微分形式的三维流动连续性方程 方程适用于：任
6、何流体 方程适用于：任 何流体 在不同条件下连续方程有不同形式在不同条件下连续方程有不同形式 不可压缩流体 因 不可压缩流体 因= 常数，由常数，由(B3.1.8)式，不可压缩流体的连续性方程为式，不可压缩流体的连续性方程为 在直角坐标系中为在直角坐标系中为 (B3.1.10) (B3.1.11) 方程只适用于： 不可压缩流体 方程只适用于： 不可压缩流体 在柱坐标系中（在柱坐标系中（B3.1.10）式为）式为 (B3.1.12) 可压缩流体定常运动 因， 由（ 可压缩流体定常运动 因， 由（B3.1.6）式，可压缩流体定常流动的连续 性方程为 ）式，可压缩流体定常流动的连续 性方程为 在直角
7、坐标系中为在直角坐标系中为 (B3.1.13) (B3.1.14) 内容内容 ?微分形式的连续性方程微分形式的连续性方程 ?作用在流体元上的力作用在流体元上的力 ?微分形式的动量方程微分形式的动量方程 ?纳维纳维-斯托克斯（斯托克斯（N-S）方程）方程 ?边界条件与初始条件边界条件与初始条件 ?压强场压强场 体积力和表面力体积力和表面力 体积力 体积力为穿越空间作用在所有流体元上的非接触力，如重力、 惯性力、电磁力等 体积力 体积力为穿越空间作用在所有流体元上的非接触力，如重力、 惯性力、电磁力等 作用在流体体积元上的体积力 （）大小一般与流体元体积 （）成正比。故名体积力（图 作用在流体体积
8、元上的体积力 （）大小一般与流体元体积 （）成正比。故名体积力（图 B3.2.1）； 重力和惯性力正比于流体元的质量， 又称为质量力。 ）； 重力和惯性力正比于流体元的质量， 又称为质量力。 b F 体积力可表示为空间位置和时间的分布函数。作用在体积力可表示为空间位置和时间的分布函数。作用在M(x,y,z) 点邻域内单位质量流体元上的体积力点邻域内单位质量流体元上的体积力 f 为为 b t)z,y,(x, F f 0 lim = 作用在单位体积流体元上的体积力为 作用在单位体积流体元上的体积力为 f。 作用在有限体积域的流体系统上的体积力合力为作用在有限体积域的流体系统上的体积力合力为 d b
9、 =fF (B3.2.4) (B3.2.1) 表面力 表面力为流场中假想面一侧的流体（或固体）对另一侧流体的 接触力，如压强、粘性切应力等 作用在流体面积元上的表面力 （）除了与空间位置、时间有关 外，还与面积元的方位有关。 作用在过 表面力 表面力为流场中假想面一侧的流体（或固体）对另一侧流体的 接触力，如压强、粘性切应力等 作用在流体面积元上的表面力 （）除了与空间位置、时间有关 外，还与面积元的方位有关。 作用在过 M(x,y,z)点，外法线单位矢 为 点，外法线单位矢 为n的面积元上的单位面积表面力 （图 的面积元上的单位面积表面力 （图B3.2.2）为：）为： A tzyx A s
10、n F p 0 lim),( = (B3.2.5) 称为表面应力，脚标称为表面应力，脚标n代表面积元的方位代表面积元的方位 s F A n p 作用在有限表面域作用在有限表面域A上的表面力合力为上的表面力合力为 = A Ad sn pF(B3.2.6) 重力场重力场 在在Z轴垂直向上的直角坐标 系中，作用在单位质量流 体之上的重力构成重力场 （图 轴垂直向上的直角坐标 系中，作用在单位质量流 体之上的重力构成重力场 （图B3.2.3） 表面应力表面应力Pn 的脚 标 的脚 标n代表面积元代表面积元n 的方位，指该面积 元的单位外法矢量 的方位，指该面积 元的单位外法矢量 n 。 Pn的方向不
11、一定与面积元垂直 的方向不 一定与面积元垂直 g为重力加速度 重力是有势力： 为重力加速度 重力是有势力： 设设 简称为重力势，是单位质量流体元具有的重力势能简称为重力势，是单位质量流体元具有的重力势能 重力势梯度的负值即为重力重力势梯度的负值即为重力 (B3.2.7) (B3.2.8) (B3.2.9) 流体应力场流体应力场 静止流体中的应力状态静止流体中的应力状态 在静止流体中没有切向应力 （），只有法 向应力，静止流体中的表面应 力始终与作用面垂直。 在静止流体中一点的法向应力 在各个方向均相等（图 在静止流体中没有切向应力 （），只有法 向应力，静止流体中的表面应 力始终与作用面垂直。
12、 在静止流体中一点的法向应力 在各个方向均相等（图 B3.2.4） 称称p为静压强，就是热力学中的平衡压强，负号表示 流体只受压 运动的无粘性流体中也没有切向应力，应力状态与静 止流体相似。 为静压强，就是热力学中的平衡压强，负号表示 流体只受压 运动的无粘性流体中也没有切向应力，应力状态与静 止流体相似。 运动流体的应力状态运动流体的应力状态 在运动粘性流体中在运动粘性流体中,一点的表面应力与作用面不垂直， 即有法向分量又有切向分量，而且这些分量的大小与作用面 的方位有关，称其为应力状态 一点的表面应力与作用面不垂直， 即有法向分量又有切向分量，而且这些分量的大小与作用面 的方位有关，称其为
13、应力状态。 一点的应力状态可用通过该点三 个互相垂直的面积之上三组表面 应力分量完全确定。 如外法矢沿 一点的应力状态可用通过该点三 个互相垂直的面积之上三组表面 应力分量完全确定。 如外法矢沿x轴正向的面积元 上一组应力分量为（图 轴正向的面积元 上一组应力分量为（图B3.2.5） （x法向）（法向）（y切向）（切向）（z切 向） 切 向） 同另外两个正交面积元上的两组应力分量共九个分量构成应力 矩阵（张量） 同另外两个正交面积元上的两组应力分量共九个分量构成应力 矩阵（张量） 可以证明九个分量中只有六个是独立的可以证明九个分量中只有六个是独立的 = = = (B3.2.14) 静止流体中的
14、应力状态静止流体中的应力状态 运动的粘性流体各方面的法向应力可以不相等，引入平均压 强 ，并认为它也等于热力学中的平衡压强，简称为压强 运动的粘性流体各方面的法向应力可以不相等，引入平均压 强 ，并认为它也等于热力学中的平衡压强，简称为压强 把压强从法向应力中分离出来把压强从法向应力中分离出来 式中是运动粘性流体偏离平均压强的附加法向应 力，与流体元线应变率有关（图 式中是运动粘性流体偏离平均压强的附加法向应 力，与流体元线应变率有关（图B3.2.6） (B3.2.20) (B3.2.21) （图（图B3.2.6） 应力矩阵可写成：应力矩阵可写成： 上式右边第一项称为静压强项，第二项称为上式右
15、边第一项称为静压强项，第二项称为“偏应力偏应力”项， 由流体运动产生（静止时为零） 项， 由流体运动产生（静止时为零） (B3.2.22) 内容内容 ?微分形式的连续性方程微分形式的连续性方程 ?作用在流体元上的力作用在流体元上的力 ?微分形式的动量方程微分形式的动量方程 ?纳维纳维-斯托克斯（斯托克斯（N-S）方程）方程 ?边界条件与初始条件边界条件与初始条件 ?压强场压强场 用牛顿第二定律描述流体运动，可得在直角坐标系中微分形 式的动量方程为 用牛顿第二定律描述流体运动，可得在直角坐标系中微分形 式的动量方程为 (B3.3.5) 上式又称为流体运动微分方程。 它表明： 单位体积流体元上的体
16、积力及三个方向的表面应力梯度造成 了单位体积流体元的加速度。 上式又称为流体运动微分方程。 它表明： 单位体积流体元上的体积力及三个方向的表面应力梯度造成 了单位体积流体元的加速度。 如图表示在正方形微元三组平面上如图表示在正方形微元三组平面上x方向的表面应力梯度构成 表面应力合力 方向的表面应力梯度构成 表面应力合力 (B3.3.5)适用于任何流体，对不同类型的流体将具有不同的形式适用于任何流体，对不同类型的流体将具有不同的形式 内容内容 ?微分形式的连续性方程微分形式的连续性方程 ?作用在流体元上的力作用在流体元上的力 ?微分形式的动量方程微分形式的动量方程 ?纳维纳维-斯托克斯（斯托克斯（N-S）方程）方程 ?边界条件与初始条件边界条件与初始条件 ?压强场压强场 不可压缩牛顿流体本构关系不可压缩牛顿流体本构关系 对不可压缩牛顿粘性流体，将牛顿粘性定律从一维推广到三维， 法向应力和切向应力分别与线应变
