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1、第一章 直线和平面,三垂线定理,香山中学朱唯瑾,这是偶然的巧合,还是必然?,coscos=cos,A,a,O,P,PO a,?,已知 PA、PO分别是平面的垂线、斜线,AO是PO在平面上的射影。a ,aAO。 求证: aPO,在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条 斜线的射影垂直,那么,它就和这条斜线垂直。,三垂线定理,证明:,aPO,PA a ,AOa,a平面PAO,PO平面PAO,PA a,例1 已知P 是平面ABC 外一点, PA平面ABC ,AC BC, 求证: PC BC,证明: P 是平面ABC 外一点 PA平面ABC PC是平面ABC的斜线 AC是PC在平面ABC上的射影 BC
2、平面ABC 且AC BC 由三垂线定理得 PC BC,例2 直接利用三垂线定理证明下列各题:,(1) PA正方形ABCD所在平面,O为对角线BD的中点 求证:POBD,PCBD,(3) 在正方体AC1中,求证:A1CB1D1,A1CBC1,(2) 已知:PA平面PBC,PB=PC,M是BC的中点, 求证:BCAM,(1),(2),(3),(1) PA正方形ABCD所在平 面,O为对角线BD的中点, 求证:POBD,PCBD,证明:,ABCD为正方形 O为BD的中点, AOBD,又AO是PO在ABCD上的射影,POBD,(2) 已知:PA平面PBC,PB=PC, M是BC的中点, 求证:BCAM
3、,BCAM,证明:, PB=PC M是BC的中点,PM BC,PA平面PBC,PM是AM在平面PBC上的射影,(3) 在正方体AC1中, 求证:A1CBC1 , A1CB1D1,在正方体AC1中 A1B1面BCC1B1且BC1 B1C B1C是A1C在面BCC1B1上的射影,证明:,同理可证, A1CB1D1,由三垂线定理知 A1CBC1,我们要学会从纷繁的已知条件中找出 或者创造出符合三垂线定理的条件,解题回顾,,怎么找?,三垂线定理解题的关键:找三垂!,怎么找?,一找直线和平面垂直,二找平面的斜线在平面 内的射影和平面内的 一条直线垂直,注意:由一垂、二垂直接得出第三垂 并不是三垂都作为已
4、知条件,解题回顾,三垂线定理是平面的一条斜线与平面内的直线垂直的判定定理,这两条直线可以是:,相交直线,异面直线,使用三垂线定理还应注意些什么?,解题回顾,直线a 在一定要在平面内,如果 a 不在平面内,定理就不一定成立。,例如:当 b 时, bOA,注意:如果将定理中 “在平面内”的条件 去掉,结论仍然成立 吗?,但 b不垂直于OP,解题回顾,面ABCD 面 直线A1C 斜线 a 直线B1B 垂线 b,面ABCD 面 面B1BCC1面 直线A1C 斜线 a 直线AB 垂线 b,面ABCD 面 直线A1C 斜线 a 直线B1B 垂线 b,已知:PA,PO分别是平 面 的垂线和斜线,AO 是PO
5、在平面 的射影, a , a AO, l 平行于 a 。 求证: l 垂直于PO,若a是平面的斜线,b,直线 b垂直 于a在平面内的射影,则 ab,三垂线定理包含几种垂直关系?,线射垂直,线面垂直, 线斜垂直,直 线 和 平面垂直,平面内的直线和平面一条斜线的射影垂直,平面内的直线和平面的一条斜线垂直,线射垂直,线斜垂直,平面内的一条直线和平面的一条斜线在平面内的射影垂直,平面内的一条直线和平面的一条斜线垂直,三垂线定理的逆定理,?,在平面内的一条直线,如果和这个平面的一 条斜线垂直,那么,它也和这条斜线的射影垂直。,已知:PA,PO分 别是平面 的垂线和斜 线,AO是PO在平面 的射影,a
6、,a PO 求证:a AO,三垂线定理的逆定理,三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么,它也和这条斜线的射影垂直。,三垂线定理: 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么,它就和这条斜线垂直。,定 理,逆 定 理,例3 如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等, 那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上。,已知:BAC在平面内,点P,PEAB,PFAC, PO ,垂足分别是E、F、O,PE=PF 求证:BAO=CAO,分析: 要证 BAO=CAO 只须证OE=OF, OEAB,OFAC,P,?,?,?,证明:, PO ,OE、OF是P
7、E、PF在内的射影, PE=PF, OE=OF,由OE是PE的射影且PEAB,OEAB,同理可得OFAC,结论成立,例4 在四面体ABCD中,已知ABCD,ACBD 求证:ADBC,DOBC,于是ADBC.,证明:作AO平面BCD于点O, 连接BO,CO,DO,则BO, CO,DO分别为AB,AC, AD在平面BCD上的射影。,O,ABCD,BOCD,,同理COBD,,于是O是BCD的垂心,,1. 在正方体AC1中,E、G分别是AA1和 CC1的中点, F在AB上,且C1EEF, 则EF与GD所成的角的大小为( ) (A) 30 (B) 45 (C) 60(D) 90,D,M,EB1是EC1在平面AB1 内的射影,EB1 EF DGAMEB1 EF DG,练习与作业,2.已知 PA、PB、PC两两垂直, 求证:P在平面ABC内的射影是 ABC的垂心。,3.经过一个角的顶点引这个角 所在平面的斜线,如果斜线和 这个角两边的夹角相等,那么 斜线在平面上的射影是这个角 的平分线所在的直线。,4.在ABCDA1B1C1D1中, 求证:AC1平面BC1D,