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1、第四章 体 的 表 面 交 线,第二节 平面与回转体相交,第三节 两立体体表面相交,第一节 平面立体被截切,第四章 体的表面交线,截平面,概念： 截切用一个与立体相交的平面， 截去立体的一部分。,截断面,截交线,截平面用以截切物体的平面。,截交线截平面与物体表面的交线。,截断面因截平面的截切，在物上形成 的平面。,相贯线两回转体的相交叫相贯，其表面产生的交线叫相贯线,截交线的性质：截交线是一封闭的平面多边形，它是截平面与立体表面的共有线。 实质：求两平面的交线。 求截交线的方法 ： 空间分析：截平面与体的相对位置，确定截交线的形状； 截 平面与投影面的相对位置，确定截交线 的投影特性。 作图方
2、法： 1）交点法：求出立体表面上已知直线与截平面的交点，连接交点 位所求。 2）表面取点法：利用立体表面在投影面上的投影右积聚性的特点求之。 3）辅助线法：在立体表面上作辅助素线及辅助圆求之。 4）辅助平面法：借助辅助平面与立体表面及截平面相交来求之。,4-1 平面立体被截切,例1：求作四棱锥被截切后的水平投影和侧面投影。,分析：截平面为正垂面截交线的正面投影积聚为直线。截平面与四条棱线相交，从正面可直接找出交点。,1,1,1,2,2,2,(4),4,3,3,3,作出各对应点的投影， 依次连接各点。,补全棱锥体的外形投影。,4,1、单一平面与平面立体截交,例2、正垂面截切六棱柱，完成截切后的三
3、面投影。,分析：由图可知，截交线的正面投影积聚为一直线。水平投影，除顶面上的截交线外，其余各段截线都积聚在六边形上。,1,1,2 （3）,2,3,4 （5）,4,5,1,2,3,4,5,6（7）,6,7,6,7,完成后的投影图,例3、如下图所示，作四棱柱被截切后的投影。,a,(b),b,a,a,b,分析：四棱柱的上部被一个正垂面和一个侧平面所截切，因四棱柱的四个棱面均垂直于水平面，截平面与棱线的交点均在棱面的投影上。此题还应作出两截平面的交线AB的投影。,B,A,2、多个平面与平面立体截交,完成后的投影图,截交线的性质： 截交线是截平面和回转体表面的共有线，截交线上任意点都是它们的共有点。 截
4、交线是封闭的平面曲线或曲线与平面组成的平面图形。 截交线的形状，取决于回转体表面的形状及截平面对回转体轴线的相对位置。 求截交线的方法和步骤： 分析回转体的表面性质，截平面与投影面的相对位置，截平面与回转体的相对位置，初步判断截交线的形状及其投影。 求出截交线上的点，首先找特殊点再补充中间点。 补全轮廓线，光滑地连接各点，得截交线的投影。,4-2 平面与回转体相交,一、平面与圆柱体相交 截平面与圆柱面截交线的形状取决于截平面与圆柱轴线的相对位置。,截平面与圆柱轴线 平行截交线为矩形,截平面与圆柱轴线 倾斜截交线为椭圆,截平面与圆柱轴线 垂直截交线为圆,例1、求斜切圆柱体的投影，已知正面和水平面
5、 的投影，完成侧面投影。,1 ,2 ,1, 2, 1,2 ,3(4) ,4, 3,4,3,a ,a(b) ,b, a,b,c(d), c,d, c,d,作图过程： 求特殊点 即找最高、最低、最左、最右、最前、最后点可确定出椭圆长短轴的端点。 求一般点 从正面投影上选取A、B、C、D四点分别求出水平面和侧面投影。 光滑地连接各点。,例2、已知圆柱截断体的正面和侧面投影，求水平投影。,分析：圆柱的轴线是侧垂线，截断体分别由侧平面、正垂面、水平面截切圆柱体而成的。 侧平面与圆柱轴线垂直，截交线为圆弧，其正面投影为直线，侧面投影为圆弧。 正垂面与圆柱轴线倾斜，截交线为部分椭圆，正面投影为直线，侧面投影
6、与圆重合。 水平面与圆柱轴线平行截交线为矩形，正面、侧面投影均直线。,1 , 1, 2, 2,(3) 2, 3,3 ,4 (5), 4, 4,5 ,5 ,6(7 ) ,7,6,6 ,7 ,8 (9 ), 8,9 , 8,9 ,a (b ), a,b , a,b ,1 ,c,d,c,d,( ),( ),完成后的投影图,例3、求如图所示的开槽圆柱的左视图。,分析：槽是由三个截平面形成的，左右对称的两个截平面是平行于圆柱轴线的侧平面，它们与圆柱面的截交线均为两条直素线，与上底面的截交线为正垂线。另一个截平面是垂直于圆柱轴线的水平面，它与圆柱面的截交线为两段圆弧。三个截平面间产生了两条交线，均为正垂线
7、。,1（2） , 1,2 , 1,2, 3（4）, 3, 4, 3, 4,5（6） ,5,6,5 ,6 ,完成后的投影图,二、平面与圆锥体相交 截平面与锥体的截切位置和轴线倾角不同，截交线的 形状不同。,截平面垂直于圆锥轴 线，倾角为=90， 截交线为圆形。,截平面与圆锥轴线 倾斜，倾角 截交线为椭圆。,截平面与圆锥轴线 倾斜面，倾角= 截交线为抛物线。,截平面与圆锥轴线 平行或倾角， 截交线为双曲线。,截平面过锥顶截 交线为三角形。,例1、已知圆锥体的正面投影和部分水平面投影，求斜切圆锥体的水平投影和侧面投影。,圆锥体的轴线为铅垂线，截平面与圆锥轴线的倾角大于圆锥母线与轴线的夹角，截交线为椭
8、圆。截平面是正垂面，截交线的正面投影为直线。, a,a , b, b, a,b ,c(d ) , c, c,d , k,l ,k, kl,d ,l ,作图： 1、求特殊点 最高点B 最低点A；圆锥体的前后 素线与截交线的正面投影 的交点cd重影为一点，其 余两面投影根据投影关系 求出；截交线的最前点K 和最后点L，正面投影重影 于ab的中点。 2、求一般点。 3、光滑连接各点的同面投 影。,完成后的三视图,例2、已知顶尖被截切后的正面和侧面投影，求作水平投影。,分析：顶尖头是由相连的圆锥 体和圆柱体被两个平面截切 而成，轴线为侧垂线，截平面 分别为侧平面和水平面。 侧平面与圆柱轴线垂直， 与圆
9、柱的截交线为圆弧，正面 投影为直线，侧面投影为圆弧 的实形。 水平面与圆柱的截交线为 开口矩形，与圆角度的截交线 为双曲线，其正面和侧面投影 均为直线 。,a , b (c),a,a , b,c, b, C,de ,d,e,e , d,f , f , f,gh , g, h, g,h ,三、平面与球体相交 球被平面截切，截交线均为圆。由于截平面位置不同，截交线的投影可能是圆、直线或椭圆。,1、截平面为平行面,截平面为正平面，正面投影为截交线圆的实形。,截平面为水平面，水平投影为截交线圆的实形。,截平面为正垂面，截交线的水平投影及侧面为椭圆。,3、截平面为垂直面,2、截平面为水平面,例1：已知圆
10、球体被截切后的正面投影求作水平投影。,a,b, b,a ,e (f ) , e,f ,c(d) , c,d ,g(h ) , g,h ,分析：截平面为正垂面，截交线的正面投影为直线，水平投影为椭圆。,作图：1、求特殊点 截交线的最低点A和最高点B是水平投影的最右点和最左点，也是截交线水平投影椭圆短轴的交点，水平投影a、b在其正面投影轮廓线的水平投影上。 a b的中点c d是截交线水平投影椭圆长轴端点的正面投影，其水平投影cd投影在辅助纬圆上。 e f是截交线与球的水平投影轮廓线的正面投影的交点，其水平投影ef在球的水平投影轮廓线上。 2、求一般点 选择适当位置作辅助水平面，与ab的交点g、h为
11、截交线上两个点的正面投影，其水平投影g、h投影在辅助纬圆上。,例2、已知带通槽半球的正面投影，完成水平和侧面投影。,分析：半球的通槽由三个平面构成， 一个水平面和两个侧平面截切圆球 它们与球面的截交线都是分别平行于 投影面的圆弧。关键是确定截交圆弧 的半径；可根据截平面位置确定。,1、通槽的水平投影作图：过槽底部作辅助水平面，水平投影为圆，并在圆周上截取与正面投影相对应的前后两段圆弧。,2、通槽侧面投影的作图：两侧平面距球心等远，两圆弧的半径相等，两段圆弧的侧面投影重合。,4-3 两立体表面相交,概 念 两立体的相交叫相贯，其表面产生的交线叫相贯线。 相贯线性质： 表面性相贯线位于两立体的表面
12、上。 封闭性相贯线一般是封闭的空间曲线。 共有性相贯线是两立体表面的共有线。 作图实质：找两立体表面的若干共有点的投影。 作图方法： 交点法、表面取点法、辅助线法、辅助平面法。,辅助平面法：根据三面共点原理，利用辅助 平面求出两回转体表面上的共有点。 作图步骤： 分析两立体表面性质，即两立体的相对位置和相交情况。 求相贯线上的特殊点。 求相贯线上的一般点。假想用辅助平面截切两立体，分别得出两立体表面的截交线，截交线的交点是相贯线上的点。 选择辅助平面的原则： 使辅助平面与两立体表面的截交线的投影是最简单形状（直线或圆）。一般选投影面平行面。,一、平面立体与平面立体相交 两平面立体的相贯线在一般
13、情况下是一条封闭的折线,由于两立体的相对位置不同，相交折线可能由一个或几个部分的交线组成。折线的各个顶点是一个平面立体的棱与另一个平面立体的交点，折线的各段是两平面立体各侧面的交线。,a(e),b(f),d(g),c,a(c),b,f,e,g,d,a,e,c,f(g),b(d),二、平面立体与曲面立体相交 平面立体与曲面立体的相贯线，一般是由若干段平面曲线或直线所组成的空间封闭曲线。,相贯线投影,三、曲面立体与曲面立体相交 两曲面立体相贯，其相贯线一般为光滑的封闭空间曲线。相贯线上的点，是两曲面立体表面上的共有点。 1、两圆柱相交 相交两回转体的相互位置不同可分为正交、偏交、斜交。,分析：两圆
14、柱体轴线垂直相交，其轴线分别为铅垂线和侧垂线，因此小圆柱的水平投影和大圆柱的侧面投影都具有积聚性。相贯线的水平投影积矛在圆周上，侧面投影积聚于圆周的一部分。,作图：求特殊点：a、b就是两圆柱表面共有点的正面投影，也是相贯线的最高点、最左点、最右点。从侧面投影轮廓线的交点求得相贯线最前点、最后点的侧面投影c、d，由从属关系求出其余两面投影。 求一般点：作辅助正平面，与两圆柱的交线均为矩形，其侧面投影1、2和水平面投影1、2分别在圆周与平面投影的交点上。,a ,b ,a b ,a ,b , c,d, c (d), c,d ,1,2,1 (2 ) , 1, 2,例1、如图示，求两圆柱正交的相贯线。,
15、完成后的投影图,例2、已知一圆柱体上有一圆柱孔，如图所示，求相贯线。,a ,b ,a ,b,a (b) , c,d , c (d), c,d ,1, 2,1(2) , 1, 2,完成后的相贯线投影图,2、圆柱与圆锥相交 例：求圆柱和圆锥相贯线的正面和侧面投影。,分析：圆柱与圆锥的轴线相互垂直，圆柱的轴线是侧垂线，圆锥的轴线是铅垂线。相贯线的侧面投影积聚在圆柱侧面投影的圆周上。用辅助平面法作图。,作图：求特殊点 A、B是最高点和最低点；过圆柱的最前、最后转向轮廓线作辅助水平面，可求得相贯线最前、最后点的投影。,a , b,a , a, b,b ,d , c,cd ,c,d ,求一般点 作辅助水平面。, 1,2
