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1、1,第四章 二元关系和函数,2,本章主要内容:,集合的笛卡尔积与二元关系 关系的运算 关系的性质 关系的闭包 等价关系和偏序关系 函数的定义和性质 函数的复合和反函数,3,4.1 集合的笛卡儿积与二元关系,定义4.1 由两个元素x和y(允许x=y)按一定的顺序排列成的二元组叫做一个有序对(也称序偶),记作,其中x是它的第一元素,y是它的第二元素。 平面直角坐标系中点的坐标就是有序对,例如,(1,1), (1,1) ,都代表坐标系中不同的点。,4,有序对的特点： 1.当xy时,。 2.两个有序对相等,即 的充分必要条件是xu且yv。,6,定义4.3 设A,B为集合,用A中元素为第一元素,B中元素
2、为第二元素,构成有序对,所有这样的有序对组成的集合叫做A和B的笛卡儿积,记作AB。符号化表示为 AB(x,y)|xAyB. 例如,Aa,b,B0,1,2,则 AB ,； BA , ,。,7,如果A中有m个元素,B中有n个元素, 则AB和BA中都有多少个元素? mn个 若AB,则有 xA和yB。 若AB,则有 xA或者y B.,8,笛卡儿积运算的性质: 1.若A,B中有一个空集,则它们的笛卡儿积是空集, 即 BB 2.当AB且A,B都不是空集时,有 ABBA。 所以,笛卡儿积运算不适合交换律。 3.当A,B,C都不是空集时,有 (AB)CA(BC). 所以,笛卡儿积运算不适合结合律。,9,4.笛
3、卡儿积运算对或运算满足分配律即 A(BC)(AB)(AC)； (BC)A (BA)(CA)； A(BC)(AB)(AC)； (BC)A (BA)(CA)。,10,证明 A(BC)(AB)(AC) 证明 对于任意的, A(BC) xAyBC xA(yByC) (xAyB)(xAyC) ABAC (x,y)(AB)(AC). 所以 A(BC)(AB)(AC)。,11,例4.1 设A=1,2,求P(A)A 解 P(A)A ,1,2,1,21,2 , ,12,例4.2 设A,B,C,D为任意集合,判断以下等式是否成立,说明为什么。 (1) (AB)(CD)(AC)(BD)； (2) (AB)(CD)(
4、AC)(BD)； (3) (AB)(CD)(AC)(BD)； (4) (AB) (CD) (AC) (BD)。,13,解.(1)成立.因为对于任意的, (AB)(CD) xAByCD xAxB yCyD AC BD (AC)(BD) (2)不成立。 举一反例如下：若AD,BC1 则有： (AB)(CD)BC, (AC)(BD)。 (3)和(4)都不成立,14,例4.3 设A,B,C,D为任意集合,判断以下命题的真假. (1)若AC且BD,则有ABCD。 (2)若ABCD,则有AC且BD. 解 (1)命题为真。请思考：为什么？ (2)命题为假.当AB时,或者A且B时,该命题的结论是成立的。但是当
5、A和B之中仅有一个为时,结论不一定成立,例如,令ACD,B1,这时ABCD,但BD。,15,定义4.4 设A1,A2, , An是集合(n2),它们的n阶笛卡儿积,记作A1A2An,其中 AlA2An|x1Alx2A2xnAn。 例如: A=a,b,则 A3= , , , ,16,二元关系Relation,所谓二元关系就是在集合中两个元素之间的某种相关性. 例如,甲、乙、丙三个人进行乒乓球比赛,如果任何两个人之间都要赛一场,那么共要赛三场。假设三场比赛的结果是乙胜甲、甲胜丙、乙胜丙,这个结果可以记作 ,其中表示x胜y。它表示了集合甲,乙,丙中元素之间的一种胜负关系.,17,例子.有A,B,C三
6、个人和四项工作,已知A可以从事工作,B可以从事工作,C可以从事工作,。那么人和工作之间的对应关系可以记作 R,。 这是人的集合A,B,C到工作的集合,之间的关系。,18,定义4.5 如果一个集合为空集或者它的元素都是有序对, 则称这个集合是一个二元关系,一般记作R。 对于二元关系R, 如果R,则记作xRy； 如果R,则记作,19,定义4.6 设A,B为集合,AB的任何子集所定义的二元关系称作从A到B的二元关系,特别当AB时,则叫做A上的二元关系。 关系RAB, R is a relation from A to B. RAA, R is a relation on A. A上有多少个不同的二元
7、关系? |A|=n |AA|=n2 |P(AA)|=2n2 每一个子集代表一个A上的关系,共2n2个关系.,20,对于任何集合A都有3种特殊的关系: 其中之一就是空集,称做空关系。 另外两种就是全域关系EA和恒等关系IA。 定义4.7 对任何集合A, EAxAyAAA。 IAxA。 例如：A=0,1,2,则 EA, IA,2,2)。,21,常用的关系:小于等于关系、整除关系,例如: 设A为实数集R的某个子集,则A上的小于等于关系定义为 LAx,yAxy 设B为正整数集Z的某个子集,则B上的整除关系定义为 DBx,yBxy.,22,例如: A=4,0.5,-1,B=1,2,3,6,则,LA ,
8、., , DB , , , .,23,例4.4 设Aa,b,R是P(A)上的包含关系, R|x,yP(A)xy, 则有 P(A),a,b,A。 R ,.,24,有穷集A上的关系R, 可用关系矩阵和关系图给出。 设A1,2,3,4, A上的关系 R, 。 R的关系矩阵和关系图如图,关系矩阵和关系图,25,26,关系矩阵和关系图,设V是顶点的集合,E是有向边的集合,令VAx1,x2,xn,如果xiRxj,则有向边E.那么G就是R的关系图。 设Ax1,x2,xn,R是A上的关系, 则R的关系矩阵可表示为：,27,4.2 关系的运算,关系R的定义域,值域和域 关系F的逆 关系F与G的合成 关系F在集合
9、A上的限制 集合A在关系F下的象 关系R的n次幂,28,定义4.8 关系R的定义域 domR,值域ranR和域fldR分别是 domRxy(R) ranRy| x(R) fldRdomRranR。 domR就是R的所有有序对的第一个元素构成的集合,ranR就是R的所有有序对的第二个元素构成的集合. 例:实数集R上的关系S=|x,yRx2+y2=1, domS=ranS=fldS=1,1.,29,例4.5 下列关系都是整数集Z上的关系,分别求出它们的定义域和值域,(1)R1x,yZxy； (2)R2x,yZx2+y2=1； (3)R3x,yZy2x； (4)R4x,yZ x y=3。 解 (1)
10、 domR1ranR1Z. (2) R2, domR2ranR20,1,1. (3) domR3Z ranR32z|zZ,即偶数集 (4) domR4ranR4-3,3.,30,从A到B的某些关系R的图解方法(不是R的关系图) 1.用封闭的曲线表示R的定义域(或集合A)和值域(或集合B). 2.从x到y画一个箭头,如果R,31,32,逆、合成、限制和象,定义4.9 设F,G为任意的关系,A为集合,则 (1)F的逆记作F-1 F-1|yFx. (2)F与G的合成记作FG, FG,z(xGzzFy) (3)F在A上的限制记作 F A F A|xFyxA. (4)A在F下的象记作FA, FAran
11、(F A),33,例4.6 设F,G是N上的关系,其定义为 Fx,yNyx2 Gx,yNyx1。 解：1) 2)对任何的xN有 则 所以,34,由这个例子不难看出,合成运算不是可 交换的,即对任何关系F,G,一般说来 FGGF.,35,定理4.1 设F,G,H是任意的关系,则有 (3)(FG) HF (GH) (4) 怎样证明?,关系的基本运算的主要性质,36,定理4.2 设F,G,H为任意的关系,则有 (1)F (GH)=FGFH (2) (GH)F=GF HF (3) F (GH) FGFH (4) (GH)F GF HF 怎样证明?,37,定义4.10 设R为A上的关系,n为自然数,则R
12、的n次幂规定如下：,R0=IA R1=R0R=R R0,38,39,在有穷集A上给定了关系R和自然数n,求Rn的方法:,1.集合运算:依据定义 2.关系矩阵:用关系矩阵M表示关系R,计算MM,在两个矩阵相乘时,第i行第j列的元素rij满足下式(i,j=1,2,3,4) rij = ri1 r1j + ri2 r2j + ri3 r3j + ri4 r4j 这里的加法+是逻辑加,即 0+0=0,0+1=1,1+0=1,1+1=1 3.关系图:对R的关系图G中的任何一个结点x,考虑从x出发的长为n的路径,如果路径的终点是y,则在Rn的关系图中有一条从x到y的有向边.,40,定理4.3 设R为A上的
13、关系,m,n是自然数,则下面的等式成立.,41,42,4.3 关系的性质,设R是A上的关系,R的性质主要有以下5种： 自反性、 反自反性、 对称性、 反对称性 传递性。,43,44,判断下列关系的性质,集合A上的全域关系: 自反的、对称的和传递的 恒等关系 自反的、对称的和传递的. 整除关系 自反的、反对称的和传递的 小于等于关系 自反的、反对称的和传递的 幂集上的包含关系 自反的、反对称的和传递的,45,设A为非空集合: 1.A上的关系可以是自反的, 反自反的,或者既不是自反的也不是反自反的. 例如:Q=1,2,3,令 A=, IQ R B=, IQR= C=, IQR且IQR,46,2.
14、A上的关系可以是对称的, 反对称的,或者既是对称的又是反对称的, 既不是对称的也不是反对称的. 例如:Q=1,2,3,令 A=, R-1=R B=, R R-1 IQ C= R IQ D= , RR R是什么关系?,47,例4.9 试判断图4.5中关系的性质。,48,设R1,R2是A上的关系,如果经过某种运算后仍保持原来的性质,则在相对应的格内划,否则划。,49,例：设R1,R2为A上的对称关系,证明R1R2也是A上的对称关系。 证明：对于任意的 R1R2 R1 R2 R1 R2 R1 R2 所以, R1R2在A上是对称的。 例: R1 , R2 是A上的反对称关系, A=x1, x2, R1 =, R2 =,R1 R2 =, 不是A上的反对称关系.,50,作业,证明表4.2的反对称性和传递性 P105 4.1 4.2 4.3 4.4,
