第十一部分相似原理及量纲分析教学课件电子教案

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1、第十一章 相似原理及量纲分析,11.1 相似原理,11.2 量纲分析法及定理的应用,11.3 方程分析法,11.4 模型实验,流体力学问题的解决不外乎用理论或实验两种方法。在理论方法中，主导待求问题的控制方程是必须的。但对于许多复杂的现象，特别是对于原本就不清楚的未知现象往往是不可能的。这就必须依靠实验方法 。在实际过程中任何一个物理现象往往有许多影响因素，要研究每一个因素对这一现象的影响，需要进行大量的实验，有时简直是不可能的。因此需要一种简单的方法使得只进行少量的实验就可达到对流动现象的本质认识.本章介绍的相似原理及量纲分析就是指导实验的理论基础。,11.1 相似原理,11.1.1 相似概

2、念,直接实验方法有很大的局限性，其实验结果只适用于某些特定条件，并不具有普遍意义，因而即使花费巨大，也难能揭示现象的物理本质，并描述其中各量之间的规律性关系。并且还有许多流动现象不宜进行直接实验。所以实际中常用模型做实验。但要使从模型实验中得到的精确的定量数据能够准确代表对应原型的流动现象，就必须在模型和原型之间满足以下的相似性。,相似是指组成模型的每个要素必须与原型的对应要素相似，包括几何要素和物理要素，其具体体现为由一系列物理量组成的场对应相似。对于同一个物理过程，若两个物理现象的各个物理量在各对应点上以及各对应瞬间大小成比例，且各矢量的对应方向一致，则称这两个物理现象相似。在流动现象中若

3、两种流动相似，一般应满足：,（1） 几何相似,几何相似是指模型与其原型形状相同，但尺寸可以不同，而一切对应的线性尺寸成比例，这里的线性尺寸可以是直径、长度及粗糙度等。如用下标p和m分别代表原型和模型，则,线性比例常数,（11.1）,面积比例常数,(11.2),体积比例常数,(11.3),（2） 运动相似,运动相似是指对不同的流动现象，在流场中的所有对应点处对应的速度和加速度的方向一致，且比值相等，也就是说，,两个运动相似的流动，其流线和流谱是几何相似的。,速度比例常数,由于时间的量纲是，因此时间比例常数为,由此加速度比例常数,（3） 动力相似,动力相似即对不同的流动现象，作用在流体上相应位置处

4、的各种力，如重力、压力、粘性力和弹性力等，它们的方向对应相同，且大小的比值相等，也就是说，两个动力相似的流动，,(11.4),(11.5),(11.6),弹性力：,式中为 弹性模量，且 ，而 ，这里c是声速，代入上式，因此有,表面张力：,惯性力：,在许多实际问题中，上述各力并非同等重要，有时有些力可能不存在或者小得可以忽略不计，例如 和 ，见图11.1。如果在满足几何相似及运动相似的两个流动现象中，并且受有同样的力，于是，如果这些力满足以下条件，则说两个现象是动力相似的。,11.1（a）原型,11.1 (b)模型,图11.1 满足几何相似、运动相似和动力相似的流动,这里 和 分别代表切向和法向

5、加速度，而下标p和m依然代表原型和模型。同样，用 、 、 分别去除惯性力 ，我们也可以将其表示成下列关系：,从这4个力我们得到了3个无量纲量，它们必须满足3个独立的关系式；同理，从3个力我们可以得到2个无量纲量，同时必须满足2个独立的关系式。,满足以上三种相似条件时，两个流动现象（或流场）在力学上就是相似的。这三种相似条件中，几何相似是运动相似和动力相似的前提和依据，动力相似是则是流动相似的主导因素，而运动相似只是几何相似和动力相似的表征；三者密切相关，缺一不可。,11.1.2 相似原理,理论上，任意一个流动由控制该流动的基本微分方程和相应的定解条件唯一确定。两个相似的流动现象，为了保证它们遵

6、循相同的客观规律，其微分方程就应该相同，这是同类流动的通解；此外，要求得某一具体流动的特解，还要求其单值条件也必须相似。这些单值性条件包括：,（1）初始条件，指非定常流动问题中开始时刻的流速、压力等物理量的分布；对于定常流动不需要这一条件。,（2）边界条件，指所研究系统的边界上（如进口、出口及壁面处等）的流速、压力等物理量的分布。,（3）几何条件，指系统表面的几何形状、位置及表面粗糙度等。,（4）物理条件，指系统内流体的种类及物性，如密度、粘性等。,因此，如果两个流动相似，则作为单值性条件相似，作用在这两个系统上的惯性力与其它各力的比例应对应相等。在流体力学问题中，若存在上述所有这六种力，而且

7、满足动力相似，则必须使下列各力间的比例对应相等。,惯性力与压力（或压差）之比：,（11.8）,惯性力与重力之比：,（11.9）,惯性力与摩擦力之比：,（11.10）,惯性力与弹性力之比：,（11.11）,惯性力与表面张力之比：,（11.12）,上述（11.8）（11.12）式分别引入了以下五个无量纲数：,1）欧拉数,2）弗汝德数,3）雷诺数,4）马赫数,5）韦伯数,可以看出， 、 、 、 和 都是无量纲数，在相似理论中称作相似准则或者相似判据，它们是判断两个现象是否相似的依据。因而，彼此相似的现象，其同名相似准则的数值一定相等。反之，如果两个流动的单值条件相似，而且由单值条件组成的同名相似准则

8、的数值相等，则这两个现象一定相似。,11.2 量纲分析法及定理的应用,量纲和谐原理指出，要正确反映一个物理现象所代表之客观规律，其所遵循的物理方程式各项的量纲必须一致。这是量纲分析法的基础，因此也可以用这一原理来校核物理方程和经验公式的正确性和完整性。当某个流动现象未知或复杂得难以用理论分析写出其物理方程时，量纲分析就是一种强有力的科学方法。这时只需仔细分析这些现象所包含的主要物理量，并通过量纲分析和换算，将含有较多物理量的方程转化为数目较少的无量纲数组方程，就能为解决问题理出头绪，找出解决问题的方向，这就是量纲分析的价值。,11.2.1 量纲基本知识,“量纲”，或“因次”，是用以度量物理量单

9、位种类的。在国际单位制（即SI单位制）中，规定有7个基本单位（或量纲），对于流体力学问题一般涉及其中的4个，即长度单位为米（m），质量单位为公斤（kg），时间单位为秒（s），温度单位为开尔文（K），对应的量纲即基本量纲，依次是 和 任何,一个物理量都可以用上述基本量纲的某种组合，即导出量纲来表示；它们都可写作基本量纲指数幂乘积的形式，主要的有：,速度,加速度,力,角度,压强、切应力,密度,功、能量、热量,功率,粘性系数,运动粘性系数,11.2.2 量纲分析法 瑞利 (Rayleigh) 法,下面通过例题说明量纲分析方法的具体应用。,例题11.1 不可压缩流体在匀直圆管内作定常流动，试分析圆管单

10、位长度上的流动损失 的表达式。,解,根据题意，基本可按以下步骤解题,(1)分析所求问题的影响因素。这是求解问题正确与否的关键。在本例中，由于是管内流动，显然管壁粗糙高度 将会显著影响流动阻力；管长、管径、流体流动速度V都将是重要的影响因素；同样，流体的性质，如密度 和运动粘性系数 也将影响流动阻力的大小。因此，该流动现象共有 和 等7个变量，如果研究单位长度上的流动阻力 ，则减少一个变量，它们组成关系式：,(2)写出各变量之间的指数关系式：,其中 、 、 和 都是待定指数，K为常数,(3)写出各变量的量纲：,(4)写出对应的量纲关系式：,(5)比较等式两边对应量纲的指数，并根据量纲一致的原理解

11、得各待定指数：,上述3个方程中包含5个未知数，于是将其中2个，如 、 作为待定系数，从而解得：,(6)将求得的指数代入上面的指数关系式，并将具有相同待定指数的量组合在一起成为相似准则：,或者也可写作,式中， ， 称作阻力因数，其中 。,可见，圆管流动中的阻力因数 取决于雷诺数 和 粗糙度的变化，这与前面所讲的尼古拉兹曲线揭示的规律是一致的。但是必须知道，量纲分析不能得出 的具体数值，它的数,值只能通过实验获得。假定对于粗糙度 一定的圆管，如要得到 对阻力因数 的影响，如每次改变其中一个量，每个量取10个不同的值分别进行实验，要建立上述关系式就需要进行次实验。这不仅需要花费大量的人力、物力、财力

12、和宝贵的时间，而且有时也是难以做得到的。但是如果用上述的无量纲数 ，仅用10次实验就可以确定阻力因数 和 数之间对应关系的普遍规律，而且不用改变上述每一个量，只需改变容易控制的速度V就可以了。这就是量纲分析的科学价值。,11.2.3 定理,对于某个物理现象，若影响该现象的有量纲变量有n个，其中基本量纲有m个，于是可以将这些有量纲变量以乘积形式分组，编排成个独立的无量纲量，并将各无量纲量组成函数关系式。这些无量纲量用表示，故称 定理。,设变量 、 、 、 代表n个有量纲变量，如速度、密度及压力等，我们可以将这些变量写成如下的量纲齐次关系式：,重新编排这个方程为以下形式：,其中每个 代表一个独立的

13、由若干个有量纲量 以乘积形式组合而成的无量纲量。,例题11.2 用 定理方法分析例题11.1中的流动。,解：,1）列出对所求问题有重要影响的物理量：,如上例所述，共有 和 等7个变量，因此有函数关系式,或者,这里，n=7。,2）用国际单位制（MLT）列出各个变量的量纲，它们依次为,涉及 这3个基本量纲，因此m=3。,3）选择m个独立的有量纲变量，它们应包括M、L、T三个基本量纲，但不应形成无量纲数组。,在一般流体力学问题中，常选一个与长度有关的量，例如 或 以保证几何相似；一个与速度有关的量，例如 ，以保证运动相似；再选一个与质量有关的量，例如 ，以保证动力相似。这3个变量分别具有量纲 和 ，

14、它们不会形成无量纲数组，因为 不能抵消。 因此该例中，即只有4个 值 。如果在所研究的问题中包含有温度的变化，还应再增加一个温度作为基本量纲。注意，在这里选择有量纲量时就不能选 ，因为它们未能全部包含 三个基本量纲；而且 互不独立，它们能够组成无量纲量；同时因为同样的原因也不能选 。,4）将其余每一个变量依次与上述诸独立变量的相应指数的乘积组成无量纲量 ，并将各变量的量纲代入：,5）对每一个等式写出指数方程，并使每个量纲的指数之和等于0，则对于 ，有,于是解得指数 ；同理，对于 ，有,解得指数 ；对于 ，,解得指数 ；同样，对于,由此解得：,6）将上面求得的各指数代入对应的式中，可得,7）建立

15、型的函数关系，即,同时，也可以写成任意一个无量纲数的显式关系式，如对压差求解后得,为了方便起见，可对式中的某些项（注意，它们都是无量纲项）或各项间进行一系列算术运算，例如加、减、乘、除，以及指数和开方等运算，而不影响其无量纲的本质。例如这里对第二项，即数项取倒数后，该式可写成,由于管路中的压力降随管长呈线性变化，即管长增加一倍，压力降也增加一倍，因此,或者,式中， ，可见所得结果与量纲分析法的结果是完全一致的。由相似原理知道，原型的阻力因数（无量纲数） 与模型中是相等的，因此，要用模型实验数据推算原型中的结果，只需将原型的相关数据，如 代入即可求得原型管路中的压力降 。,这里必须强调，量纲分析

16、不能给流体力学问题提供一个完整解，它只能提供部分解，其中的无量纲量还得通过实验来得到。利用量纲分析求解是否成功完全取决于研究者分析问题的能力，如果研究中遗漏了某个重要的变量，则结论将是不正确的。,11.3 方程分析法,方程分析法是另一种确定相似准则的方法。该方法是从主导流动的基本方程出发，不存在多余或遗漏变量的问题，因此所得到的相似准则是可靠的。但是这种方法仅仅适用于那些已知描述该流动的基本方程及其全部定解条件的流动现象，然而对那些大量的未知流动现象却无能为力。下面通过例题对方程分析法加以说明。,例11.3 某流动现象可用不可压缩流体定常流动的N-S方程来描述，试用方程分析法确定其相似准则。,解 ： 以N-S方程的 x方向投影式为例,与其相似的模型流动中的主导方程为,(a ),(b),既然二现象相似，必有,式中各比例常数 等称作相似倍数。,将式(c)代入式(b)，整理后得,(d),(c),既然两个流动现象完全相同，它们的主导方程就应该一致，于是比较式(a)和(d)，则有,