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1、第十三章 材力的基本内容,学习与应该掌握的内容 材料力学的基本知识 基本变形的主要特点 内力计算及内力图 应力计算 二向应力状态及强度理论 强度、刚度设计,材料力学的基本知识,材料力学的研究模型 材料力学研究的物体均为变形固体，简称“构件”；现实中的构件形状大致可简化为四类，即杆、板、壳和块。 杆-长度远大于其他两个方向尺寸的构件。杆的几何形状可用其轴线（截面形心的连线）和垂直于轴线的几何图形（横截面）表示。轴线是直线的杆，称为直杆；轴线是曲线的杆，称为曲杆。各横截面相同的直杆，称为等直杆； 材料力学的主要研究对象就是等直杆。,材料力学的基本知识,变形 构件在载荷作用下，其形状和尺寸发生变化的
2、现象；变形固体的变形通常可分为两种： 弹性变形-载荷解除后变形随之消失的变形 塑性变形-载荷解除后变形不能消失的变形 材料力学研究的主要是弹性变形，并且只限于弹性小变形，即变形量远远小于其自身尺寸的变形 变形固体的基本假设 连续性假设 假设在固体所占有的空间内毫无空隙的充满了物质 均匀性假设 假设材料的力学性能在各处都是相同的。 各向同性假设 假设变形固体各个方向的力学性能都相同,横截面上内力分析,其中：Mx、My、Mz为主矩在x、y、z轴方向上的分量。 FNx、FQy、FQz为主矢在x、y、z轴方向上的分量。,FNx使杆件延x方向产生轴向拉压变形，称为轴力 FQy,FQz使杆件延y,z方向产
3、生剪切变形，称为剪力 Mx 使杆件绕x轴发生扭转变形，称为扭矩 My、Mz使得杆件分别绕y z轴产生弯曲变形，称为弯矩,利用力系简化原理，截面m-m向形心C点简化后，得到一个主矢和主矩。在空间坐标系中，表示如图,横截面上内力计算-截面法,截面法求内力步骤 将杆件在欲求内力的截面处假想的切开； 取其中任一部分并在截面上画出相应内力； 由平衡条件确定内力大小。,例：左图 左半部分： Fx=0 FP=FN 右半部分： Fx=0 FP,=FN,例13-1,已知小型压力机机架受力F的作用，如图，试求立柱截面m-n上的内力,解： 1、假想从m-n面将机架截开（如图）； 2、取上部，建立如图坐标系，画出内力
4、FN，MZ （方向如图示）。 （水平部分/竖直部分的变形？）,3、由平衡方程得： Fy=0 FP-FN=0FN=FP Mo=0 Fp a - Mz=0Mz =Fp a,基本变形(轴向)拉伸、压缩,载荷特点：受轴向力作用,变形特点：各横截面沿轴向做平动,内力特点：内力方向沿轴向，简称 轴力FN,轴力正负规定：轴力与截面法向相同为正,FN=P,基本变形-剪切,载荷特点：作用力与截面平行（垂直于轴线）,变形特点：各横截面发生相互错动,内力特点：内力沿截面方向（与轴向垂直），简称 剪力FQ,剪力正负规定：左下（右上）为正 左下：指左截面（左半边物体）剪力向下,基本变形-扭转,载荷特点：受绕轴线方向力偶
5、作用（力偶作用面平行于横截面）,变形特点：横截面绕轴线转动,内力：作用面与横截面重合的一个力偶，称为扭矩T,正扭矩的规定：其转向与截面外法向构成右手系,T=M,基本变形-弯曲（平面）,载荷特点：在梁的两端作用有一对力偶，力偶作用面在梁的对称纵截面内。,变形特点：梁的横截面绕某轴转动一个角度。 中性轴（面）,内力：作用面垂直横截面的一个力偶，简称弯矩M,弯矩的正负规定：使得梁的变形为上凹下凸的弯矩为正。（形象记忆：盛水的碗）,正应力、切应力,应力的概念 单位面积上内力的大小，称为应力 平均应力Pm，如图所示,F A,Pm=,正应力 单位面积上轴力的大小，称为正应力；,切应力 单位面积上剪力的大小
6、，称为切应力,应力单位为：1Pa=1N/m2 （帕或帕斯卡) 常用单位：MPa（兆帕），1MPa=106 Pa=1N/mm2,A截面面积,单元体及简单应力状态,对于一个单元，在其相互垂直的两个面上，沿垂直于两面交线的切应力必成对出现，且大小相等，方向均指向或背离两面的交线，此关系称为切应力互等定律或切应力双生定律。,在研究变形体内某一点的应力时，通常围绕该点作一个无限小的正六面体，简称 单元（体）； 此单元的各截面分别代表该点在不同方向截面的应力。 单元受力最基本也是最简单的形式有两种：单向拉压和纯剪切-简称单向应力状态（如图）,位移,构件在外力作用下，其变形的大小用位移和应变来度量。 如图：
7、 AA连线称为A点的线位移 角度称为截面m-m的角位移，简称转角 注意，单元K的形状也有所改变,应变,分析单元K 单元原棱长为x，u为绝对伸长量，其相对伸长u/ x的极限称为沿x方向的正应变。,a点的横向移动aa，使得oa直线产生 转角，定义转角为切应变,胡克定律,实验证明： 当正应力小于某一极限值时，正应力与正应变存在线性关系， 即：= 称为胡克定律，E为弹性模量，常用单位：Gpa（吉帕） 同理，切应变小于某一极限值时，切应力与切应变也存在线性关系 即：= 此为剪切胡克定律，G为切变模量，常用单位：GPa,钢与合金钢E=200-220GPaG=75-80GPa 铝与合金铝E=70-80GPa
8、G=26-30GPa 木材E=0.5-1GPa橡胶E=0.008GPa,总第十二讲,第十四章杆件的内力 14-1轴向拉伸或压缩杆件的内力 14-2扭转圆轴的内力,14-1 轴向拉压杆件的内力,定义 以轴向伸长或缩短为主要特征的变形形式，称为轴向拉伸或压缩 内力的计算 截面法 如左图 内力的表示 轴力图-形象表示轴力沿轴线变化的情况,轴力图,例14-1 F1=2.5kN,F3=1.5kN, 画杆件轴力图。,解：1)截面法求AC段轴力，沿截面1-1处截开，取左段如图14-1-2所示 Fx=0 FN1-F1=0 得：FN1=F1=2.5kN,2)求BC段轴力，从2-2截面处截开，取右段，如图14-1
9、-3所示 Fx=0 FN2-F3=0 得：FN2= - F3=-1.5kN （负号表示所画FN2方向与实际相反）,3)图14-1-4位AB杆的轴力图,轴力图,为了表示轴力沿轴线的变化，我们用轴线方向的坐标轴表示杆截面的位置，其垂直方向的另一个坐标轴表示轴力的大小，这样得到的图形称为轴力图。,14-2 扭转圆轴的内力,扭转变形的定义 横截面绕轴线做相对旋转的变形，称为扭转 以扭转为主要变形的直杆，通常称为轴 本课程主要研究圆截面轴 功率、转速和扭矩的关系 M=9549 扭矩图 仿照轴力图的画法，画出扭矩沿轴线的变化，就是扭矩图。,其中： M为外力矩(N.m) P为功率(kW) n转速(r/min
10、),例14-2 扭矩图,如图，主动轮A的输入功率PA=36kW，从动轮B、C、D输出功率分别为PB=PC=11kW，PD=14kW，轴的转速n=300r/min.试画出传动轴的扭矩图,解：1)由扭矩、功率、转速关系式求得 MA=9459PA/n=9459X36/300=1146N.m MB=MC=350N.m；MD=446N.m,2)分别求1-1、2-2、3-3截面上的扭矩，即为BC,CA,AD段轴的扭矩（内力）如图a)、b)、c);均有Mx=0 得： T1+MB=0T1=-MB= -350N.m MB+MC+T2=0T2=-MB-MC=-700N.m MD-T3=0 T3=MD=446N.m
11、,3)画出扭矩图如 d),总第十三讲,14-3弯曲梁的内力 14-4弯曲梁的内力图-剪力图和弯矩图,14-3 弯曲梁的内力,弯曲梁的概念及其简化 杆件在过杆轴线的纵向平面内，受到力偶或受到垂直于轴线的横向力作用时，杆的轴线将由直线变为曲线，杆件的这种以轴线变弯为主要特征的变形称为弯曲；以弯曲为主要变形的杆简称为梁。,常见梁的力学模型 简支梁 一端为活动铰链支座，另一端为固定铰链支座,外伸梁 一端或两端伸出支座支外的简支梁,悬臂梁 一端为固定端，另一端为自由端的梁。,梁内力的正负规定,梁的内力 剪力FQ 弯矩MC,梁内力的正负规定 内力方向,梁的变形,14-3 弯曲梁的内力例,例14-3 简支梁
12、如左图，已知a、q、M=qa2；求梁的内力,FAy,FBy,1,2,3,2）1-1截面内力：(0 x1 a),3）2-2截面内力： (ax22a),解：1）求得A、B处反力FAY,FBY；,续例14-3,4）3-3截面内力：(0 x3 a，此处x3的起点为B点，方向如图),14-4内力图-剪力图,1.当：0 x1a 时 AC段 FQ1=5q.a/6,2.当：ax22a 时,即CD段 FQ2=11q.a/6-q.x2 ，直线 x2 =a；FQ2 = 5q.a/6 （= FQ1 ） x2 =2a；FQ2 = -q.a/6 （= FQ3 ）,3.当： 0 x3a (起点在B点） FQ3=-q.a/6
13、,14-4内力图-弯矩图,当：0 x1a 时， M1=5q.a.x1/6为直线,当：ax22a 时，为二次曲线； M2=5qax2-q(x2-a)2/2,当： 0 x3a时（原点在B点，方向向左），M3为直线 M3=qa2+q.a.x3/6;,典型例题-1,已知：G,a,b,l,画梁AB内力图,解：1求A,B支座反力( a+b=l ),2求x截面内力 a) 0xa,b) axl,典型例题-1(续),根据以上条件，画出剪力图、弯矩图 最大剪力Qmax在AC(ba)（或CB,ab）段 Qmax=Gb/l 最大弯矩在C截面处 Mmax=Gab/l,本例中，剪力和弯矩的表达式与截面的位置形式上构成了一
14、种函数关系，这种关系称为剪力方程和弯矩方程；即： FQ=FQ(x)Mc=M(x),典型例题-2,简支梁受力偶作用,求支座反力FAY,FBY得： FAY=- FBY =M/l,AC段X截面处剪力FQ=Fay, 同理可求得BC段剪力与AC段相同，剪力图如左,AC段弯矩方程M1 M1=FAYx=M x /L,BC段弯矩方程M2 M2=FAY x-M=M(x - L)/L,典型例题-3,悬臂梁作用均布载荷q，画出梁的剪力图和弯矩图,写出A点x处截面的剪力方程和弯矩方程,剪力图、弯矩图如右，最大剪力、弯矩均发生在B点，且,M、FQ与q的关系,设梁上作用任意载荷，坐标原点选在A点（左端点形心），现分析剪力
15、、弯矩与载荷集度的关系。,取x处一小段dx长度梁，如图，由平衡方程得： Fy=0; FQ-(FQ+dFQ)+q(x)dx=0(a) MC=0; M+dM-M-FQdx-q(x)dx2/2=0(b) 在上式中略去高阶微量后，得,使用关系式画FQ、M图,例题-7,M=3kN.m,q=3kN/m,a=2m,解：,求A、B处支反力 FAY=3.5kN;FBY=14.5KN,剪力图：如图，将梁分为三段 AC：q=0,FQC= FAY CB：q0,FQB=-8.5kN BD：q0,FQB=6kN,弯矩图： AC：q=0,FQC0,直线,MC=7KN.M CB：q0,抛物线,FQ=0,MB=6.04 BD：
16、q0,开口向下，MB=-6kN.m,作业(解答),作业 2004.3.25,14-5 (c) 14-8 (c),14-5（c）解答,AC: FQAC=-qx;|FQACmax|=qa/2 MQAC=-qx2/2;|MQACmax|=qa2/8,BC:(B点为圆点，x向左） FB=qa/2-qa/8=3qa/8 FQBC=qx-FB=q(8x-3a)/8 FQBC=0,x=3a/8 MBC=q(3ax-4x2)/8; MBC|x=3a/8=9qa2/1280; MBC|x=3a/4=0,14-8（c）解答,A、B支反力： FA=qa/2;FB=5qa/2,AB段：q0；斜直线（左上右下） A点：FQA=FA=qa/2； B点：FQB=FA-2qa=-3qa/2 D点：FQAB=0；x=a/2 BC段：q=0；直线（水平） C点：FQC=F=qa=FQB,弯矩图：AB段：q0；抛物线，上凸 A点： MC=0， D点： MD= FA a/2 q.a2/8=qa2/8 B点：
