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1、第十六章 保角变换法求解定解问题,在许多物理问题中（如电学、热学、光学、流体力学和弹性力学等）经常会遇到解平面场的拉普拉斯方程或泊松方程的问题尽管可用前几章的理论方法如：分离变量法或格林函数法等来解决，但当边值问题中的边界形状变得十分复杂时，分离变量法和格林函数法却显得十分困难，甚至不能解决对于复杂的边界形状，拉普拉斯方程定解问题常采用保角变换法求解,保角变换法解定解问题的基本思想是：通过解析函数的变换（或映射，这部分知识在复变函数论中已经学习过）将,平面上具有复杂边界形状的边值问题变换为,平面上具有简单形状（通常是圆、上半平面或带形域）的 边值问题，而后一问题的解易于求得于是再通过逆变换 就
2、求得了原始定解问题的解,这就是本章将要介绍的一种解决数学物理方程定解 问题中的解析法保角变换法，它是解决这类复杂边 界的最有效方法它特别适合于分析平面场的问题， 例如静电场的问题，由于这种求解复杂边界的定解问 题具有较大的实用价值，所以有必要单独以一章的内 容进行介绍复变函数论中已经系统介绍了保角变换 理论，本章主要介绍利用保角变换法求解定解问 题。,16.1 保角变换与拉普拉斯方程边值问题的关系,在复变函数论中我们已经知道，由解析函数,实现的从z平面到,平面的变换在,的点具有保,角性质，因此这种变换称为保角变换下面我们主要讨论一一 对应的保角变换，即假定,和它的反函数都是单值,函数；或者如果
3、它们之中有多值函数就规定取它的黎曼面的一 叶,【证明】 利用复合函数求导法则有,(16.1.1),同理,(16.1.2),两式相加得到,（16.1.3）,利用解析函数,的C-R条件,(16.1.4),以及解析函数的实部和虚部分别满足拉普拉斯方程的性质,(16.1.5),将式（16.1.4）和式（16.1.5）代入到式（16.1.3）化简后得到,注意到上式已经使用了：,对于保角变换,因而只要,满足拉普拉斯方程，则,）也满足拉,普拉斯方程，即为,（16.1.6）,这样我们就有结论：如果在,平面上给定了,的拉普拉斯方程边值问题，,则利用保角变换,，可以将它转化为,平面上,的拉普拉斯方程边值问题,同理
4、可以证明，在单叶解析函数,变换下，泊松方程,(16.1.7a),仍然变为泊松方程,（16.1.7b）,由上式可知，在保角变换下，泊松方程中的电荷密度 发生了变化,同理可以证明，亥姆霍兹方程,(16.1.8a),经变换后仍然变为亥姆霍兹方程,(16.1.8b),容易注意到方程要比原先复杂，且,前的系数可,能不是常系数,下面将举例说明如何通过保角变换法来求解拉普拉斯方程,保角变换法的优点不仅在于拉普拉斯方程、泊松方程 等方程的类型在保角变换下保持不变，更重要的是，能将 复杂边界问题变为简单边界问题，从而使问题得到解决,16.2保角变换法求解定解问题典型实例,例16.2.1 设有半无限平板,，在边界
5、,=0上，,处保持温度,处保持温度,= 0求平板上的稳定温度分布,【解】根据题意可得出定解问题,（16.2.1）,作如下的保角变换 （1）作分式线性变换,(16.2.2),可以验证，考虑实轴,的对应关系：,图16.1,(i)若,，则,，故,，即有,(ii)若,则,或,（a）首先讨论,的情况,考虑到题给条件,则,故,（b）再考虑,的情况, 则,故,如图16.1所示，,根据(16.2.1)式中的边界条件，对应于,处温度为,，故,平面的负实轴（即,）,温度保持为,；而在,处有,，故,平面的正实轴温度保持为零,（2）作变换,(16.2.3),把,平面的上半平面变成,平面上平行于实轴，宽为,的一个带形区
6、域，,平面的正实轴变换为,平面的实轴（正实轴辐角为零，故对应于,），,平面的负实轴变换为,平面的平行于实轴的直线,故对应于,）,（负实轴辐角为,于是，在变换,(16.2.4),之下，定解问题变换为,(16.2.5),在这种情况下，等温线是与实轴,平行的直线,=常数，热流线则是与虚轴平行的直线,=常数在(,)坐标系中，由对称性知拉普拉斯方程的解与,无关，因此，定解问题又简化为,（16.2.6）,方程的解是,考虑边界条件即得到,（16.2.7）,回到,平面，则,例16.2.2 试求平面静电场的电势分布,，其中,（16.2.8）,(16.2.9),【解】,变换,使上半,平面变成,平面上的带形域（图1
7、6.2）,然的，类似于上面定解问题(16.2.6)的结果(16.2.7),则本 定解问题可归结为,而在带形域上的解是显,(16.2.10),图,而,所以,于是，作反变换便可求得所求问题的解为,进一步讨论： （1）同理可证,是下列定解问题的解,（说明：这里的,和下面的,不代表求导，是指彼此,不同的值）,(2) 同理可证,是下列定解问题的解,(3)可证,是下列定解问题的解：,其中,又可改写成,（4）进一步推广,是下列定解问题的解,例 16.2.3 若把柱面充电到,试用保角变换法求解一半径为,的无限长导体圆柱壳,内的电场分布情况,【解】即求解定解问题,作如下的保角变换 (1) 作变换,把原图象缩小为
8、,倍即将任意的圆周变换为单位圆,(2)再作变换,把,变换为,，其边界的变换是将下,半圆周对应于负半实轴，上半圆周对应于正半实轴,图,（3）再作变换,把,平面的上半平面变成,平面上平行于实轴，宽为,的一个带形区域，其边界的,变换是将,平面的正半实轴变换为,平面的实轴，,平面的负半实轴变换为,平面的平行于实轴的直线,，如图16.3,所以，在变换,之下，定解问题变换为,定解问题的解（仿上例16.2.1）为,将变量回到,平面，则,化成极坐标形式，则上式又改写成,从上面的例题我们总结出，对于平面标量场的问题， 不管边界如何复杂，只要能通过保角变换把原来的边界 所围成的区域变换成上半平面的带形域,问题就容易解决了,
