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1、第六节 空间直线及其方程,在空间直角坐标系中： 一个三元一次方程表示一个平面；,空间直线,一个三元二次方程表示一个曲面；,两个曲面的交线表示一空间曲线；,两个平面的交线表示（ ）。,第 八节 空间直线及其方程,直线的点向式方程 直线的一般方程 直线的参数方程 两直线的夹角 直线与平面的夹角 例题、练习与思考,一.空间直线的一般方程,实际上空间直线可以看作两个平面的交线：直线上任一点的坐标同时满足两个平面方程,直线外的点不可能同时在两个平面上。,L,A,B,C,L,空间直线一般方程表示式,L,例如:,二.空间直线的对称式方程与参数方程,直线的对称式方程 （点向式方程）,s,M(x,y,z),1.
2、对称式方程(点向式),方向向量: 如果一个非零向量s平行于一条已知直线，这个向量s就叫做该直线的方向向量。,直线上任一向量都与s平行.,对称式方程的建立,依据： 过空间一点可以做且只可做一条直线与已知直线平行，故当已知直线上一点M0与一个方向向量s，则直线位置完全可以确定下来。,对称式方程,对称式方程的建立,已知直线L上一点 与一个方向向量s=m,n,p，M(x,y,z)是直线上任一点,则,（1）向量 与方向向量 s=m,n,p平行； （2）两个向量坐标对应成比例；即有,称之为直线对称式方程.,方向数与方向余弦,方向数：直线的任一方向向量的坐标，即 设直线的方向向量 s=m,n,p,则m,n,
3、p为该直线的一组方向数。 向量s的方向余弦叫作该直线的方向余弦。即,三.直线的参数方程,由直线的对称式方程可以导出直线的参数方程。只须设,则有,这就是直线L的 参数方程. 这里t为参数.,例1,求过点M0 (4,-1,3)且平行于直线L1的直线方程.,解 设已知直线L1的方向向量s1=2,1,-5 所求直线L方向向量为s， 因为s平行s1可取s =2,1,-5;,又因为直线L过点M0 (4,-1,3)，,故，所求直线方程L为：,例2,求以下直线的对称式方程,解 （1）求s, 已知相交于 直线的两个平面法向量分别为n1=3,2,4,n2=2,1,-3,则有,即 s=-10, 17, -1.,(2
4、)求点M0 , 令方程组中z=0,则由,点的确定方法不唯一. 也可以令y=1等等,得M0 =(-9, 19, 0).故所求直线方程L为：,四.两直线的夹角,两直线夹角的定义：两直线方向向量之间的夹角（锐角）叫作两直线的夹角.,s1=m1,n1,p1,s2=m2,n2,p2,L1,L2,设直线 L1的方向向量s1=m1,n1,p1, 设直线 L2的方向向量s2=m2,n2,p2, 则直线 L1与直线L2的夹角的余弦公式为：,两直线的夹角的余弦公式,两个结论：,1.若直线 L1与直线 L2平行，则有,两直线平行图示,两直线垂直图示,2.若直线 L1与直线 L2 垂直，则有,例题,已知直线,解 由所
5、给方程知 s1=1，-4，1,s2=2，-2，-1， 代入夹角公式可得,求两直线的夹角.,四.直线与平面的夹角,定义直线与平面的夹角 设直线 L的方向向量 s=m,n,p 设平面的法线向量 n =A,B,C 则定义s 与n 的夹角为直线 L与平 面的夹角.记作., Ax+By+Cz+D=0,n=A,B,C,s=m,n,p,L,直线与平面的夹角（图示）,这是平面与直线L的交角,这是直线L与其在平面上投影的交角,四.直线与平面的夹角,夹角公式：,已知直线L的方向向量为（m, n, p） 平面的法向量为（A，B，C），则有,两个结论：,1.若直线 L与平面平行，则ns，于是,n=A,B,C,s=m,
6、n,p,L / 图示,L：,s=m,n,p,Ax+By+Cz+D=0,2.若直线 L与平面 垂直，则则ns，于是,n=A,B,C,s=m,n,p,L：, ：Ax+By+Cz+D=0,平行,练习 思考 讨论,确定下面直线与平面的位置关系：,（1）.4x-2y-2z=3,与,（2）. 3x-2y+7z=8,与,（3）.x+y+z=3,与,直线在平面上,垂直,求直线与平面交点,n=A,B,C, ：Ax+By+Cz+D=0,L：,s=m,n,p,M(x,y,z),图示,怎样才能求出交点M？,例题 已知平面 2x+y+z-6=0及直线 L,解 令直线方程,求其交点.,得 x=2+t y=3+t z=4+
7、2t （1） 代入平面方程， 得 2（2+t）+(3+t)+(4+2t)-6=0 整理得5t=-5,即t=-1,将t=-1代回方程组（1）有x=1,y=2,z=2. 即点（1，2，2）为该直线与已知平面的交点,解法2，将直线方程化为一般式与已知平面联立解得.,五.综合例题,解 （方法一） (1)过点P作平面垂直于直线L，则平面法向量 n平行于直线方向向量s，即,n=2,0,-1,P(0,-1,1), 得平面方程 2x-z+1=0.,(2) 求直线与平面的交点，解方程组,y+2=0 x+2z-7=0 2x-z+1=0,即得 Q（1，-2，3）,(3) 即为所求.,x=1, y=-2, z=3.,
8、图示,五.例题,解 （方法二） 以 |PQ|为高作一个平行四边形如图。则d=|PQ|= 平行四边形的高。,(1)在L上求出一点M0，不妨令已知方程组 z=0 可得 M0(7,-2,0).,(2)由上面知 s=2,0.-1,另作向量,于是有,M0,图示,续上,(3) 即为所求.,d 即为所求平行四边形的高PQ.,图示,由向量积的几何意义知： 平行四边形面积,五.综合例题（直线方程形式互化）,1.将直线化为参数方程和对称式方程.,解 （1） 求参数方程，令,？ ？ ？,此即所要求的参数方程.,2.将直线对称式方程L化为一般方程.,解 （2） 求一般方程，由,？ ？ ？,即为所要求的一般方程.,3.
9、将直线的一般方程L化为标准方程 （即对称式方程）.,解 先求点Mo，不妨令y=0, 则有 x=1,z=-2，即 Mo(1,0,-2);,带回标准方程，得结果如左.,再求 s, 由,练习.思考.讨论,1.求过点A（3，-2，1）且垂直于直线 的平面方程.,2.用参数方程与对称式方程表示直线：,3.验证两条直线 L1,L2是否共面.其中,答：共面.可以由前三个平面方程联立解得：x=4, y=5, z=-7, 代入第四个平面方程检验，满足该方程。,提示 任取三个平面方程联立，解出交点后代入并满足第四个平面方程，则两直线共面,4.证明两条直线 L1,L2相互垂直.其中,证明：由已知,先求出两条直线的方向向量，再由两个方向向量的数量积为零证得.提示,小结,空间直线方程：（用三元一次方程表示）,向量式,一般式,点向式,参数式,
