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1、1,第八章 弯曲变形 Bending deformation,赠言： 大过，栋橈，利有攸往，亨。 周易上经 大过 注释： 大过，卦名；非常过度的意思,栋，即梁 橈（rao），挠（nao）曲的树木称为橈 攸，即所；利有攸往，意思有利于所往的方向 亨，亨通 理解： 事物发展得非常过度，好象栋梁挠曲，有利于所 往方向的继续发展，达到亨通。,2,以上理解有2个关键：1、横看卦象；2、阴爻看成支座。 “小过”卦可以佐证 小过，亨，利贞，可小事，不可大事，,3,弯曲问题的分析过程： 弯曲内力 弯曲应力 弯曲变形,解决刚度问题 尽量从理论上分析 一般 然后实验上验证 个别,4,工程上的梁变形问题不容忽视,影
2、响使用 引发破坏 产生不安全感,减少冲击、振动 利用变形作为开关 提高性能,6,8.1 梁变形的基本概念 Basic concepts of beam deformation,变形后梁轴 线挠曲线,挠度：y,变形后梁截面：仍为平面,梁截面转角：,7,1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移 用 y 表示，与坐标 f 同向为正，反之为负,2.转角：横截面绕其中性轴转动的角度，用 表示 顺时针转动为正，反之为负,3.挠曲线：梁变形后，轴线变成的光滑曲线 其方程为 y = f (x),8,5. 刚度校核,许用挠度见P220表8.1,4. 转角与挠曲线的关系：,小变形,9,已知曲率为,小变形,弯矩
3、与2阶导数的符号相反 上式取负号,8.2 梁挠曲的近似微分方程 Differential Equation of beam deformation,10, 挠曲线近似微分方程,对于等截面直梁，可写成如下形式：,11,1.微分方程的积分,8.3 积分法求梁变形,利用位移边界条件确定积分常数,12,支点位移条件,连续条件,光滑条件,2.位移边界条件,13,积分法求梁变形 适用于小变形、线弹性材料、细长构件的平面弯曲 可应用于各种载荷的等截面或变截面梁的位移 积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、 连续条件）确定 优点使用范围广，精确； 缺点计算较繁,14,积分法求梁变形的基本步骤： 写出弯
4、矩方程；若弯矩不能用一个函数给出 要分段写出 由挠曲线近似微分方程，积分出转角、挠度函数 利用边界条件、连续条件确定积分常数 如果分 n 段写出弯矩方程，则有 2 n 个积分常数,15,例 求等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角,建立坐标系并写出弯矩方程,写出微分方程，并积分,用边界条件求积分常数,解：,16,写出弹性曲线方程并画出曲线,最大挠度及最大转角,17,解：建坐标系、写弯矩方程,写出微分方程，并积分,例. 求梁的变形,18,应用位移边界条件和连续条件求积分常数,19,写出弹性曲线方程并画出曲线,最大挠度及最大转角,总结：分段求弯矩，分段积分 利用边界条件、连续条件求常数,20,边
5、界条件、连续条件应用举例,弯矩图三段，共6个 积分常数 需6个边界条件和 连续条件,21,边界条件、连续条件应用举例,弯矩图分三段，共 6个积分常数 需6个边界条件和 连续条件,22,弯矩图分二段， 共4个积分常数 需4个边界条件 和连续条件,边界条件、连续条件应用举例,23,叠加原理： 承受复杂载荷时，可分解成几种 简单载荷，利用简单载荷作用下的位 移计算结果，叠加后得在复杂载荷作 用下的挠度和转角,条件： 材料服从胡克定律和小变形 挠度和转角均与载荷成线性关系,8.4 叠加法求梁变形,24,例 按叠加原理 求 A点转角 和 C点挠度,解：载荷分解如图,查梁的简单载荷变形表， 得到变形,=,
6、+,25,叠加,=,+,26,结构形式叠加（逐段刚化法) 原理说明,+,=,27,例题：已知 P,E,G，求C点铅垂位移,分析： AB 弯曲 + 扭转变形， BC 弯曲变形 故 C点的挠度由三部分组成 AB弯曲引起的B点下沉 AB扭转引起C点位移 BC弯曲引起C点下沉,28,解：采用逐段刚化法,将AB刚化,计算BC弯曲变形引起的 C点的挠度.,29,(2) 将BC刚化, 即去掉BC，但保留BC对AB的 作用力，计算AB弯曲引起的C点的挠度,30,(3) 将BC刚化计算AB扭转变形引起的C点的挠度,计算B截面扭转角,所以，C点位移为：,31,8.5 提高弯曲刚度的一些措施,1、减小梁的跨度 2、
7、选择合理截面形状 3、改善梁的受力和支座位置 4、预加反弯度 5、增加支座,32,或,8.6 用变形比较法解简单超静定梁,处理方法：3种方程（变形协调、物理、平衡）相结合， 求全部未知力,解：建立静定基 确定超静定次数 用反力代替多余约束 得新结构 静定基,33,几何方程变形协调方程,=,+,物理方程,补充方程,求解其它问题 （反力、应力、变形等）,34,几何方程 变形协调方程,解：建立静定基,例10 求B点反力,=,=,+,35,+,物理方程 变形与力的关系,补充方程,=,求解其它问题,（反力、应力、变形等）,36,本章小结：,1、微分方程的导出 2、微分方程的解法 积分法求变形 3、叠加法求变形 4、变形比较法 超静定梁,习题：8.6, 8.7, 8.22, 8.29,
