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1、第8章 有限字长效应,问题的提出 截尾和舍入效应 滤波器输入信号量化效应 滤波器系数量化效应 数字滤波器的定点运算误差,问题的提出,(1) 输入信号经A/D变换而产生的量化误差。 (2) 滤波器的系数量化误差。 (3) 运算误差。,数字系统，存储单元的容量有限。,有限字长的影响，主要表现在以下三方面,截尾和舍入效应,定点二进制数的表示 量化及量化误差,一、定点二进制数的表示,定点二进制数x有原码、反码和补码三种表示形式,若x=0.X1 X2 Xb，则其原码、反码和补码分别定义为,量化方式,截尾量化,舍入量化,截掉b位后数据,视b+1位后数据的大小决定b位数据的值,量化误差,截尾误差,舍入误差范
2、围,正数和补码负数截尾误差范围为,原码负数和反码负数截尾误差范围为,区别：舍入误差对称分布，截尾误差单极性分布。,滤波器输入信号量化效应,问题的提出 量化误差统计假设 信噪比和字长的关系,一、问题的提出,模拟信号经过A/D转换为b位数字信号，即,精确抽样值,量化误差,分析A/D转换器的量化效应目的在于选择合适的字长，以满足信噪比指标。,二、ek统计假设,1) ek是平稳随机序列,2) ek 是白噪声，且ek1和ek2不相关,3) ek和xk不相关,4) ek等概率分布,舍入量化误差的概率密度函数曲线,三、信噪比和字长的关系,信号xk的平均功率为,输入信号的信噪比SNR为,字长增加一位，SNR增
3、加6db,量化误差方差,滤波器系数量化效应,问题的提出 IIR系数量化效应 FIR系数量化效应,一、问题的提出,因字长有限，滤波器系数ak、bk量化后将产生误差,1. 系统的实际频响与所要求的频响出现偏差。,2. 系统函数零极点的实际位置也与设计位置不同。 严重时，使系统失去稳定。,设系统只有单极点，理想DF的系统函数可表示为,二、IIR系数量化效应,ak量化后的值,保持稳定性的IIR DF系数的最小字长,量化后极点位置,为了保持稳定，设极点在单位圆内接近z=1,系统对系数量化的灵敏度,量化后极点,第r个极点对第k个系数变化的敏感度,位置误差,pr /ak越大，ak对pr的影响越大，反之亦然。
4、,将系数量化误差所造成的零、极点位置误差作为对系数量化灵敏度的度量。,系统对系数量化的灵敏度,对级联或并联型，每个子系统最多只有两个共轭极点，故对系数量化影响较小。,极点彼此之间距离越远，极点位置灵敏度就越低,极点彼此越密集，极点位置灵敏度就越高,三、 FIR系数量化效应,系数量化只影响零点，不涉及稳定性问题，但会影响频率特性。,若要求频响误差为E(ej)，则所需字长为,实际中，需要在估计字长的基础上加上34位,数字滤波器的定点运算误差,IIR DF的极限环振荡 IIR DF乘积量化误差的统计分析 FIR DF中乘积量化的影响 溢出问题,一、IIR DF 的极限环振荡,设： y-1=0 b=3
5、, a =1/2=0.100, x k=(7/8)d k = 0.111d k,由于字长有限，IIR DF零输入下也有固定不变的输出，或输出在一定范围内出现震荡现象。,乘法运算采用舍入量化处理，相应的差分方程为,分析：,一阶IIR DF输出,极限环震荡,无限精度输出,产生极限环震荡的原因,量化使下式成立,即系统的差分方程变为,极点从原来的单位圆内迁移到单位圆上，从而产生等幅序列形式的极限环震荡。,消除限环震荡方法,1. 适当地增加字长,死区,2. 在滤波器的输入端加入高频脉冲，使输出跳出死区，回到零。,在一定时，增加字长b，死区也减小。,二、IIR DF乘积量化误差的统计分析,乘积的舍入用噪声
6、源ek表示，对其做如下假设：,1) 各噪声源均为白噪声序列；,2) 各噪声源统计独立，互不相关；,3) 在量化噪声范围内，各噪声源都视为等概率密度分布。,直接I型结构乘积量化误差分析,直接I型结构乘积量化误差单个噪声源模型,单个噪声源方差,直接I型结构乘积量化误差分析,直接I型结构乘积量化误差联合噪声源模型,联合噪声方差,直接I型结构乘积量化误差分析,ek通过系统的平均噪声功率,ek所通过系统的系统函数 He(z)=1/A(z),直接II型结构乘积量化误差分析,直接II型结构乘积量化误差单个噪声源模型,直接II型结构乘积量化误差分析,直接II型结构乘积量化误差联合噪声源模型,eak和ebk通过系统的输出噪声方差,IIR DF级联结构乘积量化误差分析,IIR DF并联结构乘积量化误差分析,三、FIR DF中乘积量化的影响,乘积量化噪声的输出平均功率,四、溢出问题,产生原因：,xk的最大绝对值,超出了表示范围，就会产生溢出。,避免溢出的方法:,1. 适当增加字长,2. 将输入信号乘以小于1的比例因子A，使下式成立,
