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1、学 海 无 涯,小升初数学必考知识点 （一）倍数、约数 1.概念：如果数a 能被数b（b0）整除，a 就叫做b 的倍数，b 就 叫做a 的约数（或a 的因数）。倍数和约数是相互依存的。 一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是 1，最大的约 数是它本身。 一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。 2.常见的倍数特征 2 的倍数特征：个位上是 0、2、4、6、8 的数，都能被 2 整除。 3 的倍数特征：一个数的个位上的数的和能被 3 整除，这个数就 能被 3 整除。 5 的倍数特征：个位上是 0 或 5 的数，都能被 5 整除。 7 的倍数特征：末三位上数字所组成的数与末三位以
2、前的数字所 组成的数之差能被 7 整除，这个数就能被 7 整除。 9 的倍数特征：一个数个位数上的和能被 9 整除，这个数就能被 9 整除。 能被 3 整除的数不一定能被 9 整除，但是能被 9 整除的一定能被 3 整除。 11 的倍数特征：奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差 能被 11 整除，这个数就能被 11 整除。 13 的倍数特征：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所 组成的数之差能被 13 整除，这个数就能被 13 整除。 4（或 25）的倍数特征：一个数的末两位数能被 4（或 25）整除， 这个数就能被 4（或 25）整除。 8（或 125）的倍数特征：一个数的末三位
3、数能被 8（或 125）整 除，这个数就能被 8（或 125）整除。 （二）奇数与偶数,学 海 无 涯 一个自然数，不是奇数就是偶数。 偶数：能被 2 整除的数叫做偶数（包括 0） 奇数：不能被 2 整除的数叫做奇数 最小的偶数是：0 最小的奇数是：1 （三）质数与合数 1.概念：一个数，如果只有 1 和它本身两个约数，这样的数叫做质 数（或素数），100 以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、 23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、 89、97。 一个数，如果除了 1 和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数。 1.不是质数也
4、不是合数，自然数除了 1 外，不是质数就是合数。 2.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做 分解质因数。、 3.最大公约数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数。其 中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。 公约数只有 1 的两个数，叫做互质数 如果较小数是较大数的约数，那么较小数就是这两个数的最大公 约数。 如果两个数是互质数，它们的最大公约数就是 1。 4.最小公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其 中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。 如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公 倍数。 如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公
5、倍数。 几个数的公约数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无 限的。 （四）比和比例,学 海 无 涯 1.比：两个数相除又叫做两个数的比。比号前面的数叫做比的前 项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫 做比值。 同除法比较，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相 当于商。 比值通常用分数表示，也可以用小数表示，有时也可能是整数表 示。 比的后项不能是零。 根据分数与除法的关系，可知比的前项相当于分子，后项相当于 分母，比值相当于分数值。 2.比例：表示两个比相等的式子叫做比例，组成比例的四个数， 叫做比例的项。两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。 3.正比例：
6、两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化， 如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种,x,量就叫做正比例的量，他们的关系叫做正比例关系。用字母表示y =,k(一定) 4.反比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化， 如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比 例的量，他们的关系叫做反比例关系。 用字母表示x y = k(一定) 5.比例尺：图上距离：实际距离=比例尺 要求会求比例尺；已知图上距离和比例尺求实际距离；已知实际 距离和比例尺求图上距离。 线段比例尺：在图上附有一条注有数目的线段，用来表示和地面 上相对应的实际距离。 （五）商不变的
7、规律 在除法里，被除数和除数同时扩大或者同时缩小相同的倍，商不变。 （六）三大余数定理 1.余数的加法定理,学 海 无 涯 a 与b 的和除以c 的余数，等于a、b 分别除以c 的余数之和，或这 个和除以c 的余数。 2.余数的减法定理 a 与b 的差除以c 的余数，等于a、b 分别除以c 的余数之差。 3.余数的乘法定理 a 与b 的乘积除以 c 的余数，等于a、b 分别除以c 的余数的积， 或者这个积除以c 所得的余数。 （七）流水行船问题 顺速=船速+水速 逆速=船速-水速 解题关键：因为顺流速度是船速与水速的和，逆流速度是船速与 水速的差，所以流水行船问题当作和差问题解答。解题时要以水
8、流 为线索。 解题规律：船行速度=（顺流速度+逆流速度）2 流水速度=（顺流速度-逆流速度）2 路程=顺流速度顺流航行所需时间 路程=逆流速度逆流航行所需时间 （八）火车过桥问题 火车与桥：过桥总路程=火车车长+桥长 车速=（火车车长+桥长）过桥时间 过桥时间=（火车车长+桥长）车速 桥长=车速过桥时间-火车车长 火车与人 相遇：路程和=火车车长 速度和=车速+人速 相遇时间=火车车长（车速+人速）,学 海 无 涯 追及：路程差=火车车长 速度差=车速-人速 追及时间=火车车长（车速-人速） 火车与火车 相遇：路程和=甲车长+乙车长 速度和=甲车速+乙车速 相遇时间=（甲车长+乙车长）（甲车速
9、+乙车速） 追及：路程差=快车长+慢车长 速度差=快车速-慢车速 追及时间=（快车长+慢车长）（快车速-慢车速） （九）钟表问题 常见的钟面问题往往转化为追及问题来解。 整个钟面为 360 度，上面有 12 个大格，每个大格为 30 度；60 个小格，每个小格为 6 度。 分针速度：每分钟 1 小格，每分钟走 6 度 时针速度：每分钟走 1 小格，每分钟走1=0.5 度 122 （十）还原问题 还原问题：已知某未知数经过一定的四则运算后所得的结果， 求这个未知数的应用题，我们叫做还原问题。 解题关键：要弄清每一步变化与未知数的关系。 解题规律：从最后结果出发，采用与原题中相反的运算（逆运 算）
10、方法，逐步推导出原数。 解答还原问题时注意观察运算的顺序。若需要先算加减法，后 算乘除法时别忘记写括号。 （十一）植树问题,学 海 无 涯 植树问题：这类应用题是以“植树”为内容。凡是研究总路程、 株距、段数、棵数四种数量关系的应用题，叫做植树问题。 解题关键：解答植树问题首先要判断地形，分清是否封闭图形， 从而确定是沿线段植树还是沿周长植树，然后按基本公式进行计算。 解题规律：沿线段植树： 棵数=段数+1 棵数=总路程株距+1 株距=总路程（棵数-1） 总路程=株距（棵数-1） 沿周长植树： 棵数=总路程株距 株距=总路程棵数 总路程=株距棵数 （十二）盈亏问题 盈亏问题：是在等分除法的基础
11、上发展起来的。它的特点是把 一定数量的物品，平均分配给一定数量的人，在两次分配中，一次 有余，一次不足（或两次都有余，或两次都不足），已知所余和不 足的数量，求物品数量和参加分配人数的问题，叫做盈亏问题。 解题关键：盈亏问题的解法要点是先求两次分配中分配者每分 所得物品数量的差，再求两次分配中各自共分物品的差（也称总额 差），用前一个差除后一个差，就得到分配者的数，进而再求得物 品数。 解题规律：总差额每人差额=人数 总差额的求法可以分为以下四种情况： 第一次多余，第二次不足，总差额=多余+不足 第一次正好，第二次多余或不足，总差额=多余或不足 第一次多余，第二次也多余，总差额=大多余-小多余
12、 第一次不足，第二次也不足，总差额=大不足-小不足 （十三）年龄问题,学 海 无 涯 年龄问题：将差为一定值的两个数作为题中的一个条件，这种 应用题被称为“年龄问题” 解题关键：年龄问题与和差、和倍、差倍问题类似，主要特点 是随着时间的变化，年岁不断增长，但大小两个不同年龄的差是不 会改变的，因此，年龄问题是一种“差不变”的问题，解题时，要 善于利用差不变的特点。 （十四）鸡兔问题 鸡兔问题：已知“鸡兔”的总头数和总腿数。求“鸡”和 “兔”各多少只的一类应用题。通常称为“鸡兔问题”又称鸡兔同 笼问题 解题关键：解答鸡兔问题一般采用假设法，假设全是一种动物 （如全是“鸡”或全是“兔”），然后根据
13、出现的腿数差，可推算 出某一种的头数。 解题规律：（总腿数-鸡腿数总头数）一只鸡兔腿数的差=兔 子只数。 兔子只数=（总腿数-2总头数）2 如果假设全是兔子，可以有下面的式子： 鸡的只数=（4总头数-总腿数）2 兔的头数=总头数-鸡的只数 （十五）重叠问题（容斥原理） 1.两者的容斥原理：A B = A + B A B(表示重合部分) 2.三者的容斥原理：A B C = A + B + C A B A B B C A C + A B C (表示重合部分) （十六）按比例分配问题 在农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比 来进行分配。这种分配的方法通常叫做按比例分配。 方法：首先求
14、出各部分占总量的几分之几，然后求出总数的几 分之几是多少。 （十七）牛吃草问题,学 海 无 涯 解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是： 1.草的生长速度=（对应的牛头数吃的较多天数-相应的牛头 数吃的较少天数）（吃的较多天数-吃的较少天数） 2.原有草量=牛头数 吃的天数 草的生长速度 吃的天数 3.吃的天数=原有草量（牛头数-草的生长速度） 4.牛头数=原有草量吃的天数+草的生长速度。 （十八）可能性 区分确定事件、不可能事件、可能性事件 确定事件：发生的可能性为 1，就是一定能发生； 不确定事件：发生可能性为 0，就是一定不能发生； 可能性事件：发生可能性大于 0，且小于 1，可能发生、也可 能不发生。 简单可能性事件发生的可能性 游戏规则的公平性,
