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1、赛才网赛马不相马，敢为天下先！ 以赛识才、以赛育才！中国教育学会中学数学教学专业委员会“数学周报杯”2008年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填都得0分）1已知实数满足 ，则的值为（ ）（A）7 （B） （C） （D）5【答】（A）解：因为，0，由已知条件得， ，所以 72把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m，n，则二次函数的图象与x轴有两个不
2、同交点的概率是（ ） （A） （B） （C） （D）【答】（C）解：基本事件总数有6636，即可以得到36个二次函数. 由题意知0，即4.通过枚举知，满足条件的有17对. 故.3有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可以确定的不同直线最少有( ) （A）6条 （B） 8条 （C）10条 （D）12条（第3题）【答】（B）解：如图，大圆周上有4个不同的点A，B，C，D，两两连线可以确定6条不同的直线；小圆周上的两个点E，F中，至少有一个不是四边形ABCD的对角线AC与BD的交点，则它与A，B，C，D的连线中，至少有两条不同于A，B，C，D的两两连线从而这6个点可
3、以确定的直线不少于8条当这6个点如图所示放置时，恰好可以确定8条直线所以，满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条4已知是半径为1的圆的一条弦，且以为一边在圆内作正，点为圆上不同于点A的一点，且，的延长线交圆于点，则的长为（ ）（A） （B）1 （C） （D）a【答】（B）解：如图，连接OE，OA，OB 设，则 又因为，（第4题）所以，于是5将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（ ）（A）2种 （B）3种 （C）4种 （D）5种【答】（D）解：设是1，2，3，4，5的一个满足要求的排列首先，对
4、于，不能有连续的两个都是偶数，否则，这两个之后都是偶数，与已知条件矛盾又如果（1i3）是偶数，是奇数，则是奇数，这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数，除非接的这个奇数是最后一个数所以只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5种情形满足条件： 2，1，3，4，5； 2，3，5，4，1； 2，5，1，4，3； 4，3，1，2，5； 4，5，3，2，1二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6对于实数u，v，定义一种运算“*”为：若关于x的方程有两个不同的实数根，则满足条件的实数a的取值范围是 【答】，或解：由，得，依题意有 解得，或7小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公
5、交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是 分钟【答】4解：设18路公交车的速度是米/分，小王行走的速度是米/分，同向行驶的相邻两车的间距为米每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车，则 每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，则 由，可得 ，所以 即18路公交车总站发车间隔的时间是4分钟（第8题5数，段成比例，所以）8如图，在中，AB=7，AC=11，点M是BC的中点， AD是BAC 的平分线，MFAD，则FC的长为 【答】9解：如图，设点N是AC的中点，连接MN，则MNAB又，所以 ，（第8题答案5数
6、，段成比例，所以）所以 因此 99ABC中，AB7，BC8，CA9，过ABC的内切圆圆心I作DEBC，分别与AB，AC相交于点D，E，则DE的长为 【答】解：如图，设ABC的三边长为a，b，c，内切圆I的半径为r，BC边上的高为，则，所以 （第8题答案图5数，段成比例，所以）（第8题答案图5数，段成比例，所以）因为ADEABC，所以它们对应线段成比例，因此（第9题答案5数，段成比例，所以），所以 ，故 10关于x，y的方程的所有正整数解为 【答】解：因为208是4的倍数，偶数的平方数除以4所得的余数为0，奇数的平方数除以4所得的余数为1，所以x，y都是偶数设，则，同上可知，a，b都是偶数设，则
7、，所以，c，d都是偶数设，则，于是 ，其中s，t都是偶数所以所以可能为1，3，5，7，9，进而为337，329，313，289，257，故只能是289，从而7于是 因此 三、解答题（共4题，每题15分，满分60分）11在直角坐标系xOy中，一次函数的图象与轴、轴的正半轴分别交于A，B两点，且使得OAB的面积值等于（1） 用b表示k；（2） 求OAB面积的最小值 解：（1）令，得；令，得所以A，B两点的坐标分别为，于是，OAB的面积为由题意，有，解得 ， 5分（2）由（1）知，当且仅当时，有，即当，时，不等式中的等号成立 所以，OAB面积的最小值为 15分12已知为正整数，关于x的方程的两个实数
8、根为，关于y的方程的两个实数根为，且满足求的最小值解：关于x的方程的根为，关于y的方程的根为设，则当时，有，不满足条件；当时，有，不满足条件；当时，得；当时，得由于，于是有 10分又由于为正整数，得知t是有理数，从而t是整数由，得，即b取最小值为=所以，b的最小值为62997 15分13是否存在一个三边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角等于另一个内角2倍的ABC？证明你的结论解：存在满足条件的三角形 当ABC的三边长分别为，时， 5分如图，当时，延长BA至点D，使连接CD，则为等腰三角形（第13（A）题答案5数，段成比例，所以）因为为的一个外角，所以由已知，所以所以为等腰三角形又为与的一个公
9、共角，有，于是， 即 ，所以 而，所以此三角形满足题设条件，故存在满足条件的三角形 15分说明：满足条件的三角形是唯一的若，可得有如下三种情形：（i）当时，设，（为大于1的正整数），代入，得，解得，有，；（）当时，设，（为大于1的正整数），代入，得，解得 ，有，此时不能构成三角形；（）当时，设，（为大于1的正整数），代入，得，即 ，此方程无整数解 所以，三边长恰为三个连续的正整数，且其中一个内角等于另一个内角的2倍的三角形存在，而且只有三边长分别为4，5，6构成的三角形满足条件14从1，2，9中任取n个数，其中一定可以找到若干个数（至少一个，也可以是全部），它们的和能被10整除，求n的最小值解：当n4时，数1，3，5，8中没有若干个数的和能被10整除 5分当n5时，设是1，2，9中的5个不同的数若其中任意若干个数，它们的和都不能被10整除，则中不可能同时出现1和9；2和8；3和7；4和6于是中必定有一个数是5若中含1，则不含9于是不含4（41510），故含6；于是不含3（36110），故含7；于是不含2（21710），故含8但是57820是10的倍数，矛盾若中含9，则不含1于是不含6（69520），故含4；于是不含7（74920），故含3；于是不含8（89310），故含2但是53210是10的倍数，矛盾综上所述，n的最小值为5 15分9
