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1、,数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。动态题是近年来中考的的一个热点问 题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几 何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与 “不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言， 有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图 象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。解这类题目要“以静 制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。以动态 几何问题为基架而精心设计的考题
2、，可谓璀璨夺目、精彩四射。 动态几何形成的面积问题是动态几何中的基本类型，包括单动点形成的面积问题，双 （多）动点形成的面积问题，线动形成的面积问题，面动形成的面积问题。本专题原创编写 单动点形成的面积问题模拟题。 在中考压轴题中，单动点形成的面积问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地 进行分类。 原创模拟预测题 1. 某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究，已知 AB=8. 问题思考： 如图 1，点 P 为线段 AB 上的一个动点，分别以 AP、BP 为边在同侧作正方形 APDC 与正方形 PBFE. 在点 P 运动时，这两个正方形面积之和是定值吗？如果时求出；若不是，求出这两个 正
3、方形面积之和的最小值. 分别连接 AD、DF、AF， AF 交 DP 于点 A，当点P 运动时，在APK、ADK、DFK 中， 是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由.,问题拓展： （3）如图 2，以 AB 为边作正方形 ABCD，动点 P、Q 在正方形 ABCD 的边上运动，且 PQ=8.若 点 P 从点 A 出发，沿 ABCD 的线路，向 D 点运动，求点 P 从 A 到 D 的运动过程中， PQ 的中点 O 所经过的路径的长。,图1,F,E,D,C,A,B,P,- 1 -,(4)如图（3），在“问题思考”中，若点 M、N 是线段 AB 上的两点，且 AM=BM=1，点 G、H 分别
4、是边 CD、EF 的中点.请直接写出点 P 从 M 到 N 的运动过程中，GH 的中点 O 所经过的路 径的长及 OM+OB 的最小值.,【答案】（1）当 x=4 时，这两个正方形面积之和有最小值，最小值为 32； 存在两个面积始终相等的三角形，图形见解析； PQ 的中点O 所经过的路径的长为 6； 点 O 所经过的路径长为 3，OM+OB 的最小值为 113 【解析】,试题解析：（1）当点 P 运动时，这两个正方形的面积之和不是定值 设 AP=x，则 PB=8-x， 根据题意得这两个正方形面积之和=x2+（8-x）2=2x2-16x+64=2（x-4）2+32， 所以当 x=4 时，这两个正
5、方形面积之和有最小值，最小值为 32； （2）存在两个面积始终相等的三角形，它们是APK 与DFK 依题意画出图形，如图所示,图3,O,H,G,F,E,D,C,A,B,MP,N,O,Q,C,D,A,PB,P 图2,- 2 -,设 AP=a，则 PB=BF=8-a PEBF，,PKAP,BFAB,，,即,PKa,8 a8,，,PK=,8,a(8 a),，,DK=PD-PK= a-,8,a(8 a),a2,=， 8,SAPK=,1 2,1a(8 a) PKPA= 28,a=,16,a2 (8 a),，SDFK=,1 2,1,a2,DKEF=（8-a）= 28,16,a2 (8 a),，,SAPK=
6、SDFK；,3,所以 PQ 的中点O 所经过的路径的长为：24=6； 4,- 3 -,（4）点 O 所经过的路径长为 3，OM+OB 的最小值为 113 如图，分别过点G、O、H 作 AB 的垂线，垂足分别为点 R、S、T，则四边形 GRTH 为梯形,如图，作点M 关于直线 XY 的对称点 M，连接 BM，与 XY 交于点O,由轴对称性质可知，此时OM+OB=BM最小 在 RtBMM中，由勾股定理得：BM= MM 2 BM 2 113 OM+OB 的最小值为 113 考点：四边形综合题 原创模拟预测题 2. 如图，点 P 是以 O 为圆心，AB 为直径的半圆上的动点，AB=2，设弦 AP 的长
7、为 x，APO 的面积为 y，则当 y= 3 时，x 的取值是【 】 4,- 4 -,4,A. 1 B. 1 C. 1 或 3 D. 3,【答案】C。 【考点】动点问题，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，等边三角形的判定和性 质，含 30 度角直角三角形的性质，分类思想的应用。,故选 C。,原创模拟预测题 3. 如图，菱形 ABCD 的边长为 2，A= 30 ，动点 P 从点 B 出发，沿 B-C-D 的路线向点D 运动。设ABP 的面积为 y (B、P 两点重合时，ABP 的面积可以看做 0)，点 P 运动的路程为x，则 y 与 x 之间函数关系的图像大致为【 】,- 5 -,A.,B.
8、,C.,D.,【答案】C。 【考点】动点问题的函数图象，菱形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值， 分类思想的应用。 【分析】当点 P 在 BC 上运动时，如图 1，,ABP 的高PE BP sin PBE BP sin A 1 x ， 2 ABP 的面积y 1 AB PE= 1 2 1 x 1 x 。 2222 当点 P 在 BC 上运动时，如图 2，,- 6 -,故选 C。,原创模拟预测题 4. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=3，BC=4动点 P 从点 A 出发沿 AC 向终点 C 运动，同时动点 Q 从点 B 出发沿 BA 向点 A 运动，到达 A 点后立刻以原来的速度沿 A
9、B 返回点 P、Q 运动速度均为每秒 1 个单位长度，当点 P 到达点 C 时停止运动，点 Q 也同时停止连 接 PQ，设运动时间为 t（t 0）秒,求线段 AC 的长度； 当点 Q 从点 B 向点 A 运动时（未到达 A 点），求APQ 的面积 S 关于 t 的函数关系式， 并写出 t 的取值范围； 伴随着 P、Q 两点的运动，线段 PQ 的垂直平分线为 l： 当 l 经过点 A 时，射线 QP 交 AD 于点 E，求 AE 的长； 当 l 经过点 B 时，求 t 的值,2555,【答案】（1）5 （2） S 1 (3 t) 4 t 2 t 2 6 t ， (0 t 3) （3）3、t2.5
10、，,45 14,t ,【解析】 试题分析：（1）在矩形 ABCD 中， AC AB2 BC2 5,- 7 -,由APEOPQ，得 AE AP , AE AP OQ 3 OQOPOP （）如图，当点 Q 从 B 向 A 运动时 l 经过点 B，,BQCPAPt，QBPQAP QBPPBC90，QAPPCB90 PBCPCB CPBPAPt,22,11,CPAPAC52.5 t2.5,（）如图，当点 Q 从 A 向 B 运动时 l 经过点 B，,- 8 -,考点：矩形、相似三角形 点评：本题考查矩形，相似三角形，要求考生掌握矩形的性质，相似三角形的判定方法，会 判定两个三角形相似,2,原创模拟预测
11、题 5.如图，已知动点 A 在函数 y=(xo)的图象上，ABx 轴于点B，ACy x 轴于点 C，延长 CA 至点 D，使 AD=AB，延长 BA 至点，使 AE=AC。直线 DE 分别交 x 轴，y,轴于点 P，Q。当 QE：DP=4:9 时，图中的阴影部分的面积等于 _。,【答案】 3 。 2 【考点】反比例函数综合题，曲线上坐标与方程的关系，勾股定理，相似三角形的判定 和性质。 【分析】过点 D 作 DGx 轴于点 G，过点E 作EFy 轴于点 F。,- 9 -,t2,22242,图中阴影部分的面积= 1 AB2 1 4 1 4 3 3 。,原创模拟预测题6. 如图，在平面坐标系中，直
12、线y=x+2与x轴，y轴分别交于点A， 点B，动点P（a，b）在第一象限内，由点P向x轴，y轴所作的垂线PM，PN（垂足为M，N） 分别与直线AB相交于点E，点F，当点P（a，b）运动时，矩形PMON的面积为定值2当点 E，F都在线段AB上时，由三条线段AE，EF，BF组成一个三角形，记此三角形的外接圆面 积为S1，OEF的面积为S2。试探究： S2 S1 是否存在最大值？若存在，请求出该最大值； 若不存在，请说明理由。,- 1 0 -,【答案】存在。 四边形OAPN 是矩形，OAF=EBO=45，,AME、BNF、PEF 为等腰直角三角形。 E 点的横坐标为 a，E（a，2a）， AM=EM
13、=2a。 AE2=2（2a）2=2a28a+8。 F 的纵坐标为 b，F（2b，b）， BN=FN=2b。BF2=2（2b）2=2b28b+8。 PF=PE=a+b2， EF2=2（a+b2）2=2a2+4ab+2b28a8b+8。 ab=2， EF2=2a2+2b28a8b+16。 EF2=AE2+BF2。 线段 AE、EF、BF 组成的三角形为直角三角形，且 EF 为斜边。,2,2,1,4,4,2,2,此三角形的外接圆的面积为S EF ,2a b 2 a b 2 。, S,2,2,PEF,OME,梯形OMPF, 1 PF ON PM，S, 1 PF PE，S, 1 OM EM ， 2,S2
14、=S 梯形 OMPF,PEFOME,1,11,222,SS，=（PF+ON）PMPFPEOMEM,= 1,2,2,1,2,PF（PMPE）+OM（PMEM）= 1 （PFEM+OMPE）=PE,（EM+OM）,2,= 1 （a+b2）（2a+a）=a+b2 。,2,21,2, S S a b 2 a b 2,。,21,2,2, 2 21,2 ,设 m=a+b2，则S S m m2 m ，, 0 ， 2,21,2,- 1 1 -,当m 2 时， S S 有最大值，最大值为 1 。,【考点】单动点问题，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理和逆定理，二次函数的 性质，偶次幂的非负性质，转换思想的应用。,图,- 1 2 -,
