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1、高中数学5.2含有绝对值的不等式5.2.1含有绝对值的不等式的解法知识导航学案苏教版选修4-55.2.1 含有绝对值的不等式的解法自主整理1.|x|的几何意义是_.2.含有绝对值的不等式的解法(同解性).(1)|x|a(2)|x|a3.|ax+b|c(c0),|ax+b|c(c0)型不等式的解法.(1)|ax+b|c(c0)型不等式的解法是:先化为不等式组_,再进一步利用不等式的性质求出原不等式的解集.(2)|ax+b|c(c0)型不等式的解法是:先化为不等式_或_,再利用不等式的性质求出原不等式的解集.4.|x-a|+|x-b|c和|x-a|+|x-b|c型不等式的解法.解法一:可以利用绝对
2、值不等式的_.解法二:利用分类讨论的思想,以绝对值的_为分界点,将数轴分成几个区间,然后确定各个绝对值中的多项式的_,进而去掉_.高手笔记1.解含有绝对值的不等式的总体思路是将含有绝对值的不等式转化为不含绝对值的不等式求解,转化的依据为同解性,对同解性应理解为|x|中的x可以是任何有意义的数学式子f(x),掌握去掉绝对值符号的方法和途径是关键.2.数形结合是解绝对值不等式的另一重要途径,为此,要熟练掌握绝对值的几何意义.3.分类讨论的思想方法在解含有绝对值的不等式时经常用到,应注意“分界点”的讨论,做到不重不漏.4.解不等式每一步变形要依据不等式的性质,进行等价转化,保证所求结果为原不等式的解
3、集.名师解惑几个特殊的含有绝对值的不等式的区别及参数a的解法.(1)|x-4|-|x-3|a有解,则a的取值范围是_;(2)|x-4|-|x-3|a的解集为R,则a的取值范围是_;(3)|x-4|+|x-3|a的解集为,则a的取值范围是_;(4)|x-4|+|x-3|a的解集为R,则a的取值范围是_.剖析:处理以上问题,可以与函数y=|x-4|-|x-3|和y=|x-4|+|x-3|的最值(值域)等联系起来.而求这两个函数的最值(值域)所用的方法可以是画数轴数形结合,也可以分类讨论求出. 函数y=|x-4|-|x-3|的值域为-1,1,函数y=|x-4|+|x-3|1,(1)|x-4|-|x-
4、3|a有解,a1.(2)|x-4|-|x-3|a的解集为R,即|x-4|-|x-3|a恒成立,等价于a|x-4|-|x-3|min=-1.a-1.(3)|x-4|+|x-3|a的解集为,即不存在x使不等式成立,a1.(4)|x-4|+|x-3|a的解集为R,即不等式恒成立,等价于|x-4|+|x-3|mina,即a1.讲练互动【例1】解不等式:2|3x-1|4.分析:可以利用|ax+b|c型和|ax+b|c型不等式的解法进行等价转化,或者利用数形结合法.解:原不等式等价于-1x-或1x.原不等式的解集为x|-1x-或1x.绿色通道 本题题型为“公式型”,即转化为等价不等式或不等式组求解,并在数
5、轴上取交集.变式训练1.求不等式4|3x-2|8的解集.解:原不等式等价于43x-28或-83x-2-4,解之,得2x或-2x-.原不等式的解集为x|2x或-2x-.【例2】求不等式|5x-x2|6的解集.分析:可以利用|x|a的结论进行转化,然后解一元二次不等式,取交集可得结果.解:原不等式等价于|x2-5x|6,即-6x2-5x6,由得x3或x2,由得-1x6.原不等式的解集为x|x3或x2x|-1x6=x|-1x2或3x6.绿色通道 将不等式转化为等价不等式组,从而解出.变式训练2.解不等式|x2-2x|3.解:由|x2-2x|3得-3x2-2x3,由知(x-1)2+20恒成立;由得-1
6、x3.原不等式组的解集为x|-1x3.【例3】解不等式|x+2|+|x-3|8.分析:本题可以用分段讨论法或数形结合法求解.对于形如y=|x+a|+|x+b|的等式,可以看作分段函数.解法一:设数轴上与-2,3对应的点分别为A、B,那么A、B两点间的距离为5,因此区间-2,3内的数都不是不等式的解.设在A点左侧有一点A1到A、B两点的距离之和为8,A1对应数轴上的x.-x-2+3-x=8,得x=-.同理,设B点右侧有一点B1,到A、B两点的距离之和为8,B1对应数轴上的x,x+2+x-3=8.x=.从数轴上可看到,点A1、B1之间的点到A、B距离之和都小于8,点A1的左边或点B1的右边的任何点
7、到A、B距离之和都大于8,原不等式的解集为(-,-,+).解法二:当x-2时,原不等式可化为-(x+2)-(x-3)8,得x-;当-2x3时,原不等式可化为(x+2)-(x-3)8,不成立;当x3,原不等式可化为(x+2)+(x-3)8,得x.综上,原不等式的解集为x|x-或x.绿色通道 用数形结合的关键是找到一些特殊的点A、B、A1、B1;用分段讨论要做到不重不漏,注意端点是否适合.变式训练3.解不等式|x+1|+|x|7.解法一:数轴上与-1,0对应的点分别为A、B,两点间的距离为1.由图可知,线段AB上的点的坐标不适合不等式.设A点的左边一点A1的坐标为x,满足-1-x+(-x)=7,得
8、x=-4.同理,设B点右侧一点B1的坐标为x,满足x-(-1)+x=7,得x=3.点A1的左边或点B1的右边的任何点到A、B距离之和都大于7.原不等式的解集为(-,-4)(3,+).解法二:当x-1时,原不等式等价于-1-x-x7,即x-4.当-1x0时,原不等式等价于x+1-x7不成立.当x0时,原不等式等价于x+1+x7,x3.综上,原不等式的解集为(-,-4)(3,+).【例4】解不等式|x+3|-|2x-1|+1.分析:本题含有两个绝对值号,可根据各绝对值的零点分段讨论.解:当x-3时,原不等式化为-x-3+2x-1+1,即x10,x-3.当-3x时,原不等式化为x+3+(2x-1)+
9、1,即x-,-3x-.当x时,原不等式化为x+3-(2x-1)+1,即x2,x2.综上,原不等式的解集为x|x-3x|-3x-x|x2=x|x-或x2.绿色通道 对于含有多个绝对值号的绝对值不等式,常常根据各绝对值的零点进行分段讨论,最后再求并集,分段时注意做到不重不漏.变式训练4.解不等式|2x+1|+|3x-2|2x+5.解:当x-时,原不等式等价于-2x-1-(3x-2)2x+5,即x-,-x-.当-x时,原不等式等价于2x+1-(3x-2)2x+5,即x-,-x.当x时,原不等式等价于2x+1+3x-22x+5,即x2,x2.综上,原不等式的解集为x|-x-x|-xx|x2=x|-x2
10、.5.(2007高考宁夏卷,22C)设函数f(x)=|2x+1|-|x-4|.(1)解不等式f(x)2;(2)求函数y=f(x)的最小值.解:(1)令y=|2x+1|-|x-4|,则y=作出函数y=|2x+1|-|x-4|的图象,它与直线y=2的交点为(-7,2)和(,2).所以|2x+1|-|x-4|2的解集为(-,-7)(,+).(2)由函数y=|2x+1|-|x-4|的图象可知,当x=-时,y=|2x+1|-|x-4|取得最小值-.教材链接P7思考1.你能总结出解不等式|x-a|+|x-b|c(ab)的基本思路吗?进一步地,如何解|x-a|+|x-b|c呢?答:解这两个不等式都有两种方法
11、:(1)数形结合法;(2)分段讨论法.(1)数形结合法:在数轴上找到以a、b为坐标的点A、B,则A、B间的距离为b-a,则数轴上任意一点P到A、B两点的距离之和都大于等于b-a,即|PA|+|PB|AB|=b-a.当b-ac时,|x-a|+|x-b|c的解集为R,|x-a|+|x-b|c的解集为.当b-ac时,可在A的左边找到一点A1,使|A1A|+|A1B|=c,在B的右边也找到一点B1,使|B1A|+|B1B|=c,则数轴上A1点左边的点都满足|x-a|+|x-b|c,B1点右边的点都满足|x-a|+|x-b|c,在A1、B1之间的点都满足|x-a|+|x-b|c.2.分段讨论法:不等式|x-a|+|x-b|c等价于或或即或或而不等式|x-a|+|x-b|c等价于或或即或或5 / 5
