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1、学 海 无 涯 概率论和数理统计公式集锦 一、随机事件与概率一、随机事件与概率 公式名称 公式表达式 德摩根公式 BABA=，BABA= 古典概型 ( ) mA P A n = 包含的基本事件数 基本事件总数 几何概型 () () () A P A = = ，其中为几何度量（长度、面积、体积） 求逆公式 )(1)(APAP= 加法公式 P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB) 当 P(AB)0 时，P(AB)=P(A)+P(B) 减法公式 P(A-B)=P(A)-P(AB)，BA时 P(A-B)=P(A)-P(B) 条件概率公式 与乘法公式 )( )( )( AP ABP ABP= ()(
2、) ()( ) ()P ABP A P B AP B P A B= ()( ) () ()P ABCP A P B A P C AB= 全概率公式 1 ( )() () n ii i P AP B P A B = = 贝叶斯公式 （逆概率公式） 1 () () () () () ii i n ii i P B P A B P B A P B P A B = = 两个事件 相互独立 ()( ) ( )P ABP A P B=；()( )P B AP B=；)()(ABPABP=； 二、随机变量及其分布二、随机变量及其分布 1、分布函数 () ( )(),()( )( ) ( ) k k xx x
3、 P Xx F xP XxP aXbF bF a f t dt = = 2、离散型随机变量及其分布 分布名称 分布律 01 分布 (1,)Xbp 1 , 0,)1 ()( 1 = kppkXP kk 二项分布 ( ,)Xb n p nkppCkXP knkk n , 1 , 0,)1 ()(= 泊松分布 ( )XP (),0,1,2, ! k P Xkek k = 3、续型随机变量及其分布 分布名称 密度函数 分布函数 均匀分布 ( , )XU a b = 其他其他, 0 , 1 )( bxa ab xf 0, ( ), 1, = xa xa F xaxb ba xb 分布名称 密度函数 分布
4、函数 指数分布 ( )Xe = 0, 0 0, )( x xe xf x = 0, 0 0,1 )( x xe xF x 正态分布 2 ( ,)XN 2 2 () 2 1 ( ) 2 = + x f xe x 2 2 () 2 1 ( )d 2 = t x F xet 标准正态分布 (0,1)XN 2 2 1 ( ) 2 = + x xe x 2 1 2 1 ( ) 2 tx xedt = 4、随机变量函数 Y=g(X)的分布 离散型： () (),1,2, ji ij g xy P Yyp i = = ， 连续型：分布函数法，公式法( )( ( )( ) ( ) YX fyfh yh yxh
5、 y=单调 三、多维随机变量及其分布三、多维随机变量及其分布 1、离散型二维随机变量及其分布 分布律：(,), ,1,2, ijij P Xx Yypi j=分布函数(,) ii ij xx yy F X Yp = 边缘分布律： () iiij j pP Xxp = = () jjij i pP Yyp = 条件分布律：( ),1,2, ij ij j p P Xx Yyi p = ，(),1,2, ij ji i p P Yy Xxj p = 2、连续型二维随机变量及其分布 分布函数及性质 分布函数： = xy dudvvufyxF),(),( 性质： 2 ( , ) (,)1,( , ),
6、 F x y Ff x y x y + + = ( , )( , ) G Px yGf x y dxdy= 边缘分布函数与边缘密度函数 分布函数： + = x X dvduvufxF),()( 密度函数： + =dvvxfxfX),()( + = y Y dudvvufyF),()( + =duyufyfY),()( 条件概率密度 +=y xf yxf xyf X XY , )( ),( )(，+=x yf yxf yxf Y YX , )( ),( )( 3、随机变量的独立性 随机变量 X、Y 相互独立( , )( )( ) XY F x yFx Fy=， 离散型： .ijij pp p=
7、，连续型：( , )( )( ) XY f x yfx fy= 4、二维随机变量和函数的分布 离散型： ()(,) ijk kij xyz P ZzP Xx Yy += = 连续型：( )( ,)(, ) Z fzf x zx dxf zy y dy + = 四、随机变量的数字特征四、随机变量的数字特征 1、数学期望 定义：离散型 + = = 1 )( k kkp xXE，连续型 + =dxxxfXE)()( 性质：( ),E CC=)()(XEXEE=，)()(XCECXE=，)()()(YEXEYXE= bXaEbaXE=)()( ，当 X、Y 相互独立时：)()()(YEXEXYE= 2
8、、方差 定义： 222 ()() ()()D XE XE XE XEX= 性质：0)(=CD，)()( 2 XDabaXD=，),(2)()()(YXCovYDXDYXD+= 当 X、Y 相互独立时：)()()(YDXDYXD+= 3、协方差与相关系数 协方差： (, )()() ( )Cov X YE XYE X E Y= ，当 X、Y 相互独立时：0),(=YXCov 相关系数： (, ) ()( ) XY Cov X Y D XD Y = ，当 X、Y 相互独立时：0= XY (X,Y 不相关) 协方差和相关系数的性质：)(),(XDXXCov=，),(),(XYCovYXCov= ),
9、(),(),( 2121 YXCovYXCovYXXCov+=+，),(),(YXabCovdbYcaXCov=+ 4、常见随机变量分布的数学期望和方差 分布 数学期望 方差 0-1 分布), 1 ( pb p p(1-p) 二项分布),(pnb np np(1-p) 泊松分布)(P 均匀分布),(baU 2 ba+ 12 )( 2 ab 正态分布),( 2 N 2 指数分布)(e 1 2 1 五、大数定律与中心极限五、大数定律与中心极限定理定理 1、切比雪夫不等式 若,)(,)( 2 =XDXE对于任意0有 2 )( )( XD XEXP 2、大数定律： 切比雪夫大数定律：若 n XX 1
10、相互独立， 2 )(,)( iiii XDXE=且C i 2 ，则： = n i i P n i i nXE n X n 11 )(),( 11 伯努利大数定律：设 nA是 n 次独立试验中事件 A 发生的次数，p 是事件 A 在 每次试验中发生的概率，则 0 ，有：lim1 A n n Pp n = 辛钦大数定律： 若 1, , n XX独立同分布， 且=)( iXE， 则 = n P n i iX n 1 1 3、中心极限定理 列维林德伯格中心极限定理：独立同分布的随机变量(1,2,) i X i =，均值 为，方差为0 2 ，当 n 充分大时有： 1 ()(0,1) n nk k YXn
11、nN = = 棣莫弗拉普拉斯中心极限定理：随机变量),(pnBX，则对任意 x 有： 2 2 1 lim ( ) (1)2 t x n Xnp Pxedtx npp = 近似计算： 1 ()()() n k k bnan P aXb nn = 学 海 无 涯 六、数理统计的基本概念六、数理统计的基本概念 1、总体和样本的分布函数 设总体( )XF x，则样本的联合分布函数)(),( 1 21k n k n xFxxxF = = 2、统计量 样本均值： = = n i i X n X 1 1 ，样本方差： = = = n i i n i i XnX n XX n S 1 2 2 1 22 )(
12、1 1 )( 1 1 样本标准差： = = n i i XX n S 1 2 )( 1 1 ，样本k阶原点距：2 , 1, 1 1 = = kX n A n i k ik 样本k阶中心距： 1 1 () ,1,2,3 n k ki i BXXk n = = 3、三大抽样分布 (1) 2 分布：设随机变量(0,1) i XN (1,2, )in=且相互独立，则称统计量 22 2 2 1 2 n XXX+=服从自由度为n的 2 分布，记为)( 22 n 性质：nnDnnE2)(,)( 22 =设)(),( 22 nYmX且相互独立，则 )( 2 nmYX+ (2)t分布：设随机变量)(),1 ,
13、0( 2 nYNX，且 X 与 Y 独立，则称统计量： nY X T =服从自由度为n的t分布，记为)(ntT 性质：( )0 (1),( )(2) 2 n E TnD Tn n = 2 2 1 lim( )( ) 2 x n n fxxe = (3)F分布：设随机变量 22 ( ),( )Xm Yn，且X与Y独立，则称统计量 ( , ) X m F m n Y n =服从第一自由度为 m，第二自由度为 n 的F分布，记为 ( , )FF m n，性质：设( , )FF m n，则1( ,)F n m F 七、参数估计七、参数估计 1.参数估计 定义：用 12 (,) n XXX L估计总体参
14、数，称 12 (,) n XXX L为的估 计量，相应的 12 ( ,) n x xx 为总体的估计值。 当总体是正态分布时，未知参数的矩估计值=未知参数的极大似然估计值 2.点估计中的矩估计法： 基本思想：用样本矩来估计相应的总体矩 求法步骤：设总体 X 的分布中包含有未知参数 12 , k ，它的前 k 阶原点 矩()(1,2, ) i i E Xik=中包含了未知参数 12 , k ， 即 12 ( ,)(1,2, ) iik gik =； 又设 12 , n x xxL为总体 X 的 n 个样本 值，用样本矩代替 i ，在所建立的方程组中解出的 k 个未知参数即为参数 12 , k 的
15、矩估计量 12 , k 。 注意：分布中有几个未知参数，就求到几阶矩。注意：分布中有几个未知参数，就求到几阶矩。 3.点估计中的极大似然估计 设 12 , n XXXL取自X的样本，设( , )Xf x或( , )XP x， 求法步骤： 似然函数： 11 ( )( , )()( )( , )() nn iii ii Lf xLP x = = 连续型 或离散型 取对数： 1 ln ( )ln( , ) n i i Lf x = = 或 1 ln ( )ln( , ) n ii i Lp x = = 解方程： 1 lnln 0,0 k LL = L，解得： 1112 12 ( ,) ( ,) n kkn x xx x xx = = 4.估计量的评价标准 估 计 量 的 评 价 标 准 无偏性 设
