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1、高中数学1.1空间几何体1.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积优化训练新人教B版必修21.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积5分钟训练(预习类训练,可用于课前)1.在一个长方体上钻一个圆柱形的孔，钻孔后得到的几何体与原长方体相比，其表面积( )A.变大了 B.变小了 C.相等 D.不一定解析：当钻的孔即圆柱底面面积之和等于侧面积时，相等；当底面面积之和小于侧面积时，变大；当底面面积之和大于侧面积时，变小.答案：D2.一个正三棱台的上下底面边长为3 cm和6 cm，高为cm，则此三棱台的侧面积是( )A. B. C. D.以上都不对解析：虽然根据正三棱台的侧面是等腰梯形,可以求出这个等腰梯形的
2、高，进而可求得侧面积，但这里的选项、中皆没有单位cm，所以选D.答案:D3.若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_.解：正方体的对角线即为球的直径，直径d=，由d=R=S=4R2=27.答案：2710分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.已知正六棱柱的高为h，底面边长为a，则它的全面积为( )A. B.C. D.解析：柱体的全面积是侧面积加上底面积，据正六棱柱的性质，得其全面积为S侧+2S底=6ah+a2.答案：A2.如果圆台的母线与底面成60角，那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为( )A.2 B. C. D.解析：可以把母线的长设为1,根据已知求出圆台的高,进而根据公
3、式分别求出圆台的侧面积和轴截面的面积.答案:C3.侧面都是直角三角形的正棱锥，底面边长为a，则此棱锥的全面积是( )A. B.C. D.都不对解析：首先要搞清楚这个正棱锥只能是正三棱锥,这是因为正棱锥的同一个顶点上的各侧面顶角之和小于360,则易得答案为A.答案:A4.过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为( )A. B. C. D.解：如图所示，设球半径为R,由题意知OO=，OF=R,Sr=R.S截面=r2=(R)2=R3,S球=4R2.答案：A5.图1-1-6-1所示的是由18个边长为1 cm的小正方体拼成的几何体，求此几何体的表面积是多少？图1-1
4、-6-1解析：从图中可以看出，18个小正方体一共摆了三层，第一层2个，第二层7个，因为18-7-2=9，所以第三层摆了9个.另外，上、下两个面的表面积是相同的，同样，前、后、左、右两个面的表面积也是分别相同的.解：因为小正方体的棱长是1 cm，所以上面的表面积为129=9（cm2）；前面的表面积为128=8（cm2）；左面的表面积为127=7（cm2）,几何体的表面积为92+82+72=48.30分钟训练(巩固类训练,可用于课后)1.长方体的一个顶点上三条棱分别是3、4、5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( )A.25 B.50 C.125 D.都不对解析：由于长方体的对角线
5、的长是球的直径.所以可求得这个球的直径是,然后代入球的表面积公式S=4R2即可.答案:B2.若正三棱锥的斜高是高的倍，则棱锥的侧面积是底面积的( )A.倍 B.2倍 C.倍 D.3倍解析：由已知易求侧棱与高的夹角是60,进而求得对于同一底边,侧面三角形和底面三角形的高的比为23,由此易得答案.答案:B3.现要建造一个长方体形状的仓库,其内部的高为3 m,长和宽的和为20 m,那么仓库的容积的最大值是( )A.300 m3 B.400 m3 C.200 m3 D.240 m3解：设长方体的长为x,则宽为20-x,所以V=3x(20-x)=-3(x-10)2+300300.故最大容积为300 m3
6、.答案：A4.下列四个结论中,错误的个数为( )经过球面上任意两点,可以作且只可以作一个球的大圆;球面积是它大圆面积的四倍;球面上两点的球面距离,是这两点所在截面圆上以这两点为端点的劣弧的长.A.0 B.1 C.2 D.3解析：当球面上的两点与球心共线时可作无数个球的大圆,错;S球=4R2,S大圆=R2.所以S球=4S大圆,正确;球面上两点的球面距离是球面上的两点之间的最短距离,就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度,并非任意截面圆上,所以错.答案：C5.如图1-1-6-2所示,正方体棱长为3 cm,在每个面正中央有个入口为正方形的孔道通到对面,孔的边长为1 cm,孔的各棱平行于正方体各
7、棱.则所得几何体的总表面积为( )图1-1-6-2A.54 cm2 B.76 cm2 C.72 cm2 D.84 cm2解：由题意知该几何体的表面积包含外部表面积与内部表面积.S外=632-612=48( cm2),S内=46=24( cm2).S总=48+24=72( cm2).答案：C6.正方体ABCDA1B1C1D1中,以顶点A、C、B1、D1为顶点的正三棱锥的全面积为,则正方体的棱长为( )A. B.2 C.4 D.解：设正方体的棱长为a,侧面的对角线长为,正三棱锥ACB1D1的棱长为,它的表面积为4()2=.a2=2,即a=.答案：A7.正方体的8个顶点中,有4个恰为正三棱锥的顶点,
8、则正方体与正三棱锥的表面积之比是( )A. B. C. D.解：不妨设正四面体的顶点为A、C、B1、D1,设正方体的棱长为1,则正四面体棱长为.正方体的表面积为6,正四面体的表面积为.它们的表面积之比为.答案：B8.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,则这个圆柱的全面积与侧面积的比是( )A. B. C. D.解：设圆柱的底面半径为r,高为h,则由题设知h=2r.S全=2r2+(2r)2=2r2(1+2),S侧=h2=(2r)2=42r2.答案：A9.在球内有相距1 cm的两个平行截面，截面面积分别是5 cm2和8 cm2，球心不在截面内，求球的表面积.解:轴截面如图所示.圆O是球的大圆，A1B
9、1、A2B2分别是两个平行截面圆的直径，过O作OC1A1B1于C1，交A2B2于C2，由于A1B1A2B2，OC2A2B2.由圆的性质可得C1和C2分别是A1B1和A2B2的中点.设两平行截面的半径分别为r1和r2且r2r1,依题意r12=5,r22=8,r12=5,r22=8.OA1和OA2都是球的半径R,OC1=,OC2=.=1.解这个方程得R2=9.S球=4R2=432=36( cm2).10.如图1-1-6-3，一个容器的盖子用一个正四棱台和一个球焊接而成，球的半径为R，正四棱台的上、下底面边长分别为2.5R和3R，斜高为0.6R.图1-1-6-3（1）求这个容器盖子的表面积（用R表示，焊接处对面积的影响忽略不计）；（2）若R=2 cm，为盖子涂色时，所用的涂料每0.4 kg可以涂1 m2，计算为100个这样的盖子涂色约需涂料多少千克（精确到0.1 kg）.解：（1）S正四棱台=4（2.5R+3R）0.6R+（2.5R）2+（3R）2=（42.5+43）0.6R2+6.25R2+9R2=21.85R2,则S球=4R2.因此这个盖子的全面积为S全=（21.85+4）R2.（2）取R=2，=3.14，求得S全=137.67 cm2，（137.67100）10 0000.40.6（kg）.因此100个这样的盒子共需涂料约0.6 kg.5 / 5
