《高等数学(下册)期末复习试题及答案（6.29）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学(下册)期末复习试题及答案（6.29）.pdf（23页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、学 海 无 涯 一、填空题（共 21 分 每小题 3 分） 1曲线 = += 0 1 2 x yz 绕z轴旋转一周生成的旋转曲面方程为1 22 +=yxz 2直线 35 4 2 2 : 1 zyx L= = + 与直线 += += = tz ty tx L 72 31 3 : 2 的夹角为 2 3设函数 222 32),(zyxzyxf+=，则=) 1, 1, 1 (grad f6, 4, 2 4设级数 =1n n u收敛，则= n n ulim0 5设周期函数在一个周期内的表达式为 + = ,0,1 0,0 )( xx x xf 则它的傅里叶级数在=x处 收敛于 2 1+ 6全微分方程0dd
2、=+yxxy的通解为 Cxy = 7写出微分方程 x eyyy=+ 2的特解的形式 x axey = * 二、解答题（共 18 分 每小题 6 分） 1求过点) 1, 2, 1 (且垂直于直线 =+ =+ 02 032 zyx zyx 的平面方程 解解：设所求平面的法向量为n ，则3, 2, 1 111 121= = kji n (4 分) 所求平面方程为 032=+zyx (6 分) 2将积分 vzyxfd),(化为柱面坐标系下的三次积分，其中是曲面 )(2 22 yxz+=及 22 yxz+=所围成的区域 解解： 20 , 10 ,2 : 2 rrzr (3 分) vzyxfd),( =
3、2 21 0 2 0 d),sin,cos(dd r r zzrrfrr (6 分) 学 海 无 涯 3计算二重积分 + = D yx yxeIdd )( 22 ，其中闭区域. 4: 22 + yxD 解解 = 2 0 2 0 dd 2 rreI r = 2 0 2 2 0 )(dd 2 1 2 re r = 2 0 2 d2 2 1 r e)1 ( 4 =e 三、解答题（共 35 分 每题 7 分） 1设 v uez =，而 22 yxu+=，xyv =，求zd 解解：)2(2 32 yyxxeyuexe x v v z x u u z x z xyvv +=+= + = (3 分) )2(
4、2 23 xyxyexueye y v v z y u u z y z xyvv +=+= + = (6 分) yxyxyexyyxxez xyxy d)2(d)2(d 2332 += (7 分) 2函数),(yxzz =由方程0= xyzez所确定，求 y z x z , 解解：令xyzezyxF z =),(， (2 分) 则 ,yzFx= ,xzFy= ,xyeF z z = (5 分) xye yz F F x z z z x = ， xye xz F F y z z z y = (7 分) 3计算曲线积分+ L yxxydd，其中L是在圆周 2 2xxy=上由)0, 2(A到点)0,
5、 0(O的有 向弧段 解解：添加有向辅助线段OA，有向辅助线段OA与有向弧段OA围成的闭区域记为D，根据格林 公式 +=+ OA D L yxxyyxyxxydddd2dd (5 分) =0 2 2 (7 分) 4设曲线积分+ L x yxfxyxfed)(d)(与路径无关，其中)(xf是连续可微函数且满足1)0(=f， 求)(xf 学 海 无 涯 解解： 由 x Q y P = 得 )()(xfxfex=+， 即 x exfxf=)()( (3 分) 所以 )d()( dd) 1( Cxeeexf xxx += )(Cxex+=， (6 分) 代入初始条件，解得1=C，所以) 1()(+=x
6、exf x (7 分) 5判断级数 =1 2 )!2( ) !( n n n 的敛散性 解解： 因为 )!2( ) !( )!22( )!1( limlim 22 1 n n n n u u n n n n + + = + (3 分) ) 12)(22( ) 1( lim 2 + + = nn n n 1 4 1 = (6 分) 故该级数收敛 (7 分) 四、（7 分）分）计算曲面积分 +yxzxzyzyxdddddd，其中是上半球 面 22 1zyx =的上侧 解解：添加辅助曲面1, 0: 22 1 +=yxz，取下侧，则在由 1 和所围成的空间闭区域上应用 高斯公式得 +yxzxzyzyx
7、dddddd + += 1 ddddddyxzxzyzyx + 1 ddddddyxzxzyzyx (4 分) 0d3= v (6 分) 3 4 2 1 3 =2= (7 分) 五、（6 分）分）在半径为R的圆的内接三角形中，求其面积为最大的三角形 解解：设三角形各边所对圆心角分别为zyx,，则2=+zyx， 且面积为)sinsin(sin 2 1 2 zyxRA+=， 令)2(sinsinsin+=zyxzyxF (3 分) 学 海 无 涯 由 =+ =+= =+= =+= 2 0cos 0cos 0cos zyx zF yF xF z y x (4 分)得 3 2 =zyx此 时，其边长为
8、RR3 2 3 2= 由于实际问题存在最大值且驻点唯一，故当内接三角形为等边三 角形时其面积最大 (6 分) 六、（8 分）分）求级数 =1n n n x 的收敛域，并求其和函数 解解： 1 ) 1( limlim 1 = + = + n n a a R n n n n ，故收敛半径为1=R (2 分) 当1=x时，根据莱布尼茨判别法，级数收敛； 当1=x时， 级数为调和级数，发散 故原级数的收敛域为) 1, 1 (5 分) 设和为)(xS，即 = = 1 )( n n n x xS，求导得 = = 1 1 )( n n xxS x = 1 1 ， (6 分) 再积分得 = x xxSxS 0
9、 d)()( x x x d 1 1 0 =)1ln(x=，) 11(x (8 分) 七、（5 分）分）设函数)(xf在正实轴上连续，且等式 += yxxy ttfxttfyttf 111 d)(d)(d)( 对任何0, 0yx成立如果3) 1 (=f，求)(xf 解：解：等式两边对y求偏导得 )(d)()( 1 yfxttfyxfx x += (2 分) 上式对任何0, 0yx仍成立令1=y，且因3) 1 (=f，故有 += x xttfxxf 1 3d)()( (3 分) 由于上式右边可导，所以左边也可导两边求导，得 学 海 无 涯 3)()()(+=+xfxfxf x 即)0( 3 )(
10、=x x xf 故通解为 Cxxf+= ln3)(当1=x时，3) 1 (=f，故3=C 因此所求的函数为 ) 1(ln3)(+=xxf (5 分) 八八 （5 分）已知 xx exey 2 1 +=， xx exey += 2 ， xxx eexey += 2 3 是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程 解解 1：由线性微分方程解的结构定理知 x e2与 x e是对应齐次方程的两个线性无 关的解， x xe是非齐次方程的一个特解，故可设此方程为 )(2xfyyy= 将 x xey =代入上式，得 xx xeexf2)(=，因此所求的微分方程为 xx xeeyyy22= 解解 2：由
11、线性微分方程解的结构定理知 x e2与 x e是对应齐次方程的两个线性无 关的解， x xe是非齐次方程的一个特解，故 xxx eCeCxey += 2 2 1 是所 求微分方程的通解，从而有 xxxx eCeCxeey += 2 2 1 2， xxxx eCeCxeey += 2 2 1 42 消去 21,C C，得所求的微分方程为 xx xeeyyy22= 06 高数高数 B 一、填空题（共 30 分 每小题 3 分） 1 xoy坐 标 面 上 的 双 曲 线3694 22 = yx绕x轴 旋 转 一 周 所 生 成 的 旋 转 曲 面 方 程 为 36)(94 222 =+zyx 2设函
12、数 2 2),(zyzxzyxf+=，则= ) 1, 0, 1 (grad f)2, 1, 2( 3直线 35 4 2 2 : 1 zyx L= = + 与直线 += += = tz ty tx L 72 31 3 : 2 的夹角为 2 学 海 无 涯 4. 设是曲面 22 2yxz=及 22 yxz+=所围成的区域积分，则 vzyxfd),(化为柱面 坐标系下的三次积分形式是 2 21 0 2 0 d),sin,cos(dd r r zzrrfrr 5. 设L是圆周 2 2xxy=，取正向，则曲线积分=+ L yxxydd 2 6. 幂级数 = 1 1 ) 1( n nn n x 的收敛半径
13、1=R 7设级数 =1n n u收敛，则= n n ulim0 8设周期函数在一个周期内的表达式为 = ,0, 0,0 )( xx x xf 则它的傅 里叶级数在=x处收敛于 2 9全微分方程0dd=+yyxx的通解为 Cxy = 10写出微分方程 x eyyy=+ 2的特解的形式 x axey = * 二、解答题（共 42 分 每小题分） 1求过点) 1, 2, 1 (且垂直于直线 =+ =+ 032 02 zyx zyx 的平面方程 解解：设所求平面的法向量为n ，则3, 2, 1 111 121= = kji n (4 分) 所求平面方程为 032=+zyx (2 分) 2函数),(yxzz =由方程zyxzyx32)32sin(+=+所确定，求 x z 解解：令zyxzyxzyxF32)32sin(),(+=， (2 分) 则, 1)32cos(+=zyxFx 3)32cos(3+=zyxFz (2 分) )32cos(33 )32cos(1 zyx zyx F F x z z x + + = (2 分) 学 海 无 涯 3计算 D xyd，其中D是由直线2 , 1=xy及xy =所围成的闭区域 解法一：解法一： 原式 = 2 11 d d x xyxy (2 分) x y x xd 2 2 1 1 2 =x xx d ) 22 ( 2 1 3 =
