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1、黑龙江省哈尔滨市双城区兆麟中学2020届高三数学下学期第一次模拟考试试题 理满分：150分 时间：120分钟 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，计60分）1集合则 （ ） 2. 复数的虚部为（ ） 3 已知平面向量与的夹角为，且|1，|2，则|()A2B1C.D2 4. 古希腊数学家阿波罗尼斯在其巨著圆锥曲线论中提出“在同一平面上给出三点，若其中一点到另外两点的距离之比是一个大于零且不等于1的常数，则该点轨迹是一个圆现在，某电信公司要在甲、乙、丙三地搭建三座5G信号塔来构建一个三角形信号覆盖区域，以实现5G商用，已知甲、乙两地相距4公里，丙、甲两地距离是丙、乙两地距离的倍，则这个三角
2、形信号覆盖区域的最大面积(单位:平方公里)是 () A. B. C. D. 5学校为了解学生疫情期间在家学习情况，从甲、乙两个班级各抽取了7名同学某次数学考试成绩，绘制成了如图所示的茎叶图，则这两组数据不同的是 （ ）平均数 方差 中位数 极差6. 三个数70.3，0.37,ln0.3的大小关系是 （ ）A70.30.37ln0.3B70.3ln0.30.37 C0.3770.3ln0.3 Dln0.370.30.377. 设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A. 若，则 B. 若，则C. 若，则 D. 若，则8. 已知直线yk(x1)与抛物线C：y24x交于A，
3、B两点，直线y2k(x2)与抛物线D：y28x交于M，N两点，设|AB|2|MN|，则 ( )A. 16 B. 16 C. 120 D. 129. 将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到的图象若，且，则的最大值为（ ）ABCD10. 已知角，则角=（ ）A. B. C. D. 11已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交C于A、B两点，若，则椭圆C的离心率为 （ ）A. B. C. D. 12. 函数（，是自然对数的底数，）存在唯一的零点，则实数的取值范围为 ( ) A. B. C. D. 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，计20分）13、 随着互联网的发展
4、，网购早已融入人们的日常生活，网购的苹果在运输的过程中容易出现碰伤，假设在运输的过程中每箱苹果出现碰伤的的概率为0.7，每箱苹果在运输中互不影响，则网购2箱苹果恰有一箱苹果出现碰伤的概率_。14. 已知函数是定义在R上的奇函数，其图象关于直线x1对称，当x(0，1时，(其中e是自然对数的底数)若，则实数的值为_。15.设ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知其周长为10，面积为，则c的值为_.16已知直线被抛物线截得的弦长为5，直线经过的焦点，为上的一个动点，设点的坐标为，则的最小值为 。三、解答题 （本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. (
5、12分)如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面底面，为上的点，且平面（1）求证：平面平面；（2）当三棱锥体积最大时，求二面角的余弦值18. (12分)某同学参加学校篮球兴趣小组的投篮比赛，比赛分初赛、复赛和决赛三个阶段，初赛和复赛阶段各投篮3次，投中1球得1分，未投中得0分，连续投中2球再多加1分，连续投中3球再多加3分，规定得分低于2分者淘汰，得分不低于2分且低于6分者进入下一阶段比赛，在初赛阶段得6分者直接进入决赛，已知该同学每次投中的概率为，且各次投篮互不影响。（1） 记该同学在初赛阶段的得分为X，求随机变量X的分布列。（2） 求该同学进入决赛的概率。19.(12分) 设函数的正零
6、点从小到大依次为，构成数列.（1）写出数列的通项公式，并求出数列的前项和；（2）设，求的值. 20. (12分)已知两动圆和（），把它们的公共点的轨迹记为曲线C，若曲线C与y轴的正半轴的交点为M，且曲线C上的相异两点A，B满足：.（1）求曲线C的轨迹方程；（2）证明直线AB恒经过一定点，并求此定点的坐标；（3）求面积S的最大值.21. (12分)已知函数(1) 若曲线在点处的切线方程为，求的值；(2) 若f(x)的导函数存在两个不相等的零点，求实数的取值范围；(3) 当时，是否存在整数，使得关于的不等式恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由(二)选考题：共10分。请考生在第(22)
7、、(23)题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。22. (极坐标与参数方程）在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为(为参数)。以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为。(1)求曲线C的直角方程和直线l的直角坐标方程；(2)若A、B是直线l上的动点，且|AB|2，M(0，1)，求MAB的面积。23.（不等式选讲）已知f(x)|ax1|2x1|。(1)当a1时，求不等式f(x)1恒成立。1、 选择题CBABB ADDCD DA2、 填空题13、 _0.42_ 14_3_ 15、_ 16、_3、 解答题17、解：（1） -3分 -6分（2） -8分当时， -1
8、0分当时， -12分18、解（1）随机变量X的取值为0，1，2，3，6则-1分 2分-3分4分5分6分所以随机变量的分布列为X01236P8分（3） 记”该同学进入决赛”为事件A，“该同学从初赛直接进入决赛”“该同学从复赛进入决赛”分别为事件B,C，因为B,C互斥，且各次投篮互不影响，所以由（1）可知,9分10分所以.11分故该同学进入决赛得概率为。12分19、（1）证明：侧面底面，侧面底面，四边形为正方形，面，面，又面，平面，面，平面，面，面，平面平面（2），求三棱锥体积的最大值，只需求的最大值令，由（1）知，而，当且仅当，即时，的最大值为如图所示，分别取线段，中点，连接，以点为坐标原点，以
9、，和分别作为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系由已知，所以，令为面的一个法向量，则有，易知为面的一个法向量，二面角的平面角为，为锐角则.20、（1）设两动圆的公共点为，则有：由椭圆的定义可知的轨迹为椭圆，所以曲线的方程是：；（2）由题意可知：，设，当的斜率存在时，设直线，联立方程组：，把代入有：， ，因为，所以有，把代入整理：，（有公因式）继续化简得：，或（舍），当的斜率不存在时，易知满足条件的直线为：过定点，综上，直线恒过定点；（3）面积，由第（2）小题的代入，整理得：，因在椭圆内部，所以，可设， ，（时取到最大值）所以面积的最大值为21、解：(1) f(x)ln x(a).因为曲线yf(x)在
10、点(1，f(1)处的切线方程为xy10，所以f(1)a11，解得a0.(2分)(2) 因为f(x)存在两个不相等的零点，所以g(x)ax1ln x存在两个不相等的零点，则g(x)a.当a0时，g(x)0，所以g(x)单调递增，至多有一个零点当a0，g(x)单调递增；当x(，)时，g(x)0，解得e2a0.因为e2ae21.因为g(1)a10，所以g(x)在(0，)上存在一个零点因为e2a.因为g()2)ln()21，设t，则y2ln tt1(te2)因为ye2)单调递减，所以y2ln(e2)e213e20，所以g()2)ln()210，所以g(x)单调递增，且g()ln0，所以存在x0(，1)使得g(x0)0.因为当x(0，x0)时，g(x)0，即f(x)0，即f(x)0，所以f(x)单调递增，所以xx0时，f(x)取得极小值，也是最小值，此时f(x0)(2)ln x0(2)(12x0)(4x0)4.因为x0(，1)，所以f(x0)(1，0)因为f(x)，且为整数，所以1，即的最大值为1.
