机械振动学课件.pdf

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1、硕士研究生学位课程 机械振动学机械振动学 Mechanical Vibrations 机械工程机械工程及自动化学院及自动化学院 2014年 张以都 工学博士 教授 博士生导师 ，82339039 新主楼A座829房间 课程参考书 1.1.机械振动学机械振动学 程耀东编著程耀东编著 浙江大学出版社浙江大学出版社 2.2.振动理论及应用振动理论及应用方同等编著方同等编著 西工大出版社西工大出版社 3.3.振动力学振动力学刘延柱等编著刘延柱等编著 高等教育出版社高等教育出版社 4.4. 5. Theory of Vibration with Applications 5TH Ed. by W. T.

2、 Thomson, Prentice Hall, 1998 前前 言言 一、机械振动的定义一、机械振动的定义： 系统在其平衡位置附近作往复运动，该运动可用位移、速度、系统在其平衡位置附近作往复运动，该运动可用位移、速度、 加速度等物理量随时间的变化来表示。加速度等物理量随时间的变化来表示。 构成系统振动的三要素：构成系统振动的三要素：质量（惯性）、弹性（恢复性）、质量（惯性）、弹性（恢复性）、 阻尼阻尼( (耗散性耗散性) )。 形式多样形式多样 二、机械振动学的研究意义二、机械振动学的研究意义： 1. 1. 避免振动避免振动： （1 1）减振：自行车、汽车、加工颤振等的减振；）减振：自行车、

3、汽车、加工颤振等的减振； （2 2）隔振：建筑基础、重要设备、机床的隔振）隔振：建筑基础、重要设备、机床的隔振 。 2. 2. 利用振动利用振动： （1 1）振动切削；）振动切削； （2 2）振动消除内应力；）振动消除内应力； （3 3）振动破碎；）振动破碎； （4 4）振动筛分；）振动筛分； （5 5）振动压路）振动压路。 刀具的颤振刀具的颤振 “机械振动学机械振动学”是一门以是一门以物理概念物理概念为基础，以为基础，以数学方法数学方法、 数值计算技术数值计算技术和和测试技术测试技术为工具，以解决工程中振动问题为工具，以解决工程中振动问题 为主要目标的为主要目标的力学分支力学分支。 三、机械

4、振动学的学科性质三、机械振动学的学科性质： 工程问题 抽象为力 学模型 数学模型 求解数学 问题 获得工程 问题解 振动问题的一般解决流程 振动实验与测试 1. 1. 已知载荷和结构参数，求结构的响应问题，即响应预估问题。已知载荷和结构参数，求结构的响应问题，即响应预估问题。 2. 2. 已知载荷和结构响应，求结构参数或数学模型问题，即参数已知载荷和结构响应，求结构参数或数学模型问题，即参数 辨识或系统辨识问题。辨识或系统辨识问题。 3. 3. 已知结构参数和响应求载荷问题，即载荷辨识问题。已知结构参数和响应求载荷问题，即载荷辨识问题。 四、机械振动学主要研究的三类问题：四、机械振动学主要研究

5、的三类问题： （根据模型参数的已知情况进行分类）（根据模型参数的已知情况进行分类） 1-1 简谐振动的表示方法简谐振动的表示方法 Simple harmonic motion (SHM) 1.1 三角函数表示法三角函数表示法 第一章第一章 机械振动的一般概念机械振动的一般概念 f T 12 2 f 式中：x某时刻的位移 A最大振幅 n 角频率（圆频率） 相位 周期T：当经过时间T后，运动重复前一时间间隔的运动过程。周期T与频率f 的关系为： tAx n sin ) 2 sin(cos tAtAxv )sin(sin 22 tAtAxa 速 度： 加速度： tAxsin 位 移： p A 2 a

6、 A v y x A 1.2 矢量表示法矢量表示法 设有模为A 的矢量，其以均匀角速度 逆时针转动。 在x，y轴上的投影为： 因此： tAy tAx sin cos 若令矢量的模A为振动的振幅，则矢量在x，y轴上的投影均可表示 简谐振动。 为了与复数表示法一致，规定以水平投影表示简谐振动。 y x A z=a+ib z=Ae it t 虚轴 实轴 设有复数 z=a+ib，其在复平面上为一个点z。 旋转复矢量为： ti AetsiniAtcosAz )AeRe(zRetcosAx ti )t( iti )t( i ti AeAex AeAeix 22 2 用其在实轴上的投影表示简谐振动： 1.3

7、 复数表示法复数表示法 1 1- -2 2 简谐振动的合成简谐振动的合成 2.1 2.1 同方向、同频率振动的合成同方向、同频率振动的合成 )tsin(Ax )tsin(Ax )tsin(Ax kkk 222 111 )tsin(Ax 其中： k n nn k n nn k n nn k n nn cosA sinA arctg )sinA()cosA(A 1 1 2 1 2 1 051015202530 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 1=2 051015202530 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 1=2+/2 051015202530 -1 -0.8

8、-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1=2+ 1=2 1=2+/2 1=2+ 2.2 同方向、不同频率振动的合成同方向、不同频率振动的合成 )tsin(Ax )tsin(Ax 2222 1111 )t (tsin)t (Ax 11 其中： )(t )cos(AA )(t )sin(A )t (tg )(t )cos(AAAA)t (A 121221 12122 121221 2 2 2 1 2 2.3 2.3 不同方向（垂直）、不同频率振动的合成不同方向（垂直）、不同频率振动的合成 )tsin(By )tsin(Ax 22 11 )(sin)cos( AB x

9、y B y A x 12 2 12 22 2 结论：结论：合成振动与两个的振动频率和相位有关， 合成的图形称为“李萨如”图形。 特例：当 1=2时，上述方程是一椭圆方程。 第二章第二章 单自由度系统的振动单自由度系统的振动 n i i Fxmma 1 )t (Fkxxcxm 0kxxcxm 0 kxx m 单自由度系统的振动模型单自由度系统的振动模型 运动微分方程的建立： 由牛顿第二定律： 离散振动系统离散振动系统的三要素的三要素： 1. 质量；质量；2. 弹簧；弹簧；3. 阻尼。阻尼。 k c m x F(t) kxxc)t (Fxm 2-1 自由振动自由振动 一、无阻尼自由振动一、无阻尼自

10、由振动 c=0, F(t)=0 0 2 xx n m k n 2 2 02 0 n v xA n v x arctg 0 0 0 kxx m 令 则 设方程的解为： tAx n sin t Ae)t(x t Ae)t(x 2 代入微分方程，得： 则 0 22 t n Ae)( 0 22 n 和特征方程 n n , j j 21 共轭虚根： 二阶常系数线性齐次方程 根据欧拉公式 sincosie i 因此方程的解为： 其中： 0kxxcxm 0 x m k x m c x 02 2 xxx n 二、有阻尼自由振动二、有阻尼自由振动 F(t)=0 （二阶常系数线性齐次微分方程） 为计算方便，令 m

11、 c 2 t Ae)t ( x t Ae)t(x 2 02 22 n 设方程的解为： t Ae)t(x 代入微分方程，得特征方程： 22 n 特征方程的解为： 2-2 简谐激励作用下的受迫振动简谐激励作用下的受迫振动 （强迫振动） )tsin(h)tsin( m F xxx )tsin(F)t (Fkxxcxm n 0 2 0 2 设对应齐次方程的通解和特解分别为： )cos()sin( )sincos( 212 211 tBtBx tCtCex dd t 将x2代入微分方程，利用比较系数法，得 )sin( 2 tBx 22 2 22 4 n h B 22 2 n arctg 其中： 二阶常系

12、数线性非齐次微分方程 一、简谐激励引起的受迫振动的响应一、简谐激励引起的受迫振动的响应 简谐激励受迫振动微分方程的全解（系统全响应）：简谐激励受迫振动微分方程的全解（系统全响应）： )sin()sincos( 2121 tBtCtCexxx dd t 根据初始条件确定常数C1和C2，令 00 )0(,)0(, 0vxxxt )sin( sin )sin()cos( cos)sin( )sincos( 00 0 tB ttBe t vx txex d d d t d d d t 二、二、 受迫振动的振幅分析受迫振动的振幅分析 22 2 22 4 n h B 22 00 nn st h m F k

13、 F n n st st dB 22 2 2 41 则受迫振动的振幅 其中 d 为动力系数（放大系数） 22 2 2 41 1 st B d 引入静变形、频率比和阻尼比: 三、基础运动引起的受迫振动三、基础运动引起的受迫振动 m k c taxssin 模型简化模型简化 )tsin(F tsinkatcosac kxxckxxcxm ss 0 )xx(k)xx(cxm ss n i i Fxmma 1 为了简化问题，设基础以 xs=a sint 的规律运动。 根据牛顿第二定律建立微分方程： m k c taxssin 四、旋转不平衡质量运动引起的受迫振动四、旋转不平衡质量运动引起的受迫振动 k

14、 c M x m t t 设总质量为M、弹簧刚度为k、阻尼系数为c、不 平衡质量为m、偏心距为e、旋转角速度为。 2 2 2 mr r r m r v mF n i i FxMMa 1 tsinF tsinemkxxcxM 0 2 kxxctsinemxM 2 其中： 2 0 emF 方程的解与前述结果相同，其稳态响应为： )sin(tBx 22 2 2 2 41 k me B 式中： 2 1 2 arctg 根据第二定律建立牛顿微分方程， k c M x m t t 2-3 复数法求解简谐激励下系统的稳态响应及传递函数复数法求解简谐激励下系统的稳态响应及传递函数 )cos()( 0 tAtx )( 00 Re)cos()( tj eFtFtF )( 0 Re)cos()( tj eAtAtx sincosje j 其中复振幅 j eAA 0 相应的力表达式和解的形式为： 根据欧拉公式： 设其解的形式为： 对于振动微分方程： 一、简谐激励和响应的复数表示一、简谐激励和响应的复数表示 )tcos(Fkxxcxm 0 二、二、