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1、【步步高】（江苏专用）2017版高考数学 专题8 立体几何与空间向量 63 立体几何的综合应用 理训练目标对平行、垂直的证明及空间角的求解强化训练，提高综合分析论证能力，培养较强的空间想象能力.训练题型(1)线、面平行与垂直的证明；(2)平行、垂直关系的应用；(3)探索性问题；(4)求空间角.解题策略(1)证明平行问题都离不开“线线平行”，找准“线”是关键；(2)证明垂直问题关键是找“线线垂直”，利用已知条件及所给图形找到要证明的线是解题突破口；(3)空间角问题一般可考虑向量法.1(2015南京二模)如图，在四棱锥PABCD中，ADCDAB，ABCD，ADCD，PC平面ABCD.(1)求证：B
2、C平面PAC；(2)若M为线段PA的中点，且过C，D，M三点的平面与PB交于点N，求PN：PB的值2(2015潍坊模拟)如图，边长为的正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，ABCD，ABBC，DCBCAB1.点M在线段EC上(1)证明：平面BDM平面ADEF；(2)判断点M的位置，使得三棱锥BCDM的体积为.3(2015青岛检测)如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱AA1底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，ADBC，BAD90，ADAA13，BC1，E1为A1B1的中点(1)证明：B1D平面AD1E1；(2)若ACBD，求平面ACD1和平面CDD1C1所成角(锐角)的余弦
3、值4.在圆柱OO1中，ABCD是其轴截面，EFCD于O1(如图所示)，AB2，BC.(1)设平面BEF与圆O所在平面的交线为l，平面ABE与圆O1所在平面的交线为m，证明：lm；(2)求二面角ABEF的余弦值5已知ABC为等腰直角三角形，ACBC4，ACB90，D，E分别是边AC和AB的中点，现将ADE沿DE折起，使平面ADE平面 DEBC，H，F分别是边AD和BE的中点，平面BCH与AE，AF分别交于I，G两点(1)求证：IHBC；(2)求二面角AGIC的余弦值；(3)求AG的长答案解析1(1)证明连结AC.不妨设AD1，因为ADCDAB，所以CD1，AB2.因为ADC90，所以AC，CAB
4、45.在ABC中，由余弦定理得BC，所以AC2BC2AB2.所以BCAC.因为PC平面ABCD，BC平面ABCD，所以BCPC.又PC平面PAC，AC平面PAC，PCACC，所以BC平面PAC.(2)解如图，因为ABCD，CD平面CDMN，AB平面CDMN，所以AB平面CDMN.因为AB平面PAB，平面PAB平面CDMNMN，所以ABMN.在PAB中，因为M为PA的中点，所以N为PB的中点，即PNPB的值为.2(1)证明DCBC1，DCBC，BD，又AD，AB2，AD2BD2AB2，ADB90，ADBD.又平面ADEF平面ABCD，EDAD，平面ADEF平面ABCDAD，ED平面ADEF，ED
5、平面ABCD，BD平面ABCD，BDED，又ADDED，BD平面ADEF，又BD平面BDM，平面BDM平面ADEF.(2)解如图，点M在平面DMC内，过M作MNDC，垂足为N，则MNED，又ED平面ABCD，MN平面ABCD.又V三棱锥BCDMV三棱锥MBCDMNSBDC，11MN，MN，又，CMCE.点M在线段CE的三等分点且靠近C处3(1)证明如图，连结A1D交AD1于点G，连结E1G，因为ABCDA1B1C1D1为四棱柱，所以四边形ADD1A1为平行四边形，所以G为A1D的中点又E1为A1B1的中点，所以E1G为A1B1D的中位线，从而B1DE1G，又B1D平面AD1E1，E1G平面AD
6、1E1，所以B1D平面AD1E1.(2)解因为AA1底面ABCD，AB平面ABCD，AD平面ABCD，所以AA1AB，AA1AD，又BAD90，所以AB，AD，AA1两两垂直如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系设ABt，则A(0,0,0)，B(t，0,0)，C(t,1,0)，D(0,3,0)，C1(t,1,3)，D1(0,3,3)，从而(t,1,0)，(t,3,0)因为ACBD，所以t2300，解得t.设n1(x1，y1，z1)是平面ACD1的一个法向量，又(0,3,3)，(，1,0)，则即令x11，则y1，z1，故n1(1，)是平面AC
7、D1的一个法向量设n2(x2，y2，z2)是平面CDD1C1的一个法向量，又(0,0,3)，(，2,0)，则即令x21，则y2，故n2(1，0)是平面CDD1C1的一个法向量所以|cosn1，n2|.故平面ACD1和平面CDD1C1所成角(锐角)的余弦值为.4(1)证明由于圆柱的两底面互相平行，所以AB圆O1所在平面，EF圆O所在平面所以lEF，mAB.又EFCD，即EFAB，所以lm.(2)解分别以EF在圆O所在平面内的射影、AB、OO1为坐标轴，建立空间直角坐标系(如图所示)，则A(0，1,0)，B(0,1,0)，E(1,0，)，F(1,0，)(0,2,0)，(1,1，)，(1，1，)，(
8、1，1，)，设平面ABE的一个法向量为n1(x，y，z)，则由n10，n10得取z1，得n1(，0,1)同理可得平面BEF的一个法向量为n2(0，1)所以cosn1，n2，所以二面角ABEF的余弦值为.5(1)证明因为D，E分别是边AC和AB的中点，所以EDBC.因为BC平面BCH，ED平面BCH，所以ED平面BCH，因为ED平面ADE，平面BCH平面ADEHI，所以EDHI.又因为EDBC，所以IHBC.(2)如图，建立空间直角坐标系，由题意得，D(0,0,0)，E(2,0,0)，A(0,0,2)，F(3,1,0)，C(0,2,0)，H(0，0,1)，B(4,2,0)，(2,0,2)，(1,1,0)，(0，2,1)，(1,0,0)设平面AGI的一个法向量为n1(x1，y1，z1)，则令z11，解得x11，y11，则n1(1，1,1)，设平面CIG的一个法向量为n2(x2，y2，z2)，则令z22，解得y21，则n2(0,1,2)，所以cosn1，n2，所以二面角AGIC的余弦值为.(3)由(2)知，(3,1，2)，设(3，2)，01，则(0,0，1)(3，2)(3，21)，由n20，解得，故AGAF.8
