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1、（重点班）2017届高三数学一轮复习第四篇三角函数、解三角形第6节正弦定理和余弦定理及其应用课时训练理第6节正弦定理和余弦定理及其应用 【选题明细表】知识点、方法题号用正、余弦定理解三角形1,6,8,10与面积相关的问题4,11,13判断三角形的形状2,5,7实际问题与综合问题3,9,12,14,15,16基础对点练(时间:30分钟)1.(2015石景山区模拟)设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a=4,b=43,A=30,则B等于(B)(A)60(B)60或120(C)30(D)30或150解析:因为a=4,b=43,A=30,由正弦定理asinA=bsinBsin B=bsi
2、nAa=32,因为B是三角形的内角,且ba,所以B=60或120.2.(2015长沙二模)ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,则“a=2bcos C”是“ABC是等腰三角形”的(A)(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件解析:法一a=2bcos Csin A=2sin Bcos Csin(B+C)=2sin Bcos Csin Bcos C-cos Bsin C=0sin(B-C)=0,因为-B-C,所以B-C=0,所以B=C;反之,若A=BC,即a=bc,则由a=2bcos C,可得cos C=,即C=,与A=BC矛盾.所以“a=2bc
3、os C”是“ABC是等腰三角形”的充分不必要条件.法二由余弦定理,a=2bcos Ca=2ba2+b2-c22abb=c;反之,同方法一.3.张华同学骑电动自行车以24 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶,在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30方向上,15 min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75方向上,则电动车在点B时与电视塔S的距离是(B)(A)22 km(B)32 km(C)33 km(D)23 km解析:画出示意图如图,由条件知AB=241560=6.在ABS中,BAS=30,AB=6,ABS=180-75=105,所以ASB=45,由正弦定理知BSsin30=ABsin4
4、5,所以BS=ABsin30sin45=32.故选B.4.在ABC中,A=60,AB=2,且ABC的面积为32,则BC的长为(B)(A)32 (B)3 (C)23 (D)2解析:S=ABACsin 60=232AC=32,所以AC=1,所以BC2=AB2+AC2-2ABACcos 60=3,所以BC=3.5.设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,且sin2B=sin2C,则ABC的形状为(D)(A)等腰三角形(B)锐角三角形(C)直角三角形(D)等腰直角三角形解析:因为bcos C+ccos B=asin A,所以由正弦定理得sin Bc
5、os C+sin Ccos B=sin2A,所以sin(B+C)=sin2A,sin A=sin2A,sin A=1,即A=.又因为sin2B=sin2C,所以由正弦定理得b2=c2,即b=c,故ABC为等腰直角三角形.6.(2016合肥质检)设ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.若b+c=2a,3sin A=5sin B,则角C等于(B)(A)(B)23(C)34(D)56解析:因为3sin A=5sin B,所以由正弦定理可得3a=5b,所以a=b.因为b+c=2a,所以c=b,所以cos C=a2+b2-c22ab=-.因为C(0,),所以C=23.7.设ABC的三个内角A
6、,B,C成等差数列,且(BA+BC)AC=0,则ABC的形状是 .解析:由题得2B=A+C,3B=得B=,设AC中点D,则(BA+BC)AC=2BDAC=0,即BDAC得a=c.所以ABC为等腰三角形,又因为B=,所以ABC为等边三角形.答案:等边三角形8.在锐角ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若+=6cos C,则tanCtanA+tanCtanB的值是.解析:由+=6cos C及余弦定理得a2+b2ab=6a2+b2-c22ab,所以a2+b2=c2.所以tanCtanA+tanCtanB=sinCcosC(cosAsinA+cosBsinB)=sinCcosCsinCsin
7、AsinB=c2aba2+b2-c22ab=2c2a2+b2-c2=2c232c2-c2=4.答案:49.(2016河北质检)在ABC中,tan A+B2=2sin C,若AB=1,则AC+BC的最大值为.解析:因为tan A+B2=2sin C,所以sin A+B2cos A+B2=2sin C2sin A+B2cos A+B22(cos A+B2)2=2sin Csin(A+B)1+cos(A+B)=2sin C,因为A+B+C=,所以A+B=-C,所以sin(A+B)=sin C,cos(A+B)=-cos C,所以sinC1-cosC=2sin C,因为0C,所以sin C0,所以co
8、s C=,所以C=.因为BCsinA=ACsinB=ABsinC=233,所以AC+BC=33sin B+233sin A=33sin(-A)+233sin A=33(32cos A+sin A+2sin A)=213sin(A+),其中0且tan =35,所以当sin(A+)=1时,AC+BC取得最大值,为213.答案:21310.(2015黑龙江四校联考)ABC的三个内角A,B,C对应的三条边长分别是a,b,c,且满足csin A+3acos C=0.(1)求C的值;(2)若cos A=,c=53,求sin B和b的值.解:(1)因为csin A+3acos C=0,由正弦定理得2Rsin
9、 Csin A+2R3sin Acos C=0,由sin A0,所以tan C=-3,又C(0,),所以C=23.(2)由cos A=,A(0,),得sin A=1-cos2A=,sin B=sin(-A-C)=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=(-)+32=33-410.由bsinB=csinC,得b=csinBsinC=33-4.11.(2015高考陕西卷)ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(a,3b)与n=(cos A,sin B)平行.(1)求A;(2)若a=7,b=2,求ABC的面积.解:(1)因为mn,所以asin B-3bcos
10、A=0,由正弦定理得sin Asin B-3sin Bcos A=0,又sin B0,从而tan A=3,由于0A0,所以c=3.故ABC的面积为bcsin A=332.法二由正弦定理得7sin 3=2sinB,从而sin B=217,又由ab知AB,所以cos B=277.故sin C=sin(A+B)=sin(B+)=sin Bcos +cos Bsin =32114.所以ABC的面积为absin C=332.能力提升练(时间:15分钟)12.(2015济南模拟)在200米高的山顶上,测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别为30,60,则塔高为(C)(A)2003 m(B)20033 m(C)
11、4003 m(D)40033 m解析:如图,设AB表示山高,CD表示塔高,则DBC=60-30=30,ABC=90-60=30,连接AC,在RtBAC中,cosABC=ABBC,所以BC=ABcosABC=200cos30=4003,在BDC中,DBC=30,DCB=90-60=30,所以BDC=180-DBC-DCB=120,由正弦定理得,BCsinBDC=DCsinDBC,故DC=4003sin30sin120=4003.13.(2016南宁调研)设ABC的内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且sin 2A+sin 2B+sin 2C=,ABC的面积S1,2,则下列不等式一定成立的是
12、(B)(A)ab(a+b)162(B)bc(b+c)8(C)6abc12(D)12abc24解析:依题意得sin(A+B)+(A-B)+sin(A+B)-(A-B)+sin 2C=,展开并整理得2sin(A+B)cos(A-B)+2sin Ccos C=,又sin(A+B)=sin C,cos C=-cos(A+B),所以2sin Ccos(A-B)+2sin Ccos C=2sin Ccos(A-B)-cos(A+B)=,所以4sin Asin Bsin C=,sin Asin Bsin C=,又S=absin C=bcsin A=casin B,因此S3=a2b2c2sin Asin Bs
13、in C=164a2b2c2.由1S2得1164a2b2c223,即8abc162,因此选项C,D不一定成立.因为b+ca0,所以bc(b+c)bca8,即有bc(b+c)8,所以选项B一定成立.因为a+bc0,所以ab(a+b)abc8,即有ab(a+b)8,所以选项A不一定成立.故选B.14.(2014高考江苏卷)若ABC的内角满足sin A+2sin B=2sin C,则cos C的最小值是.解析:由正弦定理可得a+2b=2c,又cos C=a2+b2-c22ab=a2+b2-14(a+2b)22ab=3a2+2b2-22ab8ab26ab-22ab8ab=6-24,当且仅当3a=2b时
14、取等号,所以cos C的最小值是6-24.答案:6-2415.某炮兵阵地位于地面A处,两观察所分别位于地面C和D处,已知CD=6 km,ACD=45,ADC=75,目标出现于地面B处时,测量得BCD=30,BDC=15,如图,求炮兵阵地到目标的距离. 解:在ACD中,CAD=180-ACD-ADC=60,CD=6,ACD=45,根据正弦定理有AD=CDsin45sin60=23CD.同理,在BCD中,CBD=180-BCD-BDC=135,CD=6,BCD=30,根据正弦定理得BD=CDsin30sin135=22CD.又在ABD中,ADB=ADC+BDC=90,根据勾股定理有AB=AD2+BD2=23+12CD=426CD=42(km).所以炮兵阵地到目标的距离为42
