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1、第X期 王青: 草原生态平衡的建模分析3 草原生态平衡的建模分析王X（西安电子科技大学 电子工程学院，陕西 西安 710071）摘要: 本文研究了草原生态系统中黄羊，狼群和草场之间的制约与促进的关系.文章首先把草原生态系统看作是一个离散型动力系统，并将其因素简化为黄羊，狼群和草场.再运用Logistic 模型和Volterra 模型对该动力系统进行建模，分析其三个因素之间的具体关系，进而对草原生态系统的平衡进行评价和预测.关键词: 动力系统；Logistic模型；Volterra 模型Modeling and analysis of grassland ecosystemQING Wang（S
2、chool of Electronic Engineering, Xidian Univ., Xian 710071, China;）Abstract: This paper studies the relationship and advance grassland ecosystems Mongolian gazelle, wolves and pasture between article first prairie ecosystem as a discrete dynamical systems, and simplify their factors Mongolian gazell
3、e, wolves and pasture Logistic model and then use the power system Volterra model to model, analyze the specific relationship between the three factors, and thus balance the prairie ecosystem evaluation and forecasting.Key words: Power systems; Logistic model; Volterra model高原草原生态环境中主要生活着黄羊群和狼群.黄羊的过
4、度繁殖会引起草原退化和狼群数量增加，狼群的增多又会导致黄羊群数量减少.草原，黄羊群，狼群这三者之间有着相互制约又相互促进的关系.试建立草原上“草场黄羊狼群”的生态模型，并给出保持生态平衡的建议.1 问题假设1.1草场的基本假设a.草场总面积为1000 平方公里.b.每平方公里的草场在供养50 只以下的黄羊时，草场不退化.当黄羊数量超过每平方公里50 只时，草场衰减，衰减率与黄羊超过50 只的数量成正比，比例系数为0.0001.1.2黄羊种群基本假设a.当前黄羊种群数量为60000 只.b.草场充足，没有狼群的情况下，黄羊净增长率为0.1.c.草场不充足会导致黄羊种群的繁殖率下降，下降率与每平方
5、公里平均黄羊数量减50 只成正比，比例系数为0.001.d.狼群会减少黄羊的数量.1.3狼群的基本假定a.当前狼群总量为100 只.b.黄羊总群数量与狼群数量之比超过300/1 时，狼群的净增长率为0.01.低于300/1 时，狼群的繁殖率下降，下降率与狼群总量与黄羊总量的比值成比例，比例系数为0.5.c.每只狼平均每年吃掉20 只黄羊.2 符号说明n 年份.S(n) 第n 年草场的总面积.X(n) 第n 年黄羊的种群数量.Y(n) 第n 年狼群的种群数量.r 草场面积减少率与每平方公里平均黄羊数量减50 只的数量的比例系数.m 草场充足，没有狼群的情况下，黄羊净增长率.t 黄羊总群数量与狼群
6、数量之比超过300/1 时，狼群的净增长率.a 每只狼平均每年吃掉的黄羊数.3 问题分析与建模第一步：按照对草场的基本假设，易知当 xnsn50 时，有sn+1=sn;当xnsn50时,sn+1=sn*1-rxnsn-50;第二步：按照对黄羊种群的假设，利用Logistic 模型和Volterra 模型，可以得出黄羊数量的状态方程为:当xnsn50 时，有xn+1=1+m*xn-a*Yn当xnsn50 时，有xn+1=xn*1-0.001*xnsn-50其中，Logistic 模型刻画了草场的退化对黄羊数量增长率的影响，0.001*xnsn-50就是Logistic 模型的一项.而a*Yn则刻
7、画了狼群对黄羊数量增长的影响.第三步：按照对狼群的假设，利用Logistic 模型和Volterra模型，可以得出狼群的状态方程为:当Ynxn1300 时，Yn+1=1+t*Yn ,在食物充足时，狼群将呈一次函数的形式增长.当Ynxn1300 时，Yn+1=1-0.5*xnYn*Yn ,其中，0.5*xnYn是食物对狼群增长率的影响.到此，得到了描述“草原黄羊狼群”生态系统模型的完整数学表达式.用Matlab 画出各个量之间的关系图形.Matlab 编程如下：clc;clear;s(1)=1000;x(1)=60000;y(1)=100;i=1;k=200;t=1:1:k;while ikx1
8、=x(i);x2=y(i);x0=s(i);if x1/x0=300y(i+1)=(1+0.01)*x2;elsey(i+1)=(1-0.5*x2/x1)*x2;endi=i+1;endfigure(1);plot(x,y,b);grid on;title(羊和狼的数量变化);xlabel(羊的数量/只);ylabel(狼的数量/只);axis(40000 70000 100 175);figure(2);plot(t,x,b);grid on;title(羊的数量变化);xlabel(时间/年);ylabel(羊的数量/只);axis(0 200 0 60000);figure(3);plo
9、t(t,y,b);grid on;title(狼的数量变化);xlabel(时间/年);ylabel(狼的数量/只);figure(4);第X期 王青: 草原生态平衡的建模分析 7 plot(t,s,b);grid on;title(草场的数量变化);xlabel(时间/年);ylabel(草场的数量/平方公里);figure(5);plot(s,x);grid on;title(草原和羊的关系);xlabel(草原的数量/平方公里);ylabel(羊的数量/只);figure(6)plot(s,y);grid on;title(草原和狼的关系);xlabel(草原的数量/平方公里);ylab
10、el(狼的数量/只);4 模型分析4.1 由程序得到的图形如下图（1） 图（2） 图（3） 图（4） 图（5）由图（1）可以看出，在大约前8 年的时间里，黄羊数量较快下降，具体原因可以有图（3）看出，在大约前8 年里，草原退化较快.在n=8 时，黄羊数量达到稳定，X(8)在5 万左右波动，而且一直持续到n=200 年.由图（2）可以看出，在大约n=57 年之前，狼群数量快速增长，随后就和羊群一样，保持数量稳定，一直在Y(n)=169左右变化.由图（3）可以看出，草原一直在退化.4.2 假设分析1.假如羊遭到捕杀，数量急降至X(0)=10000 则得到如下图形 从图中可以看出：(1)羊的种群数量
11、下降至10000 后，羊群在10 年之内就灭.这说明该生态系统对养的恢复能力较差.(2)草原不会受到羊群的消耗，没有退化，但也没有增长.这说明该生态系统草原的生命力并不强.(3)狼群在羊群消亡的前10 年内，由于食物受限，其数量急降，但很快又恢复到大约98 只.这说明该生态系统对狼的恢复能力较强.2.若狼遭到捕杀，假设Y(0)=40，得到如下图形 由上图可见，狼群的减少，对羊群和草场基本无影响.而狼群自身也能很快恢复原来的数量水平.可见，该生态系统对狼群的稳定性和恢复能力很强.3.若草原遭到人为破坏，设S(0)=300,则得到以下图形 从上图可见，草原严重退化给该生态系统带来的破坏非常之大.羊
12、群很快灭绝，狼群数量急剧下降，无法回复至原来的水平，而草原自身也是无法恢复到原来的水平的.5 关于保护该生态系统平衡的建议该生态系统在狼种群遭到破坏时，尚有较强的抵抗力和恢复力.但在黄羊种群和草原受到破坏时，抵抗力和恢复力较差.尤其是在草场受到破坏时，情况尤为严重.因此，该生态系统总体而言，是一个较为脆弱的生态系统，应该注重保护，尤其是不能滥捕杀黄羊，不能滥开垦田地，对草场造成破坏.6 模型的评价及修改该模型利用了Logistic 模型和Volterra 模型这两种成熟的数学模型，较为全面客观地刻画了该生态系统的内在规律.但是该模型只考虑了草原的退化，而没有考虑草原的进化.因此,在对草场进行基本假设时，应该将b 假设中的第一条改为：“每平方公里在供养50 只以下黄羊的情况下，草场不退化，其青草的生长率为”.这样，就更全面客观了.参考资料：1姜启源，谢金星，叶俊.数学模型(第四版)M.北京：高等教育出版社，2011：222-227，230-236.2水鹏郎.数学建模基础Z.20123楼顺天，姚若玉，沈俊霞.Matlab7.x 程序设计语言M.西安：西安电子科技大学出版社，2007：86-87,125.
