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1、（普通班）2017届高三数学一轮复习第十四篇不等式选讲第2节证明不等式的基本方法基础对点练理第2节证明不等式的基本方法【选题明细表】知识点、方法题号比较法证明不等式1综合法证明不等式3分析法证明不等式2分析综合法证明不等式41.设ab0,求证:a2-b2a2+b2a-ba+b.证明:法一a2-b2a2+b2-a-ba+b=a3-b3-ab2+a2b-a3+b3+a2b-ab2(a2+b2)(a+b)=2a2b-2ab2(a2+b2)(a+b)=2ab(a-b)(a2+b2)(a+b),因为ab0,所以a-b0,ab0,a2+b20,a+b0.所以a2-b2a2+b2-a-ba+b0,所以a2-
2、b2a2+b2a-ba+b.法二因为ab0,所以a+b0, a-b0.所以a2-b2a2+b2a-ba+b=a2-b2a2+b2a+ba-b=(a+b)2a2+b2=a2+b2+2aba2+b2=1+2aba2+b21.所以a2-b2a2+b2a-ba+b.2.设x1,y1,求证x+y+1xy+xy.证明:由于x1,y1,要证x+y+1xy+xy,只需证xy(x+y)+1y+x+(xy)2.因为y+x+(xy)2-xy(x+y)+1=(xy)2-1-xy(x+y)-(x+y)=(xy+1)(xy-1)-(x+y)(xy-1)=(xy-1)(xy-x-y+1)=(xy-1)(x-1)(y-1),
3、由条件x1,y1,所以(xy-1)(x-1)(y-1)0,从而所要证明的不等式成立.3.(2015高考湖南卷)设a0,b0,且a+b=+.证明:(1)a+b2;(2)a2+a2与b2+b0,b0,得ab=1.(1)由基本不等式及ab=1,有a+b2ab=2,即a+b2.(2)假设a2+a2与b2+b2同时成立,则由a2+a0得0a1;同理,0b1,从而ab1,这与ab=1矛盾.故a2+a2与b2+b0,b0,c0,求证:ab+c+ba+c+ca+b.证明:要证ab+c+ba+c+ca+b,只需证ab+c+1+ba+c+1+ca+b+1,只需证a+b+cb+c+a+b+ca+c+a+b+ca+b,只需证(a+b+c) (1b+c+1a+c+1a+b).因为(a+b+c) (1b+c+1a+c+1a+b)= (b+c)+(a+c)+(a+b)(1b+c+1a+c+1a+b)33(b+c)(a+c)(a+b)331(b+c)(a+c)(a+b)=,当且仅当a=b=c时“=”成立,故原不等式成立.3 / 3
