《（普通班）高三数学一轮复习第八篇立体几何与空间向量第7节立体几何中的向量方法第一课时证明平行和垂直基础对点练理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（普通班）高三数学一轮复习第八篇立体几何与空间向量第7节立体几何中的向量方法第一课时证明平行和垂直基础对点练理（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、（普通班）2017届高三数学一轮复习第八篇立体几何与空间向量第7节立体几何中的向量方法第一课时证明平行和垂直基础对点练理第7节立体几何中的向量方法第一课时证明平行和垂直【选题明细表】知识点、方法题号利用向量解决平行问题1,2利用向量解决垂直问题3,41.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2,E, F分别是BB1,DD1的中点.求证:FC1平面ADE.证明: 如图所示,建立空间直角坐标系Dxyz,则有D(0,0,0),A(2,0, 0),C(0,2,0),C1(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1).FC1=(0,2,1),DA=(2,0,0),AE=(0,2,1).设n=(x
2、,y,z)是平面ADE的一个法向量,则nDA,nAE,即nDA=2x=0,nAE=2y+z=0,解得x=0,z=-2y,令z=2,则y=-1.所以n=(0,-1,2).因为FC1n=-2+2=0.所以FC1n.因为FC1平面ADE,所以FC1平面ADE.2.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,E,F,G分别为AB,AD,AA1的中点,求证:平面EFG平面B1CD1.证明: 建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1, 0),D(0,0,0),A1(1,0,1),B1(1,1,1),D1(0,0,1).得E(1,0),F(,0,0),G(1,
3、0,),EF=(-,-,0),EG=(0,-,).设n1=(x1,y1,z1)为平面EFG的法向量,设n2=(x2,y2,z2)为平面B1CD1的法向量.则n1EF=0,n1EG=0,即-12x1-12y1=0,-12y1+12z1=0.令x1=1,可得y1=-1,z1=-1,同理可得x2=1,y2=-1,z2=-1.即n1=(1,-1,-1),n2=(1,-1,-1).由n1=n2,得平面EFG平面B1CD1.3. 如图所示,正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1的中点.求证:AB1平面A1BD.证明: 如图所示,取BC的中点O,连接AO.因为ABC为正三角形,所以AOBC.
4、因为在正三棱柱ABCA1B1C1中,平面ABC平面BCC1B1,所以AO平面BCC1B1.取B1C1的中点O1,以O为原点,以OB,OO1,OA为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,则B(1,0,0),D(-1,1,0),A1(0,2,3),A(0,0,3),B1(1,2,0).BA1= (-1,2,3),BD=(-2,1,0).设平面A1BD的法向量为n=(x,y, z),则nBA1,nBD,故nBA1=0,nBD=0-x+2y+3z=0,-2x+y=0.令x=1,得y=2,z=-3,故n=(1,2,-3)为平面A1BD的一个法向量,而AB1=(1,2,-3),所以AB1n,即AB1
5、平面A1BD.4.(2016安阳模拟)在四棱锥PABCD中,底面ABCD为正方形,PD平面ABCD,E,F分别为棱AD,PB的中点,且PD=AD.求证:平面CEF平面PBC.证明: 建立如图所示的空间直角坐标系,设A(1,0,0),则P(0,0,1),C(0,1,0),B(1,1,0),E(,0,0),F(,),设平面CEF的一个法向量为n1=(x,y,z).则n1EF=0,n1EC=0,得12y+12z=0,-12x+y=0,取x=1,则n1=(1,-),同理,求得平面PBC的一个法向量为n2=(0,).因为n1n2=10+-=0,所以n1n2.所以平面CEF平面PBC.【教师备用】 (20
6、16四平模拟)如图,在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F,G分别为A1B1,B1C1,C1D1的中点.(1)求证:AG平面BEF;(2)试在棱BB1上找一点M,使DM平面BEF,并证明你的结论.(1)证明:以D为坐标原点,DA,DC, DD1所在直线分别为x轴,y轴和z轴建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(1,1,0),E(1,1),F(,1,1),G(0, ,1),EF=(-,0),BF= (-,0,1),而AG=(-1,1),所以AG=EF+BF,故AG与平面BEF共面,又因为AG不在平面BEF内,所以AG平面BEF.(2)解:设M(1,1,m),则DM=(1,1,m),由DMEF=0,DMBF=0,所以-+m=0m=,所以M为棱BB1的中点时,DM平面BEF.4 / 4
