《微积分c 第一节 数列极限》由会员分享，可在线阅读，更多相关《微积分c 第一节 数列极限（32页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二章 极限与连续,2.1. 数列极限 2.2. 函数极限 2.3. 函数极限的性质及运算法则 2.4. 无穷大量与无穷小量 2.5. 函数的连续性 2.6. 闭区间上连续函数的性质,2.1 数列极限,一、数列极限的概念 二、数列极限的运算 三、数列极限的性质 四、数列极限的存在性,一、数列极限的概念,如果按照某一法则, 对每一nN, 对应着一个确定的实数xn, 则得到一个序列 x1, x2, x3, , xn , , 这一序列叫做数列, 记为xn, 其中第n项xn叫做数列的一般项.,数列举例:,2, 4, 8, , 2n , ;,1, -1, 1, , (-1)n+1, .,1、数列,注意：
2、,数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取,一、数列极限的概念,数列xn可以看作自变量为正整数n的函数: xn=f(n), nN .,2、数列与函数,一、数列极限的概念,问题:,当 无限增大时, 是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?,观察:,例如,当n无限增大时, 如果数列xn的一般项xn无限接近于常数a, 则常数a称为数列xn的极限, 或称数列xn收敛a, 记为,2、数列极限的一般性描述,一、数列极限的概念,当n无限增大时, xn无限接近于a . 当n无限增大时, |xn-a|无限接近于0 . 当n无限增大时, |xn-a|可以任意小, 要多小就能有多小. 当n增大到
3、一定程度以后, |xn-a|能小于事先给定的任意小的正数.,因此, 如果 n 增大到一定程度以后, |xn-a|能小于事先给定的任意小的正数, 则当n无限增大时, xn无限接近于常数a.,当n无限增大时, 如果数列xn的一般项xn无限接近于常数a, 则数列xn收敛a.,一、数列极限的概念,3、数列极限的精确定义,设xn为一数列 如果存在常数a 对于任意给定的正数e 总存在正整数N 使得当nN 时 不等式 |xna |e 总成立 则称常数a是数列xn的极限 或者称数列xn收敛于a 记为,如果不存在这样的常数a 就说数列xn没有极限, 0, NN 当nN时 有|xna| .,极限定义的简记形式,一
4、、数列极限的概念,4、数列极限的几何意义,存在 NN 当nN时 点xn一般落在邻域(a-e, a+e)外:,当nN时 点xn全都落在邻域(a-e, a+e)内:,任意给定a的e邻域(a-e, a+e),一、数列极限的概念,10,一、数列极限的概念,11,求数列极限的方法：一般是将数列变形，直到我们能观察 其趋势为止，故学要学习数列极限的四则运算法则：,一、数列极限的概念,12,极限的四则运算法则,二、数列极限的运算,13,二、数列极限的运算,三、数列极限的性质,定理1（唯一性）若数列 存在极限，则极限唯一。,定义 称数列 为有界的，若存在常数 ，使,定理2（有界性）若数列 存在极限，则 有界。
5、 但其逆不真。,三、数列极限的性质,定理4（保号性）若 ，且 ， 则,定理3 设 ，且 ，则存在正整数 ， 当 时，恒有,三、数列极限的性质,定理5（夹逼性）设 ，且 则,三、数列极限的性质,18,三、数列极限的性质,三、数列极限的性质,20,单调数列的定义,若数列xn满足 x1x2xn, 则称xn为单调递增数列.,若x1x2xn, 则称xn为单调递减数列.,单调递增和单调递减数列统称为单调数列.,四、数列极限的存在性,四、数列极限的存在性,数列极限的存在性,定理6,定理7,定理8,定理8. 单调递增且有上界的数列必有极限;,单调递减且有下界的数列必有极限.,即, 单调有界数列必有极限.,22,证: 首先注意到, 当ab0时,有,移项, 有,即,四、数列极限的存在性,23,(1) 取,有,即,四、数列极限的存在性,24,(2) 取,有,即,四、数列极限的存在性,25,(e=2.71828, 为一无理数),四、数列极限的存在性,26,练习,1、利用重要极限求下面的极限,27,练习,28,练习,29,练习,30,练习,证,由绝对值不等式, 得,练习,例,证,(舍去),练习,
