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1、20172018学年度第一学期高三十模考试数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.设集合，则（ ）A B C D2.在复平面内，复数对应的点的坐标为，则在复平面内对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3.已知中，则的值是（ ）A B C D4.设，为的展开式的第一项（为自然对数的底数），若任取，则满足的概率是（ ）A B C D5.函数的图象大致是（ ） A B C D6.已知一个简单几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为，则该几何体的表面积为（ ）A B C D7.已知，则，的大
2、小关系为（ ）A B C D8.执行如下程序框图，则输出结果为（ ）A B C D9.如图，设椭圆：的右顶点为，右焦点为，为椭圆在第二象限上的点，直线交椭圆于点，若直线平分线段于，则椭圆的离心率是（ ）A B C D10.设函数为定义域为的奇函数，且，当时，则函数在区间上的所有零点的和为（ ）A B C D11.已知函数，其中为函数的导数，求（ ）A B C D12.已知直线：，若存在实数使得一条曲线与直线有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段长度恰好等于，则称此曲线为直线的“绝对曲线”.下面给出的四条曲线方程：；.其中直线的“绝对曲线”的条数为（ ）A B C D二、填空题：（本大题共
3、4小题，每题5分，共20分）13.已知实数，满足，且，则实数的取值范围 14.双曲线的左右焦点分别为、，是双曲线右支上一点，为的内心，交轴于点，若，且，则双曲线的离心率的值为 15.若平面向量，满足，则在方向上投影的最大值是 16.观察下列各式：；若按上述规律展开后，发现等式右边含有“”这个数，则的值为 三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答） 17.已知等差数列中，公差，且，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）若为数列的前项和，且存在，使得成立，求实数的取值范围
4、.18.为了解学生寒假期间学习情况，学校对某班男、女学生学习时间进行调查，学习时间按整小时统计，调查结果绘成折线图如下：（1）已知该校有名学生，试估计全校学生中，每天学习不足小时的人数.（2）若从学习时间不少于小时的学生中选取人，设选到的男生人数为，求随机变量的分布列.（3）试比较男生学习时间的方差与女生学习时间方差的大小.（只需写出结论）19.如图所示，四棱锥的底面为矩形，已知，过底面对角线作与平行的平面交于.（1）试判定点的位置，并加以证明；（2）求二面角的余弦值.20.在平面直角坐标平面中，的两个顶点为，平面内两点、同时满足：；.（1）求顶点的轨迹的方程；（2）过点作两条互相垂直的直线，
5、直线，与的轨迹相交弦分别为，设弦，的中点分别为，.求四边形的面积的最小值；试问：直线是否恒过一个定点？若过定点，请求出该定点，若不过定点，请说明理由.21.已知函数.（1）当，求函数的图象在处的切线方程；（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；（3）已知，均为正实数，且，求证.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴正半轴（两坐标系取相同的单位长度）的直角坐标系中，曲线的参数方程为：（为参数）.（1）求曲线的直角坐标方程与曲线的普通方程；（2）将曲线经过伸缩变换后得到曲线，
6、若，分别是曲线和曲线上的动点，求的最小值.23.选修4-5：不等式选讲已知.（1）当时，解不等式.（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.十模数学答案（理）一、选择题1-5: BDACD 6-10: DACCA 11、12：AC二、填空题13. 14. 15. 16. 三、解答题17.解：（1）由题意可得，即.又因为，所以.所以.（2）因为，所以.因为存在，使得成立，所以存在，使得成立，即存在，使得成立.又，（当且仅当时取等号），所以.即实数的取值范围是.18.解：（1）由折线图可得共抽取了人，其中男生中学习时间不足小时的有人，女生中学习时间不足小时的有人.可估计全校中每天学习不足小时的人数
7、为：人.（2）学习时间不少于本的学生共人，其中男学生人数为人，故的所有可能取值为，.由题意可得；.所以随机变量的分布列为均值.（3）由折线图可得.19.解：（1）为的中点，证明如下：连接，因为平面，平面平面，平面，所以，又为的中点，所以为的中点.（2）连接，因为四边形为矩形，所以.因为，所以.同理，得，所以平面，以为原点，为轴，过平行于的直线为轴，过平行于的直线为轴建立空间直角坐标系（如图所示）.易知， 则，.显然，是平面的一个法向量.设是平面的一个法向量，则，即，取，则，所以，所以二面角的余弦值为.20.（1）；（2）的最小值的，直线恒过定点.试题解析：（1），由知，为的重心.设，则，由知是
8、的外心，在轴上由知，由，得，化简整理得：.（2）解：恰为的右焦点，当直线，的斜率存且不为时，设直线的方程为，由，设，则，根据焦半径公式得，又，所以，同理，则，当，即时取等号.根据中点坐标公式得，同理可求得，则直线的斜率为，直线的方程为，整理化简得，令，解得.直线恒过定点.当直线，有一条直线斜率不存在时，另一条斜率一定为，直线即为轴，过点.综上，的最小值的，直线恒过定点.21.（1）当时，则，则，函数的图象在时的切线方程为.（2）函数在上单调递增，在上无解，当时，在上无解满足，当时，只需，函数在上单调递增，在上恒成立，即在上恒成立.设，则在上单调递增，在上的值域为.在上恒成立，则综合得实数的取值范围为.（3）由（2）知，当时，在上单调递增，于是当时，当时，即，同理有，三式相加得.22.解：（1）的极坐标方程是，整理得，的直角坐标方程为.曲线：，故的普通方程为.（2）将曲线经过伸缩变换后得到曲线的方程为，则曲线的参数方程为（为参数）.设，则点到曲线的距离为.当时，有最小值，所以的最小值为.23.解：（1）当时，等式，即，等价于或或，解得或，所以原不等式的解集为；（2）设，则，则在上是减函数，在上是增函数，当时，取最小值且最小值为，解得，实数的取值范围为.
