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1、第一章 空间几何体知识点归纳1、空间几何体的结构:空间几何体分为多面体和旋转体和简单组合体常见的多面体有:棱柱、棱锥、棱台;常见的旋转体有:圆柱、圆锥、圆台、球。简单组合体的构成形式: 一种是由简单几何体拼接而成,一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成。棱柱:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的多面体叫做棱柱。棱台:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分,这样的多面体叫做棱台。1、 空间几何体的三视图和直观图投影:中心投影 平行投影(1)定义:几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。(2)三视图中反应的长、
2、宽、高的特点:“长对正”,“高平齐”,“宽相等”2、空间几何体的直观图(表示空间图形的平面图). 观察者站在某一点观察几何体,画出的图形.3、斜二测画法的基本步骤:建立适当直角坐标系(尽可能使更多的点在坐标轴上)建立斜坐标系,使=450(或1350),注意它们确定的平面表示水平平面;画对应图形,在已知图形平行于X轴的线段,在直观图中画成平行于X轴,且长度保持不变;在已知图形平行于Y轴的线段,在直观图中画成平行于Y轴,且长度变为原来的一半; 一般地,原图的面积是其直观图面积的倍,即4、空间几何体的表面积与体积圆柱侧面积;圆锥侧面积:圆台侧面积:体积公式:; 球的表面积和体积:.一般地,面积比等于
3、相似比的平方,体积比等于相似比的立方。第二章 点、直线、平面之间的位置关系及其论证1 、公理1:如果一条直线上两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内公理1的作用:判断直线是否在平面内2、公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。推论1:过直线的直线外一点有且只有一个平面推论2:过两条相交直线有且只有一个平面推论3:过两条平行直线有且只有一个平面公理2及其推论的作用:确定平面;判定多边形是否为平面图形的依据。3、公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。公理3作用:(1)判定两个平面是否相交的依据;(2)证明点共线、线共点等。4、公理4:也叫平行公
4、理,平行于同一条直线的两条直线平行.5、定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。作用:该定理也叫等角定理,可以用来证明空间中的两个角相等。6、线线位置关系:平行、相交、异面。(1)没有任何公共点的两条直线平行(2)有一个公共点的两条直线相交(3)不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线7、线面位置关系:直线在平面内、平行、相交8、面面位置关系:平行、相交。9、线面平行:(即直线与平面无任何公共点)判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。(只需在平面内找一条直线和平面外的直线平行就可以) 证明两直线平行的主要方法是: 三角形中位线定理:三
5、角形中位线平行并等于底边的一半; 平行四边形的性质:平行四边形两组对边分别平行; 线面平行的性质:如果一条直线平行于一个平面,经过这条直线的平面与这个平面相交,那么这条直线和它们的交线平行; 平行线的传递性: 面面平行的性质:如果一个平面与两个平行平面相交,那么它们的交线平行; 垂直于同一平面的两直线平行; 直线与平面平行的性质:如果一条直线平行于一个平面,经过这条直线的平面与这个平面相交,那么这条直线和它们的交线平行;(上面的)10、面面平行:(即两平面无任何公共点) (1)判定定理:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。 (2)两平面平行的性质: 性质:如果一个平面与
6、两平行平面都相交,那么它们的交线平行; 性质:平行于同一平面的两平面平行; 性质:夹在两平行平面间的平行线段相等; 性质:两平面平行,一平面上的任一条直线与另一个平面平行; 11、线面垂直:定义:如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线,那么就说这条直线和这个平面垂直。判定:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。 性质:垂直于同一个平面的两条直线平行。性质:垂直于同一直线的两平面平行 12、面面垂直:定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直。判定:一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面垂直。 (只需在一个平面内找到另一个平面
7、的垂线就可证明面面垂直)性质:两个平面互相垂直,则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。 证明两直线垂直和主要方法:利用勾股定理证明两相交直线垂直;利用等腰三角形三线合一证明两相交直线垂直;利用线面垂直的定义证明(特别是证明异面直线垂直);利用三垂线定理证明两直线垂直(“三垂”指的是“线面垂”“线影垂”,“线斜垂”)空间角及空间距离的计算1.异面直线所成角:使异面直线平移后相交形成的夹角,通常在两异面直线中的一条上取一点,过该点作另一条直线平行线,2. 斜线与平面成成的角:斜线与它在平面上的射影成的角。如图:PA是平面的一条斜线,A为斜足,O为垂足,OA叫斜线PA在平面上射影,为线面角。
8、3.二面角:从一条直线出发的两个半平面形成的图形,如图为二面角,二面角的大小指的是二面角的平面角的大小。二面角的平面角分别在两个半平面内且角的两边与二面角的棱垂直 用二面角的平面角的定义求二面角的大小的关键点是: 明确构成二面角两个半平面和棱;明确二面角的平面角是哪个? 而要想明确二面角的平面角,关键是看该角的两边是否都和棱垂直。 (求空间角的三个步骤是“一找”、“二证”、“三计算”)5.点到平面的距离:指该点与它在平面上的射影的连线段的长度。如图:O为P在平面上的射影,线段OP的长度为点P到平面的距离求法通常有:定义法和等体积法等体积法:就是将点到平面的距离看成是三棱锥的一个高。如图在三棱锥中有: