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1、作业2: 1，2，4，5，12，19（其中H PnVdS = R (P V)dV, Pn= n P） 1.10 张量及其代数运算 在笛卡尔直角坐标系中定义的张量称作笛卡尔张量，而在任一曲线坐标系中定义的 张量，则称作普遍张量。 一、坐标变换（如平移，旋转、反射等） 这里讲述直角坐标系中的变换法则。 设笛卡尔直角坐标系 ox1x2x3绕原点旋转后成为新坐标系 ox0 1x 0 2x 0 3，将新老坐标轴的夹角 余弦记作 ij ij= cos( e 0 i, ej) = e 0 i ej 老坐标系 ox1x2x3, ej, j = 1,2,3 新坐标系 ox0 1x 0 2x 0 3, e 0 i
2、,i = 1,2,3 新（老）单位矢量在老（新）坐标系中的分量表示 e 0 i = ij ej, ei= ji e 0 j O ej e 0 i 我们称由 ij组成的矩阵为坐标变换矩阵，可以看出，新坐标系的单位矢量 e 0 i 在旧 坐标系中投影分量就是 ij e 0 i = ij ej= cos( e 0 i, e1) e1+ cos( e 0 i, e2) e2+ cos( e 0 i, e3) e3 (1) 反之， ei在新坐标系 e 0 j 中的表达式为 ei= ji e 0 j, ej= kj e 0 k (2) (2) 代回(1)，即知 (ki+ ijkj) e 0 k = 0 i
3、jkj= ik,同理可证 jijk= ik 另一证法：新单位矢量 e 0 i 与旧单位矢量 ej, j = 1,2,3 的方向余弦(作示意图) ij= e 0 i ej= cosji= e 0 j ei 因而可得 e 0 i = ij ej= i1 e1+ i2 e2+ i3 e3 正交变换的条件 e 0 i e 0 k = ij ej km em= ijkmjm= ijkj= ik ei ek= ji e 0 j mk e 0 m = jimkjm= jijk= ik ijik= jk,jiki= jk 1 二、标量、矢量在坐标变换时的固有性质 （零阶张量）标量：坐标变换时满足 (x0 1,
4、 x 0 2, x 0 3,t) = (x1, x2, x3,t) 即其值保持不变，如密度场、温度场。 （一阶张量）矢量：坐标变换时满足 a 0 i = ijaj，则 a1,a2,a3可构成一个矢量。 由坐标转换基本关系，可推知任何矢量的各分量在不同坐标系中的转换关系式，设 a 在原坐标系 ox1x2x3中表达式为 a = ai ei 该矢量在新坐标系 ox0 1x 0 2x 0 3中可表示成 a = a0j e 0 j 由（2）公式可知 a = ai ei= aiji e 0 j a 0 j = jiai 上式表示的坐标变换关系称为正变换，系数矩阵 111213 212223 313233
5、称为正变换系数矩 阵。 同理可推得ai= jia 0 j 上式表示的坐标变换关系称为逆变换，而系数矩阵 ji称为逆变换系数矩阵。 三、张量的定义 张量是按它在不同坐标系中分量的变换法则来定义的，所谓张量是由满足一定关系的 一组元素所组成的整体，元素的个数由空间维数 N 和张量的阶数 n 共同决定。 二阶张量： 在坐标系 ox1x2x3中给定 32个数 Pmn，这些数在坐标变换中满足 P0 ij = imjnPmn 这 32个数 Pmn便可定义一个二阶张量，记作 P = Pmn= P11P12P13 P21P22P23 P31P32P33 n 阶张量：在直角坐标系 ox1x2x3中给定 3n个数
6、 Pj1j2jn，当坐标变换时，这些数按 下式转换为另一直角坐标系 ox0 1x 0 2x 0 3中的 3 n 个量 P0 i1i2in = i1j1i2j2injnPj1j2jn 2 则此 3n个数定义一个 n 阶张量（有 n 个自由指标）。 张量的阶分量个数变换规律 01P0= P 131P0 i = ijPj 232P0 ij = ikjmPkm 333P0 ij = ikjmnPkmn . . . . . . . . . n3nP0j1j2jn= j1k1j2k2jnknPk1k2kn 零张量：各分量都为零（如零标量、零矢量），在坐标变换下具有不变性。 零阶张量：标量 一阶张量：矢量
7、例，证明 ij是一个阶张量。 根据 ij的定义，它不依赖于坐标系，即在任意两个坐标系中有 ij= 0 ij ikjk= ij 0 ij = ikjk 张量的定义可判定 ij是一个 2 阶张量 四、张量的代数运算 1、张量的加减 设 P = Pj1j2jn和 Q = Qj1j2jn都是 n 阶张量，则 P 与 Q 之和（差）定义为 T T = Tj1j2jn= Pj1j2jn Qj1j2jn 也是 n 阶张量。 推论：若两个同阶张量 P，Q 在某一直角坐标系内相等，即 P = Q，则它们在任一直角 坐标系内相等。 在某一直角坐标系内，若同阶张量 P 和 Q 相等，P = Q，则 P Q = 0
8、坐标变换后，零张量在新坐标下还是零张量，因此 P0 Q0= 00P0= Q0 这表明在任一直角坐标系中 P 和 Q 仍保持相等。 2、张量的乘积 设 P = Pi1i2im是 m 阶张量， Q = Qj1j2jn是 n 阶张量，作分量乘积 Ti1i2imj1j2jn= Pi1i2imQj1j2jn 3 则 T 是 m + n 阶张量。记作 T = PQ 若 P 为一标量 ，则乘积 Q 是 n 阶张量； 若两个矢量 a 和b 作分量乘积 aibj，则可定义一个二阶张量，记作 ab = aibj，称之 为并矢。 n 阶张量 P 也可写成下列并矢形式 P = Pj1j2jn ej1 ej2 ejn
9、3、张量的收缩 设 P = Pj1j2jn中有两个下标相同，根据约定求和法则，则得具有 n 2 个自由下标的量 Q，可证明它是 n 2 阶张量 P0 i1i2in2kk = i1j1i2j2in2jn2krksPj1j2jn2rs = i1j1i2j2in2jn2rsPj1j2jn2rs = i1j1i2j2in2jn2Pj1j2jn2rr 可见 Q = Pi1i2in2kk确为 n 2 阶张量，称为张量 P 的收缩。 4、张量的内积 在张量乘积 PQ 中，由 m 阶张量 P 和 n 阶张量 Q 中各取出一个下标，收缩一次后得 到 m + n 2 阶张量，称之为 P 和 Q 的内积，以 P Q
10、 表示。 如二阶张量和矢量的右向内积是 P a = Pijaj，左向内积是 a P = aiPij。 注意：一般说来 P a , a P 。 二阶张量 P,Q 的内积， P Q = PikQkj 二阶张量 P,Q 二次收缩， P : Q = PijQji * 张量识别定理（略去） 定理：若在任一坐标系中 P = Pi1i2imj1j2jn和任意 n 阶张量 Q = Qj1j2.jn的内积 Pi1i2imj1j2jnQj1j2.jn恒为 m 阶张量，则 P 必为 m + n 阶张量。 证明： m 阶张量记作 T P0 i1i2imj1j2jnQ 0 j1j2.jn = T0 i1i2im =i1
11、k1i2k2imkmTk1k2km =3i1k1i2k2imkmPk1k2kmr1r2rnQr1r2rn =Pk1k2kmr1r2rni1k1i2k2imkmj1r1j2r2jnrnQ0j1j2jn (P0 i1i2imj1j2jn i1k1i2k2imkmj1r1j2r2jnrnPk1k2kmr1r2rn)Q0j1j2.jn= 0 因 Q0是任意 n 阶张量，故有 P0 i1i2imj1j2jn = i1k1i2k2imkmj1r1j2r2jnrnPk1k2kmr1r2rn 4 即 P 是 m + n 阶张量。 推论：如 Pi1i2im和任意 n 阶张量 Q 的乘积 Pi1i2imQj1j2
12、jn= Ti1i2imj1j2jn恒为 m+n 阶 张量，则 Pi1i2im必为 m 阶张量。 1.11 二阶张量 1. 共轭张量、对称张量、反对称张量 设 P = Pij是二阶张量。 Pc= Pji也是二阶张量，称为 P 的共轭张量 若分量之间满足关系 Pij= Pji，则称 P 为对称张量 若分量之间满足关系 Pij= Pji，则称 P 为反对称张量 2. 张量的分解定理 二阶张量可以唯一地分解为一个对称张量与一个反对称张量之和。 P = A + S 其中， A = 1 2(P Pc)， S = 1 2(P + Pc) 二阶反对称张量至多有个非零分量，引入 1,2,3 A = aij= 0
13、a12a31 a120a23 a31a230 = 032 301 210 aij= ijkk 二阶反对称张量具有特殊的性质 1. A 的反对称性不因坐标变换而改变 a0 ij = imjkamk a0ji= jkimakm= imjkamk= a0 ij 2. 反对称张量的三个分量 1,2,3组成一个矢量 3. 反对称张量 A 和矢量b 内积满足如下关系式 A b = b b A =b 上述两式表明二阶反对称张量A相当于一个矢量 = (1,2,3) 证明： A b = aijbj= ijkbjk= b 1.12 张量的微分运算 把张量理解为某一物理量，当空间位置改变时，物理量的空间变化特征可用
14、张量的 微分如梯度、散度等来度量。 5 1. n 阶张量 P = Pi1i2in的梯度 P ： P =gradP = xk Pi1i2in 简记为 pi1i2ink，它是一个 n + 1 阶张量。由复合函数的求导法则 0P0= x0 k P0 i1i2in = x x0 k (i1k1i2k2inkn x Pk1k2kn) = i1k1i2k2inknk x Pk1k2kn 2. n 阶张量 P = Pi1i2in的散度 P ： P =divP = xk Pki2in 它是由张量 P 收缩一次而得到的 n 1 阶张量。例如，矢量 a 的散度 div a = a = ai xi 是由矢量 a 的
15、梯度 a = ai xj 收缩而得的标量。 3. 奥高公式 场论中的奥高公式推广到张量中去，张量情形下的奥高公式可写为 I S n PdS = Z V divPdV(1) 证明：根据奥高定理，则有 I S nkPkj2jndS = Z V xk Pkj2jndV 此即(1)式。 例1P是二阶张量，是标量，证明： (P) = P + P 证：(P) = xk (Pkj) = xk Pkj+ Pkj xk = P + P 例2证明： div( ab) =b( a) + ( a )b 证：div( ab) = xk (akbj) = ak xk bj+ ak bj xk =b( a) + ( a )b 例3证明： ( a a) = a : a + a ( a) 证： ( a a) = xj ai aj xi ! = ai 2aj xjxi + ai xj aj xi = a : a + a ( a) 6
