一章56节07课件研究报告

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1、5 条 件 概 率,一 条 件 概 率 二 乘 法 定 理 三 全概率公式和贝叶斯公式,第一章 概率论的基本概念,5条件概率,退 出,前一页,后一页,目 录,第一章 概率论的基本概念,5条件概率,退 出,前一页,后一页,目 录,在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率.,一、条件概率,1. 条件概率的概念,如在事件B发生的条件下求事件A发生的概率，将此概率记作P(A|B).,一般 P(A|B) P(A),第一章 概率论的基本概念,5条件概率,退 出,前一页,后一页,目 录,P(A )=1/6，,例如，掷一颗均匀骰子，A=掷出2点，,B=掷出偶数点，,P(A|B)=？

2、,已知事件B发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是B，,于是P(A|B)= 1/3.,B中共有3个元素，它们的出现是等可能的，其中只有1个在集A中，,容易看到,P(A|B),第一章 概率论的基本概念,5条件概率,退 出,前一页,后一页,目 录,计算P(A|B)时，这个前提条件未变，只是加上“事件B已发生”这个新的条件.,这好象给了我们一个“情报”，使我们得以在某个缩小了的范围内来考虑问题.,下面给出条件概率的定义,例 1 两台车床加工同一种零件共100个，结果如下 合格品数 次品数 总计 第一台车床加工数 30 5 35 第二台车床加工数 50 15 65 总 计 80 20 100,第一章

3、 概率论的基本概念,5条件概率,设A= 从100个零件中任取一个是合格品 B=从100个零件中任取一个是第一台车床加工的 ,解：,退 出,前一页,后一页,目 录,3.条件概率的性质：,第一章 概率论的基本概念,5条件概率,退 出,前一页,后一页,目 录,5条件概率,2)直接法：从加入条件后改变了的情况去算,4. 条件概率的计算,1) 用定义计算:,P(B)0,P(A|B）=,B发生后的 缩减样本空间 所含样本点总数,在缩减样本空间 中A所含样本点 个数,5条件概率,退 出,前一页,后一页,目 录,例2 两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问“掷出点数之和不小于10”的概率是多少?,解法1:,解法

4、2:,解: 设A=掷出点数之和不小于10 B=第一颗掷出6点,应用定义,在B发生后的 缩减样本空间 中计算,例 3 已知某家庭有3个小孩，且至少有一个是女孩，求该家庭至少有一个男孩的概率,而,所求概率为,解：设 A= 3个小孩至少有一个女孩 B= 3个小孩至少有一个男孩 ,第一章 概率论的基本概念,退 出,前一页,后一页,目 录,二、乘法公式,由条件概率的定义,我们得,这就是两个事件的乘法公式,第一章 概率论的基本概念,5条件概率,1）两个事件的乘法公式：,退 出,前一页,后一页,目 录,2）多个事件的乘法公式,则有,这就是n个事件的乘法公式,第一章 概率论的基本概念,5条件概率,退 出,前一

5、页,后一页,目 录,例3 袋中有一个白球与一个黑球，现每次从中取 出一球，若取出白球，则除把白球放回外再加进 一个白球，直至取出黑球为止求取了n 次都未 取出黑球的概率 解：,则,由乘法公式，我们有,第一章 概率论的基本概念,退 出,前一页,后一页,目 录,第一章 概率论的基本概念,5条件概率,退 出,前一页,后一页,目 录,例 4 设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时 打破的概率为 1/2 ，若第一次落下未打破，第二 次落下打破的概率为 7/10 ,若前两次落下未打破， 第三次落下打破的概率为 9/10 。求透镜落下三次 而未打破的概率。 解：以 Ai ( i=1,2,3 ) 表示事件“透

6、镜第 i 次落下打 破”，以 B 表示事件“透镜落下三次而未打破”， 有：,第一章 概率论的基本概念,退 出,前一页,后一页,目 录,三、全概率公式和贝叶斯公式,第一章 概率论的基本概念,5条件概率,退 出,前一页,后一页,目 录,1）全 概 率 公 式：,设随机事件,第一章 概率论的基本概念,5条件概率,退 出,前一页,后一页,目 录,全概率公式的证明：,由条件：,得,而且由,第一章 概率论的基本概念,5条件概率,退 出,前一页,后一页,目 录,全概率公式的证明（续）,所以由概率的可加性，得,得,第一章 概率论的基本概念,5条件概率,退 出,前一页,后一页,目 录,全概率公式的使用：,我们把

7、事件B 看作某一过程的结果，,根据历史资料，每一原因发生的概率已知，,而且每一原因对结果的影响程度已知，,则我们可用全概率公式计算结果发生的概率,第一章 概率论的基本概念,5条件概率,退 出,前一页,后一页,目 录,例5 某小组有20名射手，其中一、二、三、四 级射手分别为2、6、9、3名又若选一、二、 三、四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标 的概率分别为0.85、0.64、.45、0.32，今随机 选一人参加比赛，试求该小组在比赛中射中目 标的概率 解：,由全概率公式，有,第一章 概率论的基本概念,退 出,前一页,后一页,目 录,2）贝叶斯（Bayes）公式,第一章 概率论的基本概念,5条

8、件概率,设随机事件,则有：,退 出,前一页,后一页,目 录,Bayes公式的使用,我们把事件B 看作某一过程的结果，,根据历史资料，每一原因发生的概率已知，,而且每一原因对结果的影响程度已知，,如果已知事件B已经发生，要求此时是由第 i 个原因引起的概率，则用Bayes公式,第一章 概率论的基本概念,5条件概率,退 出,前一页,后一页,目 录,例 6 用某种方法普查肝癌，设： A= 用此方法判断被检查者患有肝癌 ， D= 被检查者确实患有肝癌 ， 已知,现有一人用此法检验患有肝癌，求此人真正患有 肝癌的概率,第一章 概率论的基本概念,5条件概率,说明：全概率公式， Bayes公式中 可以是,退

9、 出,前一页,后一页,目 录,例 6（续）,解： 由已知，得,所以，由Bayes公式，得,第一章 概率论的基本概念,退 出,前一页,后一页,目 录,例 7 袋中有10个黑球，5个白球现掷一枚均匀的 骰子，掷出几点就从袋中取出几个球若已知取 出的球全是白球，求掷出3点的概率 解：,则由Bayes公式，得,第一章 概率论的基本概念,5条件概率,设B= 取出的球全是白球 ,退 出,前一页,后一页,目 录,练习1： 有甲乙两个袋子，甲袋中有2个白球，1个红球，乙袋中有 2个红球，1个白球这6个球手感上不可区别今从甲袋中 任取1球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取1球，问 （1）此球是红球的概率？ （2）若

10、已知取到1个红球，则从甲袋放入乙袋的是白球的 概率是多少？,练习：,练习2： 设工厂A和工厂B的产品的次品率分别是2%和1%，现从由A和B的产品分别占60%和40%的产品中随机抽取一件，问 （1）抽到的这件产品为次品的概率是多少？ （2）如果抽到的产品为次品，则该次品属于 A厂生产的概率为多少？,第一章 概率论的基本概念,5条件概率,说明：乘法公式，全概率公式，贝叶斯公式非常重要，在运用时关键是找到样本空间的划分。,退 出,前一页,后一页,目 录,一、独立性的定义,例 1 袋中有 a 只黑球，b 只白球每次从中取出 一球，令： A = 第一次取出白球 ， B = 第二次取出白球 ， 分有放回和

11、不放回情形讨论,第一章 概率论的基本概念,6 独 立 性,同理,（1）有放回情形：,退 出,前一页,后一页,目 录,所以，由,第一章 概率论的基本概念,退 出,前一页,后一页,目 录,（2）不放回情形：,所以，,第一章 概率论的基本概念,同理,退 出,前一页,后一页,目 录,第一章 概率论的基本概念,由此例题你会得到什么结论？,退 出,前一页,后一页,目 录,说 明,由例 1，可知，两种情形中都有,这表明，在有放回情形，事件 A 是否发生对事件 B 是否发生在概率上是没有影响的，即事件 A 与 B 呈现出某种独立性,由此，我们引出事件独立性的概念,第一章 概率论的基本概念,在不放回情形有：,在

12、有放回情形有：,在不放回情形，事件 A 是否发生对事件 B 是否发生在概率上是有影响的，即事件 A 与 B 呈现出不独立性,退 出,前一页,后一页,目 录,定义：,设 A、B 是两个随机事件，如果,则称 A 与 B 是相互独立的随机事件,例,第一章 概率论的基本概念,2)若随机事件 A 与 B 相互独立，则,也相互独立.,证明：为方便起见，只证,相互独立即可,这个性质很重要！,由于,退 出,前一页,后一页,目 录,二、事件独立性的性质：,1）如果事件A 与 B 相互独立，而且,第一章 概率论的基本概念,注意：在实际应用中，对于事件的独立性，我们往往不是根据定义来判断，而是根据实际意义来加以判断

13、的。具体的说，题目一般把独立性作为条件告诉我们，要求直接应用定义中的公式进行计算。,退 出,前一页,后一页,目 录,例 2,设事件 A 与 B 满足：,若事件 A 与 B 相互独立，则 AB；（逆否命题,若 AB =，则事件 A 与 B 不相互独立,证明：,第一章 概率论的基本概念,退 出,前一页,后一页,目 录,三、多个事件的独立性,设A、B、C是三个随机事件，,第一章 概率论的基本概念,1）三个事件的独立性：,则称A、B、C是相互独立的随机事件,注意：在三个事件独立性的定义中，四个等式是缺一不可的即：前三个等式的成立推不出最后一个等式；反之，最后一个等式的成立也推不出前三个等式的成立,试想

14、：n个随机事件的独立性的定义及性质。,如果,退 出,前一页,后一页,目 录,例 3 袋中装有 4 个外形相同的球，其中三个球分别涂有红、白、黑色，另一个球涂有红、白、黑三种颜色现从袋中任意取出一球，令： A= 取出的球涂有红色 B= 取出的球涂有白色 C= 取出的球涂有黑色 则：,第一章 概率论的基本概念,退 出,前一页,后一页,目 录,由此可见,但是,这表明，A、B、C这三个事件是两两独立的，但不是相互独立的,第一章 概率论的基本概念,退 出,前一页,后一页,目 录,2）n个事件的相互独立性：,第一章 概率论的基本概念,退 出,前一页,后一页,目 录,第一章 概率论的基本概念,3）独立随机事

15、件的性质：,则：（1）其中任意 个随机事件也相互 独立；,退 出,前一页,后一页,目 录,若 是相互独立的事件，则,4）相互独立事件至少发生其一的概率的计算：,第一章 概率论的基本概念,在本章第2节介绍了下面这个公式,在独立的条件下有：,退 出,前一页,后一页,目 录,第一章 概率论的基本概念,注 意,退 出,前一页,后一页,目 录,(,),(,),(,),p,n,A,P,A,P,A,P,=,=,=,=,L,2,1,第一章 概率论的基本概念,此例说明：小概率事件虽然在一次试验中几乎是不发生的，但是迟早要发生。,不论 p 多么小,退 出,前一页,后一页,目 录,例4 如果构成系统的每个元件的可靠性均为r，0r1.且各元件能否正常工作是相互独立的，试求下列系统的可靠性：,第一章 概率论的基本概念,退 出,前一页,后一页,目 录,1）每条通路要能正常工作，当且仅当该通路上的各元件都正常工作，故可靠性为,第一章 概率论的基本概念,2）一条通路发生故障的概率为,两条通路同时发生故障的概率为,故系统的可靠性为,即附加通路可使系统可靠性增加。,3）每对并联元件的可靠性为,系统由每对并联的元件串联组成，故可靠性为,由数学归纳法可证明当,解：,退 出,前一页,后一页,目 录,例 5 设有电路如图，其中