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1、 高等数学练习（下） 27 高等数学高等数学练习题练习题 系系专业专业班班姓名姓名学号学号 61二重积分（二重积分（1） 一选择题 1设积分区域D是41 22 yx，则 D dxdy=B （A）（B）3（C）4（D）15 2 设积分区域D是1 yx， 则 D dxdy=B （A）1（B）2（C）4（D）8 3设平面区域D由1, 2 1 yxyx与两坐标轴所围成，若 D dxdyyxI 9 1 )ln(， D dxdyyxI 9 2 )(， D dxdyyxI 9 3 )sin(，则它们之间的大小顺序为：C （A） 321 III（B） 123 III（） 231 III（） 213 III 4
2、 设区域D是由两坐标轴及直线1 yx围成的三角形区域， 则 D xydxdyD （A） 4 1 （B） 8 1 （C） 12 1 （D） 24 1 二填空题 1设区域D是20, 10yx，估计积分的值2 D dxdyyx) 1(8 2设 10| 22 sincos100 yx yx d I ，则I的取值范围是 51 100 I2 3 1 2 00 x dxxy dy = 15 1 三计算题 1设区域D由11x，11y所确定，求 D dxdyxyxy)( 解：原式解：原式= 111 22 111 2 ()0 3 dxxyx y dyxdx 2设D是由直线2x，xy 及双曲线1xy所围成的平面区域
3、，求 D dxdy y x 2 2 解：由题意知解：由题意知 1 12; Dxyx x ，于是，于是 高等数学练习（下） 28 原式原式= 2 22 3 1 2 11 9 () 4 x x x dxdyxx dx y 3设区域 D 由xyxy 22, 所围成，求dyx D )( 2 . 解; 由题意知xyxxD 2 ; 10，于是 原式= 2 5 11 24 2 00 333 ()() 22140 x x x dxxy dyxxdx 高等数学高等数学练习题练习题 系系专业专业班班姓名姓名学号学号 61二重积分（二重积分（2） 一选择题 1设区域D是顶点为)0 , 0(O、) 1 ,10(A、)
4、 1 , 1 (B的三角形，则 D dxdyyxy 2 =C （A）3（B）5（C）6（D）10 2 设),(yxf是连续函数， 则 00 ( , ) ax dxf x y dy =B （A） 00 ( , ) ay dyf x y dx （B） 0 ( , ) aa y dyf x y dx （C） 0 ( , ) ay a dyf x y dx （D） 00 ( , ) aa dyf x y dx 3 二次积分 2 2 00 ( , ) x dxf x y dy 的另一种积分次序是A （A） 42 0 ( , ) y dyf x y dx （B） 4 00 ( , ) y dyf x y
5、dx （C） 2 42 0 ( , ) x dyf x y dx （D） 4 02 ( , ) y dyf x y dx 4设f是连续函数，而D：1 22 yx且0y，则dxdyyxf D )( 22 =A （A） 1 0 ( )rf r dr（B） 1 0 ( )f r dr（C）2 1 0 ( )rf r dr（D）2 1 0 ( )f r dr 二填空题 1改换积分的次序 122 0010 ( , )( , ) xx dxf x y dydxf x y dy = 12 0 ( , ) y y dyf x y dx 2改换积分的次序 2 22 12 ( , ) x x x dxf x y
6、dy = 2 111 02 ( , ) y y dyf x y dx 高等数学练习（下） 29 3化二次积分为极坐标的二次积分 2 11 01 ( , ) x x dxf x y dy = 1 cossin 1 2 0 )sin,cos( drrrrfd 三计算题 1求 222 0 y x dxedy 解：因为解：因为 2 y e在简单区域在简单区域02,2Dxxy连续，连续， 所以原式所以原式= 2222 4 000 1 (1) 2 y yy edydxyedye 2设区域D由y轴与曲线yxcos（ 22 y）所围成，求 D ydxdyx 22 sin3 解：由题意，积分区域解：由题意，积分
7、区域,0cos 22 Dyxy， 所以原式所以原式= cos 2223 22 0 22 sin3sincos y ydyx dxyydy 22 2 0 2sin(1sin) sin yy dy 4 15 3设积分区域D为1 22 yx，求 D dxdyxyyx)( 22 解：令解：令cos ,sin ,xryr则积分区域则积分区域02 ,01Dr 于是原式于是原式= 212 2 000 112 (sincos )(sin2 ) 383 dr rrdrd 4设区域D是由 2222 4yx所围成，求dxdyyx D 22 sin 解：令解：令cos ,sin ,xryr则积分区域则积分区域02 ,
8、2 Dr 于是原式于是原式= 22 0 sindrrdr 2 2(cossin )|rrr 2 6 高等数学高等数学练习题练习题 系系专业专业班班姓名姓名学号学号 63三三 重重 积积 分（分（1） 一选择题 高等数学练习（下） 30 1设区域 2222 | ),(Rzyxzyx，0z， 2222 1 | ),(Rzyxzyx， 0, 0, 0zyx，则等式成立的是C （A） 1 4xdvxdv（B） 1 4ydvydv （C） 1 4zdvzdv（D） 1 4xyzdvxyzdv 2 若三重积分 3 28 dxdydz， 积分区域为C （A）41 22 yx， 3 8 0 z（B）4 22
9、yx， 3 8 0 z （C）41 222 zyx（D）4 222 zyx 二计算题 1计算 dvzxy 32 ，其中是由曲面xyz 与平面xy ，1x和0z所围成的闭区域. 解：由题意，积分区域解：由题意，积分区域01,0,0 xyxzxy ， 则原式则原式= 1 23 000 1 364 xxy dxdyxy z dz 2计算 dvyx)( 22 ，其中是由曲面zyx2 22 及平面2z所围成的闭区域. 解：由题意，利用柱坐标变换解：由题意，利用柱坐标变换 cos sin xr yr zz 可得积分区域可得积分区域 2 02 ,02,2 2 r rz ， 则原式则原式= 2 222 3 0
10、0 2 16 3 r dr drdz 3计算 zdv，其中闭区域是由不等式 2222 )(aazyx， 222 zyx所确定. 解：由题意，利用柱坐标变换解：由题意，利用柱坐标变换 cos sin xr yr zz 可得积分区域可得积分区域 高等数学练习（下） 31 22 02 ,0, ra rzaar， 则原式则原式= 22 2 00 aaar r drdrzdz 2222 0 2() a r ara ardr 4 7 6 a 高等数学高等数学练习题练习题 系系专业专业班班姓名姓名学号学号 63三三 重重 积积 分（分（2） 1求由曲面 22 6yxz及 22 yxz所围成的立体的体积. 解
11、：由题意，利用柱坐标变换解：由题意，利用柱坐标变换 cos sin xr yr zz 可得积分区域可得积分区域 2 02 ,02,6rrzr ， 则所求立体的体积则所求立体的体积 2 226 00 32 3 r r Vdvdrdrdz 2求锥面 22 yxz被柱面xz2 2 所割下部分的曲面面积. 解 ： 锥 面解 ： 锥 面 22 yxz被 柱 面被 柱 面xz2 2 所 割 下 部 分 的 曲 面 在所 割 下 部 分 的 曲 面 在xy平 面 上 的 投 影平 面 上 的 投 影 22 ( , );(1)1, , xy x yxyx yR 于是所求曲面面积于是所求曲面面积 2cos 22
12、 2 0 2 12 xy xy Szz dxdydrdr 2 2 0 22 2cos2d 3设平面薄片所占的闭区域D由抛物线 2 xy 及直线xy 所围成，它在点),(yx处的面密 高等数学练习（下） 32 度yxyx 2 ),(，求该薄片的质心。 解：由题意，解：由题意， xyxxD 2 ; 10，而密度，而密度yxyx 2 ),(在在D上是连续的。上是连续的。 所以所以D的质心横坐标为的质心横坐标为 2 2 1 3 0 1 2 0 ( , ) 35 48 ( , ) x xD x D x dxx ydyxx y dxdy x x y dxdy dxx ydy D的质心纵坐标为的质心纵坐标为
13、 54 35 ),( ),( 2 2 2 1 0 22 1 0 x x x x D D ydyxdx dyyxdx dxdyyx dxdyyxy y 所以该薄片的质心为所以该薄片的质心为) 54 35 , 48 35 (。 4设均匀薄片所占区域D为抛物线xy 2 9 2 与直线2x所围成，求转动惯量 x I和 y I. 解：设均匀薄片的密度为解：设均匀薄片的密度为 ，由题意由题意， 2 9 2 9 ; 20 x y x xD， 转动惯量转动惯量 2 x D Iy d 9 2 2 2 9 0 2 x x dxy dy 9 22 23 2 000 29 2() 32 x x dxy dydx 5
14、2 2 0 9 272 | 55 x 转动惯量转动惯量 2 y D Ix d 9 2 2 2 9 0 2 x x dxx dy 9 22 22 2 000 9 22 2 x x dxx dyxdx 7 2 2 0 6 296 | 77 x 高等数学高等数学练习题练习题 高等数学练习（下） 33 系系专业专业班班姓名姓名学号学号 综综 合合 练练 习习 题题 一选择题 1设 D 是由1, 0 2 xxyy所围的平面区域，且 D dudvvufxyyxf),(),(， 则),(yxf C （A）xy（B）xy2（C） 8 1 xy（D）1xy 2设 D 是由0),0(ykkxy和1x围成的区域，且
15、 D dxdyxy 15 1 2 ，则k= A （A）1（B）3 5 4 （C）3 15 1 （D）3 15 2 3设D是xOy平面上以) 1 , 1 (，) 1 , 1(和) 1, 1(为顶点的三角形区域， 1 D是D在第一象限 的部分，则 D dxdyyxxy)sincos(=A （A） 1 sincos2 D ydxdyx（B） D xydxdy2 （C） 1 )sincos(4 D dxdyyxxy（D）0 4 设dxdyyxRI D 222 ， 其中 D 是由 222 Ryx所围成的闭区域， 则I= D （A）)43( 9 1 3 R（B）0（C）)43( 9 1 3 R（D） 3 3 2 R 二计算题 1求 242 12 sinsin 22 x xx xx dxdydxdy yy 解：积分区域可写为解：积分区域可写为 2 ; 20yxyyD ，于是，于是 原式原式 2 22 3 11 248 sincos 22 y y xy dydxydy y 。 2设函数)(xf在区间 1 , 0上连续，并设 1
