第5章概率基础.pdf

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1、随机变量及其分布 随机变量的数字特征 常用的连续分布 常用的离散分布 中心极限定理 第五章概率基础 徐凌 中国石油大学（华东） 经济管理学院 徐凌第五章概率基础 随机变量及其分布 随机变量的数字特征 常用的连续分布 常用的离散分布 中心极限定理 1随机变量及其分布 2随机变量的数字特征 3常用的连续分布 4常用的离散分布 5中心极限定理 徐凌第五章概率基础 随机变量及其分布 随机变量的数字特征 常用的连续分布 常用的离散分布 中心极限定理 1随机变量及其分布 2随机变量的数字特征 3常用的连续分布 4常用的离散分布 5中心极限定理 徐凌第五章概率基础 随机变量及其分布 随机变量的数字特征 常用

2、的连续分布 常用的离散分布 中心极限定理 例：考虑掷两枚硬币的实验。令表示观察到正面的个数， 求的概率分布。 解：为离散型随机变量，相应的分布表与分布图为： 可能的取值012 概率函数值0.250.50.25 分布函数值0.250.751 徐凌第五章概率基础 随机变量及其分布 随机变量的数字特征 常用的连续分布 常用的离散分布 中心极限定理 1随机变量及其分布 2随机变量的数字特征 3常用的连续分布 4常用的离散分布 5中心极限定理 徐凌第五章概率基础 随机变量及其分布 随机变量的数字特征 常用的连续分布 常用的离散分布 中心极限定理 某人花2元钱买彩票，他抽中100元奖的概率是0.1%，抽

3、中10元奖的概率是1%，抽中1元奖的概率是20%，假设各种 奖不能同时抽中，求：此人收益的概率分布及此人收益的期 望值。 航班每次飞行坠机概率为十万分之一,每位乘客保费 为20元,死亡赔付金额为40万元。问保险公司从每位顾客手 中平均获取多大利润? 徐凌第五章概率基础 随机变量及其分布 随机变量的数字特征 常用的连续分布 常用的离散分布 中心极限定理 定义随机变量为此人的中奖金额，则离散型随机变量的分布 表为 可能的取值0110100 概率函数值1 20% 1% 0.1% = 78.9%20%1%0.1% 设收益为 ，则 = 2，根据的分布， E() = 100 * 0.1% + 10 * 1

4、% + 1 * 20% = 0.4 则 E( ) = E( 2) = E() 2 = 0.4 2 = 1.6(元) 即此人收益的期望值为-1.6元。 徐凌第五章概率基础 随机变量及其分布 随机变量的数字特征 常用的连续分布 常用的离散分布 中心极限定理 设保险公司从每位顾客手中获取的利润为随机变量, 则其分布 表为 可能的取值2020 40 104 概率函数值P( = )1 1 10104 1 10104 根据的分布，保险公司从每位顾客手中平均获取的利润为 E() =20 (1 1 10 104 ) + (20 40 104) 1 10 104 =16(元), 即保险公司从顾客手中平均获取的利

5、润为16元。 徐凌第五章概率基础 随机变量及其分布 随机变量的数字特征 常用的连续分布 常用的离散分布 中心极限定理 一位投资者有一批现金可以用于投资，有两个投资项目可供 选择。项目A与项目B的资料如下，试比较那个投资项目较 佳。 持有期回报率概率（A项目）概率（B项目） 30.050.2 40.20.2 50.50.2 60.20.2 70.050.2 设随机变量的概率分布为() = 32 3 ，0 1 = 7 8，求的值。 2 求的期望值与方差。 徐凌第五章概率基础 随机变量及其分布 随机变量的数字特征 常用的连续分布 常用的离散分布 中心极限定理 1随机变量及其分布 2随机变量的数字特征

6、 3常用的连续分布 4常用的离散分布 5中心极限定理 徐凌第五章概率基础 随机变量及其分布 随机变量的数字特征 常用的连续分布 常用的离散分布 中心极限定理 例： (1.5,22), 计算P(1 2). 解：由于 (1.5,22)，则 := 1.5 2 (0,1)，故 P(1 2) =P(1 1.5 2 1.5 2 2 1.5 2 ) =P(1.25 1.5 2 0.25) =P(1.25 0.25) = (0.25) (1.25). 查标准正态分布分布函数表。表上只有()当 0时的值。对 于 180) =P( 165)/5.5 (180 165)/5.5) =P( 2.18) = P( 2.

7、18) = (2.18) =1 (2.18) = 1 0.98537 = 0.01463. P(160 180) =0.98537 + 0.92647 1 = 0.91184. 徐凌第五章概率基础 随机变量及其分布 随机变量的数字特征 常用的连续分布 常用的离散分布 中心极限定理 一家公司在招收职员时，首先要通过两项能力测试。在A项测试 中，其平均分数是100分，标准差是15分；在B项测试中，其平 均分数是400分，标准差是50分。一位应试者在A项测试中得 了115分，在B项测试中得了425分。与平均分数相比，该应试者 哪一项测试更为理想? 徐凌第五章概率基础 随机变量及其分布 随机变量的数字

8、特征 常用的连续分布 常用的离散分布 中心极限定理 1随机变量及其分布 2随机变量的数字特征 3常用的连续分布 4常用的离散分布 5中心极限定理 徐凌第五章概率基础 随机变量及其分布 随机变量的数字特征 常用的连续分布 常用的离散分布 中心极限定理 已知100件产品中有5件次品，现从中任取1件，有放回地 取3次，求在所取的3件中恰有2件次品的概率。 某特效药的临床有效率为0.95，今有10人服用，问至少 有8人治愈的概率是多少？ 设随机变量 (2,), (3,)。若P( 1) = 5 9, 试 求P( 1). 徐凌第五章概率基础 随机变量及其分布 随机变量的数字特征 常用的连续分布 常用的离散

9、分布 中心极限定理 1随机变量及其分布 2随机变量的数字特征 3常用的连续分布 4常用的离散分布 5中心极限定理 徐凌第五章概率基础 随机变量及其分布 随机变量的数字特征 常用的连续分布 常用的离散分布 中心极限定理 将一枚硬币抛掷10000次，出现正面5800次，是否有理由 认为这枚硬币不均匀? 若硬币均匀，将其抛掷10000次，出现正面的次数大于或等 于5800次的可能性是多少? 徐凌第五章概率基础 随机变量及其分布 随机变量的数字特征 常用的连续分布 常用的离散分布 中心极限定理 一复杂系统由100个相互独立工作的部件组成，每个部件正 常工作的概率为0.9. 已知整个系统中至少有85个部

10、件正常工 作，系统才能正常工作。试求系统正常工作的概率。 设各零件的重量都是随机变量，他们相互独立，且服从相同 的分布，其数学期望为0.5kg，标准差为0.1kg。问5000只零 件的平均重量超过0.502kg的概率？ 徐凌第五章概率基础 随机变量及其分布 随机变量的数字特征 常用的连续分布 常用的离散分布 中心极限定理 定义随机变量为系统中正常工作的部件数，则由二项分布的定 义知 (100,0.9)。在中心极限定理的保证 下 (90,32)，则 := 90 3 (0,1)。因此系统正常工作的 概率为 P 85 = P 90 3 85 90 3 =P 1.67 (1.67) = 0.95254

11、 徐凌第五章概率基础 随机变量及其分布 随机变量的数字特征 常用的连续分布 常用的离散分布 中心极限定理 设随机变量为第件零件的重量（ = 1,2,.,5000）， 则E= 0.5，D= 0.12。由中心极限定理，5000只零件的平 均重量 1 5000 5000 =1 (0.5, 0.12 5000)， := 1 5000 5000 =1 0.5 0.1 5000 (0,1)。因此5000只零件的平均重量超过0.502的概率为 P 1 5000 5000 =1 0.502 = P 0.502 0.5 0.1 5000 =P 1.414213562 1 (1.414213562) =1 0.9

12、21350396 = 0.078649604 注：(1.414213562) = 0.921350396的计算结果是由EXCEL计算 得到的。若只能查表，则5000只零件的平均重量超过0.502的概 率为 1 (1.414213562) (1.41) = 1 0.9207 = 0.0793 徐凌第五章概率基础 随机变量及其分布 随机变量的数字特征 常用的连续分布 常用的离散分布 中心极限定理 将个观测数据相加时，首先对小数部分按“四舍五入”舍 去小数位后化为整数试利用中心极限定理估计， 1 当 = 1500时，舍入误差之和的绝对值大于15的概率； 2 满足何条件时，能以不小于0.90的概率使舍

13、入误差之和的 绝对值小于10 某一电器同时收到20个噪声电压, ( = 1,2,.,20). 设他 们是相互独立的随机变量，且都在区间(0,10)上服从均匀分 布。记 = 20 =1，求P( 105)的近似值。 徐凌第五章概率基础 随机变量及其分布 随机变量的数字特征 常用的连续分布 常用的离散分布 中心极限定理 设是第次的舍入误差，则由题设可以认为, = 1,2,. 独立且都在区间0.5,0.5上服从均匀分布, 则 = E() = 0, 2= Var() = 1 12. 记为次舍入误差之和，则由中心极限定 理我们有 (,2)，即 (0, 12)。 (1) 当n=1500时，舍入误差之和的绝对

14、值大于15的概率为 P(|1500| 15) = P( |1500 1500/12| 15 1500/12) 2(1 ( 15 1500/12) = 2(1 (1.34) = 0.1802. 徐凌第五章概率基础 随机变量及其分布 随机变量的数字特征 常用的连续分布 常用的离散分布 中心极限定理 (2) P(| 10) = P( | /12| 10 /12) 2( 10 /12) 1 0.9. ( 10 /12) (1 + 0.9)/2 = 0.95 = (1.645), 10 /12 1.645, 443.5. 即当 443.5 时，才能使误差之和的绝对值小于10的概率 不小于0.90 徐凌第

15、五章概率基础 随机变量及其分布 随机变量的数字特征 常用的连续分布 常用的离散分布 中心极限定理 的概率密度函数为() = 1 10,0 10。故其数字特征分别 为 = E= 10 0 () = 10 0 10 = 5, 2= D= 10 0 ( )2() = 10 0 ( 5)2 10 = 25 3 . 为20个独立同分布的随机变量之和，原始分布为对称分布，样 本量足够大。在中心极限定理的保证之 下， := 20 20 (0,1)，则 P 105 = P 2020 105 20 20 =P 105 100 2025 3 = P 0.39 =1 (0.39) = 1 0.6517 = 0.3483. 徐凌第五章概率基础