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1、第十章 圆锥曲线考点1 椭圆1（2018全国，12）已知F1，F2是椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的左，右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为36的直线上，PF1F2为等腰三角形，F1F2P=120，则C的离心率为()A23 B12 C13 D141.D 因为PF1F2为等腰三角形，F1F2P=120，所以PF2=F1F2=2c,由AP斜率为36得，tanPAF2=36,sinPAF2=113，cosPAF2=1213，由正弦定理得PF2AF2=sinPAF2sinAPF2,所以2ca+c=113sin(3PAF2)=11332121312113=25a=4c,e=14，选D.2
2、.（2017新课标,10）已知椭圆C： =1（ab0）的左、右顶点分别为A1 ， A2 ， 且以线段A1A2为直径的圆与直线bxay+2ab=0相切，则C的离心率为（ ） A. B. C. D.2. A 以线段A1A2为直径的圆与直线bxay+2ab=0相切， 原点到直线的距离 =a，化为：a2=3b2 椭圆C的离心率e= = = 故选A3.（2017浙江,）椭圆 + =1的离心率是（ ） A. B. C. D.3. B 椭圆 + =1，可得a=3，b=2，则c= = ，所以椭圆的离心率为： = 故选B4.(2016浙江，7)已知椭圆C1：y21(m1)与双曲线C2：y21(n0)的焦点重合，
3、e1，e2分别为C1，C2的离心率，则()A.mn且e1e21 B.mn且e1e21 C.mn且e1e21 D.mn且e1e214. A 由题意可得：m21n21，即m2n22，又m0，n0，故mn.又ee11，e1e21.5.(2016全国，11)已知O为坐标原点，F是椭圆C：1(ab0)的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PFx轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为()A. B. C. D.5.A 设M(c，m)，则E，OE的中点为D，则D，又B，D，M三点共线，所以，a3c，e.6.(2014大纲全国，6)已知椭圆
4、C：1(ab0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点.若AF1B的周长为4，则C的方程为()A.1 B.y21 C.1 D.16.A由椭圆的性质知|AF1|AF2|2a，|BF1|BF2|2a，AF1B的周长|AF1|AF2|BF1|BF2|4，a.又e，c1.b2a2c22，椭圆的方程为1，故选A.7（2018浙江，17）已知点P(0，1)，椭圆x24+y2=m(m1)上两点A，B满足AP=2PB，则当m=_时，点B横坐标的绝对值最大7.5 设A(x1,y1),B(x2,y2)，由AP=2PB得x1=2x2,1y1=2(y21),y1=2y23,因为A,B在椭圆
5、上,所以x124+y12=m,x224+y22=m, 4x224+(2y23)2=m,x224+(y232)2=m4，与x224+y22=m对应相减得y2=3+m4,x22=14(m210m+9)4，当且仅当m=5时取最大值.8.(2016江苏，10)如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆1(ab0)的右焦点，直线y与椭圆交于B，C两点，且BFC90，则该椭圆的离心率是_.8. 联立方程组解得B、C两点坐标为B,C,又F(c,0),则，又由BFC90，可得0，代入坐标可得：c2a20，又因为b2a2c2.代入式可化简为，则椭圆离心率为e.9.(2014辽宁，15)已知椭圆C：1，点M与C的焦
6、点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|BN|_.9.12设MN交椭圆于点P，连接F1P和F2P(其中F1、F2是椭圆C的左、右焦点)，利用中位线定理可得|AN|BN|2|F1P|2|F2P|22a4a12.10.(2014安徽，14)设F1，F2分别是椭圆E：x21(0bb0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于_.11.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入椭圆方程相减得0，根据题意有x1x2212，y1y2212，且，所以0，得a22b2，所以a22(a2c2)，整理得a22c2得，所以e.12（2018全国，20）
7、已知斜率为k的直线l与椭圆C：x24+y23=1交于A，B两点，线段AB的中点为M1，mm0（1）证明：k12；（2）设F为C的右焦点，P为C上一点,且FP+FA+FB=0证明：FA，FP，FB成等差数列，并求该数列的公差12.（1）设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x124+y123=1,x224+y223=1.两式相减，并由y1-y2x1-x2=k得x1+x24+y1+y23k=0.由题设知x1+x22=1,y1+y22=m，于是k=-34m.由题设得0m32，故k-12.（2）由题意得F(1,0)，设P(x3,y3)，则(x3-1,y3)+(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(
8、0,0).由（1）及题设得x3=3-(x1+x2)=1,y3=-(y1+y2)=-2mb0)的左焦点为F，上顶点为B. 已知椭圆的离心率为，点A的坐标为，且.（I）求椭圆的方程；（II）设直线l： 与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q. 若 (O为原点) ，求k的值.13.（）设椭圆的焦距为2c，由已知有，又由a2=b2+c2，可得2a=3b由已知可得， ， ，由，可得ab=6，从而a=3，b=2所以，椭圆的方程为（）设点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2）由已知有y1y20，故又因为，而OAB=，故由，可得5y1=9y2由方程组消去x，可得易知直线AB的方程为x
9、+y2=0，由方程组消去x，可得由5y1=9y2，可得5（k+1）=，两边平方，整理得，解得，或所以，k的值为或14.（2017江苏,17）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E： =1（ab0）的左、右焦点分别为F1 ， F2 ， 离心率为 ，两准线之间的距离为8点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1 ， 过点F2作直线PF2的垂线l2 （）求椭圆E的标准方程；（）若直线l1 ， l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标 14. （1）设椭圆的半焦距为c. 因为椭圆E的离心率为，两准线之间的距离为8，所以， ， 解得，于是， 因此椭圆E的标准方程是.（2）由（1）知， ，
10、 .设，因为点为第一象限的点，故.当时， 与相交于，与题设不符.当时，直线的斜率为，直线的斜率为.因为， ，所以直线的斜率为，直线的斜率为，从而直线的方程： ， 直线的方程： . 由，解得，所以.因为点在椭圆上，由对称性，得，即或.又在椭圆E上，故.由，解得； ，无解.因此点P的坐标为15.(2016全国，20)已知椭圆E：1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MANA.(1)当t4，|AM|AN|时，求AMN的面积；(2)当2|AM|AN|时，求k的取值范围.15.解(1)设M(x1，y1)，则由题意知y10.当t4时，E的方程为1,A(-2,
11、0).由|AM|AN|及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为.因此直线AM的方程为yx2.将xy2代入1得7y212y0，解得y0或y，所以y1.因此AMN的面积SAMN2.(2)由题意t3，k0，A(，0)，将直线AM的方程yk(x)代入1得(3tk2)x22tk2xt2k23t0.由x1()得x1，故|AM|x1|.由题设，直线AN的方程为y(x)，故同理可得|AN|.由2|AM|AN|得，即(k32)t3k(2k1)，当k时上式不成立，因此t.t3等价于0，即0.由此得或解得kb0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l：yx3与椭圆E有且只有一个公共点T.(1)求椭圆E的方程及点T的坐标；(2)设O是坐标原点，直线l平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P.证明：存在常数，使得|PT|2|PA|PB|，并求的值.16.(1)解由已知，ab，则椭圆E的方程为1.由方程组得3x212x(182b2)0.方程的判别式为24(b23)，由0，得b23，此时方程的解为x2，所以椭圆E的方程为1.点T的坐标为(2，1).(2)证明由已知可设直线l的方程为yxm(m0)，由方程组可得所以P点坐标为.|PT|2m2.设点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2).由方程组可得3x24mx(4m212)0.方程的判别式为16(9
