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1、一、梯形法的递推化,前面介绍的复化求积公式对提高精度是行之有效的，但使用前必须给出合适的步长h，如何给出？,h太小则计算量增加,h太大则精度不满足,1.定义：变步长求积法,变步长求积法就是在步长逐次分半（即步长二分）的过程中，反复利用复化求积公式进行计算，直至所求得的积分值满足精度要求为止。,下面讨论变步长的梯形法的计算规律。,2.变步长的梯形法,设将区间a,b分为n等份，共有n+1个分点,其步长,，在每个小区间xk，xk+1上,用梯形公式计算为,如果再二分一次，则步长减半，即h/2，分点增至2n+1个，记区间xk，xk+1上,经过二分后新增分点为,用复化梯形公式求得该区间上的积分值为,故在整
2、个区间上的积分值为,即,只需计算新增分点的函数值,这里的h是二分前的步长,举例,计算积分值,详见书上本节例2，计算时要注意公式中步长的含义。,请回答：本例最后结果二分多少次？共有多少个分点？,答：二分10次，共有210+1=1025个分点，将区间平分为210=1024份。,变步长梯形法的优缺点：,优点,算法简单，便于编程,缺点,精度较差，收敛速度缓慢,二、龙贝格（Romberg）公式,复化梯形法的误差公式当h0时为：,即积分值Tn的截断误差大致与h2成正比，因此当步长二分后，截断误差将减至原有误差的1/4，有,整理得,即,上式说明T2n的误差大致等于,如果用这个误差作为T2n的一种补偿，可以期
3、望所得到的,可能是比T2n更好的结果。,事实上，当n=1时,那么其实质究竟是什么呢？,这就是说用梯形法二分前后的两个积分值Tn与T2n组合成就是辛甫生公式Sn。即,再考察复化辛甫生公式,复化辛甫生公式的误差公式当h0时为：,即积分值Sn的截断误差大致与h4成正比，因此当步长二分后，截断误差将减至原有误差的1/16，有,整理得,可以验证这样的组合就是柯特斯公式,这就是说用辛甫生法二分前后的两个积分值Sn与S2n组合成柯特斯公式Cn。即,重复同样的手续，依据柯特斯公式的误差阶为h6，可进一步导出下列龙贝格公式：,综合上面的加工过程，有,实质：将粗糙的梯形公式值逐步加工成精度较高的公式,对梯形公式加
4、工：,对辛甫生公式加工：,对柯特斯公式加工：,能否对龙贝格公式再加工取得较高精度的公式？,现在的问题是：,李查逊（Richardson）外推加速法,三、李查逊外推加速法,定理,设，则成立,式中系数与h无关,李查逊外推加速法基于如下原理,李查逊外推加速法的处理过程：,由,那么,可知T(h)I是二阶收敛的,则得,这样构造的T1(h)I是四阶收敛的,这里的均与h无关,与龙贝格公式的构造相比，这里的,就是辛甫生公式。,又根据,有,若,则又可以进一步消去展开式中的h4项，而有,这样构造出的T2(h)，其实就是柯特斯公式序列，它与积分值I的逼近阶为六阶。,如此继续下去，每加速一次，误差的量级便提高2阶，这就是李查逊外推加速法。,若记T0(h)=T(h)，则Richardson加速法可表示为,作业：习题13,谢谢！,
