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1、,第十三章 应力状态分析,工程力学,第十三章 应力状态分析,131 应力状态的概念 132 平面应力状态分析解析法 133 平面应力状态分析图解法,134 空间应力状态简介,135 复杂应力状态下的应力-应变关系（广义虎克定律）,13 应力状态的概念,应力状态分析,一、引言,铸铁与低碳钢的拉、压、扭的破坏原因？,铸 铁 压 缩,铸 铁 扭 转,铸 铁 拉 伸,低 碳 钢 扭 转,切 中 有 拉,重 要 结 论,不仅横截面上存在应力，斜截面上也存在应力；不仅要研究横截面上的应力，而且也要研究斜截面上的应力。,横截面上正应力分析和切应力分析的结果表明：同一面上不同点的应力各不相同，此即应力的点的概
2、念。,微元平衡分析结果表明：即使同一点不同方向面上的应力也是各不相同的，此即应力的面的概念。,三、单元体应力状态的表示：,二、一点的应力状态： 过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，称为这点的应力状态（State of Stress at a Given Point）。,单元体的性质 a、任一面上，应力均布； b、平行面上，应力相等。,单元体构件内的点的代表物，是包围被研究点的无限小的几何体，常用的是正六面体。,x,y,z,s,x,sz,s,y,四、切应力互等定理（Theorem of Conjugate Shearing Stress): 过一点的两个正交面上,如果有与相交边
3、垂直的切应力分量,则两个面上的这两个切应力分量一定等值、方向相对或相离。,五、取单元体：,例1 画出下列图中的A、B、C点的已知单元体。,S平面,六、主单元体、主平面、主应力：,主单元体(Principal bidy)： 各侧面上切应力均为零的单元体。,主平面(Principal Plane)： 切应力为零的截面。,主应力(Principal Stress ）： 主平面上的正应力。,主应力排列规定：按代数值大小，,s1,s2,s3,x,y,z,sx,sy,sz,单向应力状态（Unidirectional State of Stress）： 三个主应力中，只有一个主应力不为零的应力状态。,二向应
4、力状态（Plane State of Stress）（平面应力状态） 三个主应力中，只有一个主应力为零的应力状态。,三向应力状态（ ThreeDimensional State of Stress）： 三个主应力都不为零的应力状态。,132 平面应力状态分析解析法,应力状态分析的任务： 1.任意斜截面上的应力。 2.主应力的大小及主平面的方位。 3.最大剪应力。,规定： 截面外法线同向为正； t a绕研究对象顺时针转为正； a逆时针为正。,图1,设：斜截面面积为S，由分离体平衡得：,一、任意斜截面上的应力,图1,考虑切应力互等和三角变换，得：,同理：,二、极值应力,三、主应力大小及方向,四、最
5、大切应力,空间应力状态：,例2 分析受扭构件的破坏规律。,解：确定危险点并画单元体,求主应力及最大切应力,O,破坏分析,铸铁,解：,例3 用解析法求斜截面上的应力。,O,例4 用解析法确定图示应力状态的主应力大小、主平面方位、最大切应力。,解：,1,x,22.5o,2,O,133 平面应力状态分析图解法,对上述方程消去参数（2），得：,一、应力圆（ Stress Circle）,此方程曲线为圆应力圆（或莫尔圆，由德国工程师：Otto Mohr引入）,建立应力坐标系，如下图所示， （注意选好比例尺）,二、应力圆的画法,在坐标系内画出点A( x，xy)和B(y，yx),AB与sa 轴的交点C便是圆
6、心。,以C为圆心，以AC为半径画圆应力圆；,三、单元体与应力圆的对应关系,三、单元体与应力圆的对应关系,2a0,四、在应力圆上标出极值应力,例5 求图示单元体的主应力及主平面的位置。(单位：MPa),A,B,解：主应力坐标系如图,AB的垂直平分线与sa 轴的交点C便是圆心，以C为圆心，以AC为半径画圆应力圆,s1,s2,在坐标系内画出点,s1,s2,主应力及主平面如图,A,B,解法2解析法：,例6 如图，已知梁发生剪切弯曲（横力弯曲），某截面上M、Q0，试确定此截面上各点主应力大小及主平面位置。,解：由梁弯曲应力公式：,1,s1,s3,s3,s1,s3,4,s1,s1,s3,5,a0,45,a
7、0,s,t,A1,A2,D2,D1,C,O,s,A2,D2,D1,C,A1,O,t,2a0,s,t,D2,A2,C,D1,O,2a0= 90,s,D2,A1,O,t,2a0,C,D1,A2,s,t,A2,D2,D1,C,A1,O, 三向应力状态的应力圆 面内最大切应力与最大切应力, 平面应力状态作为三向应力 状态的特例,至少有一个主应力及其主方向已知,三向应力状态特例的一般情形,定义：三个主应力都不为零的应力状态；,由s2 、 s3可作出应力圆 I,平行于s1 的方向面其上之应力与s1无关,由s1 、 s3可作出应力圆II,I,平行于s2的方向面其上之应力与s2无关.,II,I,由s1 、 s
8、2可作出应力圆 III,平行于s3 的方向面其上之应力与s3 无关,II,I,s3,III,s2,s1,面内最大切应力和最大切应力,面内最大切应力和最大切应力,面内最大切应力和最大切应力,面内最大切应力和最大切应力,在三组特殊方向面中都有各自的面内最大切应力,即：,面内最大切应力和最大切应力,一点处应力状态中的最大切应力只是、 中最大者，即:,面内最大切应力和最大切应力,求：平面应力状态的主应力1、2 、 3和最大切应力tmax,tmax,平面应力状态作为三向应力状态的特例,求：平面应力状态的主应力1、2 、 3和最大切应力tmax,平面应力状态作为三向应力状态的特例,求：平面应力状态的主应力
9、1、2 、 3和最大切应力tmax,平面应力状态作为三向应力状态的特例,例1 求图示单元体的主应力和最大切应力。（MPa）,解：由单元体图知：y z面为主平面,50,40,30,A,B,C,应力应变分析 强度理论,135 复杂应力状态下的应力 - 应变关系 （广义虎克定律）,一、单拉下的应力-应变关系,二、纯剪的应力-应变关系,三、复杂状态下的应力 - 应变关系,依叠加原理,得:,sz,sy,sx,主应力 - 主应变关系,四、平面状态下的应力-应变关系:,方向一致,五、体积应变与应力分量间的关系,体积应变：,体积应变与应力分量间的关系:,令:,体积应变只与平均应力有关，而与三个主应力各自的绝对值无关。 如单元体上有切应力作用，则切应力不影响该点处的体积应变。,例2 已知一受力构件自由表面上某一点处的两个面内主应变分别为：i=24010-6， j=16010-6，弹性模量E=210GPa，泊松比为 =0.3， 试求该点处的主应力及另一主应变。,所以，该点处为平面应力状态,应力应变分析 强度理论,应力应变分析 强度理论,60,60,100,50,50,课堂练习题：求图示应力状态（单位为MPa）主应力的大小。,本章作业,第一次：131，136，137 第二次：1310，1313，1314,
