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1、第3篇 运动学与动力学,运动学是研究物体运动的基础。 它描述物体在空间的位置随时间的变化，即运动，而不考虑引起运动的起因。 涉及：矢量、速度、加速度等。,动力学是研究物体受力与运动之间的关系。 它描述物体运动与力的之间的关系。包括以牛顿定律延伸出的物体受力与运动规律、定理等。 涉及：动力学两大类问题、动力学三大定理。,第13章 点的运动与刚体的基本运动,点的运动 刚体的基本运动,13.1 点的运动学,运动学研究模型概念：,点：不考虑质量和大小及形状时的物体 点是运动学研究模型之一,刚体：不考虑质量；但是,其大小及形状不可忽略的物体 刚体是运动学研究的另一物体模型,13.1 点的运动学,作为描述
2、物体与之相对位置的参考物体,13.1.1 参考系,1）参考体,建立在参考体上的坐标系 在工程中的力学研究中，需要指明参考体；通常将参考系固定在地面上，或者机器的机架上,2）参考系,13.1 点的运动学,13.1.2 描述点运动的矢量法,考虑点M运动：,运动方程：,r = r(t),(13-1),以某确定点为参考点，以参考点到动点位置为矢径来描述点的位置的方法矢量法,速度：,v =,(13-2),单位: m/s，,方向:轨迹切线,加速度：,a =,=,(13-3),单位：,m/s2,13.1 点的运动学,13.1.3 描述点运动的直角坐标法,考虑点M在坐标系中的坐标：,(x,y,z),r = x
3、.i + y.j + z.k,(13-4),运动方程：,x = f1(t),y = f2(t),z = f3(t),(13-5),式（13-6）称为直角形式的运动方程； 消去参数 t 得到点的轨迹方程,F(x,y,z) =0,(13-6),13.1 点的运动学,13.1.3 描述点运动的直角坐标法,r = x.i + y.j + z.k,(13-4),速度：,v =,(13-7),设：速度在直角坐标轴上的投影:,(vx，vy，vz),v = vx.i + vy.j + vz.k,(13-8),得到：,(13-9),结论： 点的速度在直角坐标轴上的投影，等于点的对应坐标对时间的一阶导数,13.1
4、 点的运动学,13.1.3 描述点运动的直角坐标法,r = x.i + y.j + z.k,(13-4),速度：,v = vx.i + vy.j + vz.k,(13-8),加速度：,= ax.i + ay.j + az.k,(13-10),其中：(ax，ay，az),表示加速度在直角坐标轴上的投影。,得到：,(13-11),椭圆规的曲柄OC 可绕定轴O 转动，其端点C 与规尺AB 的中点以铰链相连接，而规尺A，B 两端分别在相互垂直的滑槽中运动。,求： M 点的运动方程, 轨迹, 速度, 加速度,例13-1,j,解：,：x=x(t)， y=y(t)。,x = (OCcos j +CMcos
5、j),= (l+a)coswt,y = AMsin j,= (l-a) sinwt,点M作曲线运动，取坐标系xOy,运动方程,j,x= (l+a)coswt,y= (l-a) sinwt,消去参数t，得轨迹方程：,椭圆,速度：,=- (l+a)wsinwt,= (l-a)wcoswt,cos(v,i)=,cos(v,j)=,x= (l+a)coswt,y= (l-a) sinwt,加速度：,cos(a,i) =,cos(a,j) =,#,j,= (l+a)w2coswt,= (la)w2sinwt,13.1 点的运动学,13.1.4 描述点运动的弧坐标法,利用点的运动轨迹建立坐标系，并描述和分
6、析点的运动的方法弧坐标法,运动方程：,s= f (t),(13-12),该式称为：以弧坐标表示的点的运动方程,速度：,(13-15),速度大小：,v =,方向： 沿动点轨迹的切线方向（与运动方向一致）,13.1 点的运动学,13.1.4 描述点运动的弧坐标法,加速度：,a =,=,t + v,反映速度大小变化at,反映速度方向变化an,(13-16),切向加速度：,(13-20),法向加速度：,(13-22),a = at + an,(全)加速度：,(13-18),13.1 点的运动学,13.1.4 描述点运动的弧坐标法,切向加速度反映的是速度值对时间的变化率，方向沿轨迹的切线方向；法向加速度
7、是加速度方向的改变率，方向永远指向曲率中心。,大小：,方向：,列车沿半径为R=800m的圆弧轨道作匀加速运动。如初速度为零，经过2min后，速度到达54km/h。求：列车起点和未点的加速度。,例13-2,R,O,解：,分析：,v0=0，at=Constant，t=120s， v =15m/s,列车作曲线加速运动， 取弧坐标如图,积分得：,v = at t,at = v / t,=0.125m/s2,R,O,列车沿半径为R=800m的圆弧轨道作匀加速运动。如初速度为零，经过2min后，速度到达54km/h。求：列车起点和未点的加速度。,例13-2, t = 0 , an= 0 , a = at
8、= 0.125m/s2, t = 2min =120s,= 0.308m/s2,#,13.2 刚体的基本运动,刚体基本运动的两个类型：,平行移动,定轴转动,13.2 刚体的基本运动,13.2.1 平移,刚体运动时，其上一直线在运动过程中始终平行于初始位置称为平行移动，简称平移。,A、B两点的轨迹相同,rA= rB+ rAB,13.2 刚体的基本运动,13.2.1 平移,rA= rB+ rAB,速度：,故,vA= vB,(13-24),加速度：,得,aA= aB,(13-25),结论： 当刚体做平动时，其上各点的轨迹形状相同； 在每一瞬时的速度、加速度也相同,平移刚体运动，可看作点的运动研究,1
9、3.2 刚体的基本运动,13.2.2 定轴转动,称为定轴转动,运动刚体上(或其扩展部分) 有一条直线始终保持不动。,w,运动方程：,定轴转动刚体位置：j 转角(rad),j = f(t),(13-26),角速度：,(13-27),方向：逆时针为正,，单位：弧度/秒 (rad/s),13.2 刚体的基本运动,13.2.2 定轴转动,w,角速度与工程转速关系：,转速n：r/min(转/分)rpm,(13-28),13.2 刚体的基本运动,13.2.2 定轴转动,w,角加速度：,(13-29),角加速度的大小等于角速度对时间的一阶导数；或等于转角方程对时间的二阶导数。,单位：弧度/秒2 (rad/s
10、2),例13-5,计算机硬盘驱动器的电机匀变速转动，启动后为了尽快达到最大转速，要求3s内转速从零增加到3000r/min ，求电机的角加速度及转过的转数。,解：,t = 0 , w0 =0,t = 3s :,=100p (rad/s),= 常量（匀变速转动）,积分：,解得：,又：,例13-5,计算机硬盘驱动器的电机匀变速转动，启动后为了尽快达到最大转速，要求3s内转速从零增加到3000r/min ，求电机的角加速度及转过的转数。,积分：,#,解得：,=150(rad),N =,=75(转),13.2 刚体的基本运动,13.2.2 定轴转动,定轴转动刚体上各点的速度和加速度,O,转动方程：,s
11、 = rj,(13-30),速度：,= rw,(13-31),加速度：,= ra,(13-32),= rw2,(13-33),(13-34),13.2 刚体的基本运动,13.2.2 定轴转动,定轴转动刚体上各点的速度和加速度,速度、加速度分布情况：,速度分布三角形,v= rw,at= ra,an= rw2,q,加速度分布三角形,例：13-6,汽轮机叶轮由静止开始作匀加速转动。 轮上M点距轮心为r，在某瞬时的全加速度与转轮半径之间的夹角为 求叶轮的转动方程及 t =2s 时M点速度和法向加速度。 设：a=40m/s2；t=0；j0=0，q=30，r=0.4m。,分解M点的全加速度（切线和法线方向
12、） 则，切向加速度和角加速度为：,匀加速转动，角加速度a =常量，且与a同向,解：,由初始条件，得叶轮的转动方程,当 t=2s 时，叶轮的角速度为：,求得M点的速度及法向加速度分别为：,#,13.2 刚体的基本运动,13.2.2 定轴转动,用矢量表示定轴转动刚体的角速度与角加速度,角速度矢量,指向： 右手螺旋规则,大小:,=,作用线: 沿轴线滑移,矢量表示：,(13-35),13.2 刚体的基本运动,13.2.2 定轴转动,用矢量表示定轴转动刚体的角速度与角加速度,角加速度矢量,方向： 右手螺旋规则,或,(13-35),13.3 结论与讨论,13.3.1 点得运动学的两类应用问题,积分问题和微分问题,13.3.2 描述点运动的不同方法,13.3.3 刚体基本运动分析中需要注意的几个问题,刚体平移运动的特点，刚体平移归点的运动分析 注意点的运动与刚体运动的区别与联系。刚体运动是整体运动，刚体上的点的运动是随刚体的特定位置运动 注意将计算结果与点的运动性质相联系,第13章,结束,
