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1、1 第五章第五章 对流换热的基本方程对流换热的基本方程 51 对流换热的基本概念对流换热的基本概念 一、对流换热 流体中温度不同的各部分相互混合的宏观运动，会引起热量的传递，而流体也是物质， 当其中的各部分温度不均匀时， 也将本能地产生导热。 对流换热就是相对运动着的流体与所 接触的固体壁面之间的换热过程。 如果流体的运动是由于流体内部各部分间温度的不同， 从 而引起密度的不同而产生的，这样的对流称为“自然对流”或“自由对流” ；若流体的运动 是借助于泵或风机一类的设备或是靠其它的压力所驱动而产生的， 这种对流称为 “强制对流” 或“强迫对流” 。 当流体以自由流速度 u流经一个 固体壁面时，
2、由于流体有粘性，受壁面 摩擦阻力的影响，使得靠近壁面附近的 流体流速迅速降低，壁面处的流体完全 被滞止不动。 对于无界流动来说， 如图 5 1 中的（a）所示，理论上壁面的影响 可以传播到离壁面无穷远处，但是实际 上只有近壁处才存在着明显的速度梯 度。通常把速度在垂直于壁面方向上从 零变化到 99% u的区域称为“速度边界层”或“流动边界层” ，其厚度以表示。对流换 热过程热阻的主要部分就集中在这一贴近壁面的薄层内， 对流换热实质上是该速度边界层内 流体的热传导和运动着的流体进行能量传递两个因素联合作用的结果， 传递的热量一旦穿过 了这一薄层后，就很容易被层外的核心流体所带走，所以，对流换热的
3、强弱主要取决于速度 边界层的厚度和特性。 与速度边界层类似，有一个温度边界层。当温度为 T的流体流经温度为 w T的固体壁 面时，如果 TTw，在没有接触热阻的情况下，与壁面直接接触的流体在壁面处通过导热 获得热量， 而且此处流体的温度就是壁面温度， 然后这些流体和与它相邻的流体层交换热量， 随着离壁面距离y的增加，流体的流速也随之增加，流体的流动陆续将更多的热量带走， 因而减少了沿y轴方向的热流，使得沿 y 轴方向的温度连续下降，温度的分布趋于平坦化， 也就是说，在紧靠壁面处流体有温度梯度，如图 51 中的（b）所示，存在温度梯度的这一 区域称为“热边界层”或“温度边界层” ，其厚度以 T
4、表示。热边界层外边缘处的温度达 99% T。在热边界层厚度以外的区域可看成是无热量传递的等温区。 热量从壁面传给贴壁的那部分流体，是依靠流体的导热。由傅立叶导热定律可求得壁 面处的热流密度 w q为 w w n T q = （51） T y u u T T w T x )(a )(b 图图 51 流体流过固体壁面流体流过固体壁面 2 其中，为流体的导热系数， w n t 为壁面处法向流体的温度梯度 。 也可以用牛顿冷却公式： )( =TTq ww （52） 来确定热流密度 w q。其中，为对流换热系数。 综合上述两式，对流换热系数可用下式表示： () = TT n T w w （53） 由式（
5、53）可见，对流换热系数取决于流体的导热能力、温度分布、特别是贴近 壁面处流体的温度梯度。 而贴近壁面处流体的温度梯度又与流体的运动状况尤其是贴近壁面 处流体的运动状况密切相关。流体的运动状况包括流速的大小、流动的结构、壁面的形状、 位置和尺寸、以及流体的性质等多种因素有关，因此，若要求得对流换热系数，应该要有 描述流体速度场和温度场的微分方程。 二、速度场和温度场 通常，流体的速度场和温度场是相互作用的。在描述流体流动的 NavierStokes 方程 （运动微分方程）中，若流体的物性参数不随温度变化，则速度场或和流动边界层的发展就 不受换热的影响，这时，速度边界层和流动的发展纯粹是一个流体
6、力学的问题，运动微分方 程和连续方程组成的方程组可以独立求解。但是，对于实际的流体而言，所有的物性参数都 会随着温度而变化，所以，流体的流动过程与换热过程之间就产生相互影响，也就是说，速 度场与温度场是相互影响的，流动与换热是耦合的。要充分描述流体流动的状态，必须求出 流动的各分速度、温度、压力、密度、粘度和导热系数等，这需要将动量守恒方程、质量守 恒方程、能量方程、状态方程以及粘度和导热系数的经验关系式等联立求解。 52 质量守恒定律和连续性方程质量守恒定律和连续性方程 质量守恒是自然界的一条基本定律。作为连续的单相介质，流体的流动亦必须遵循质 量守恒的自然规律。在流 场中取边长为 dx、d
7、y、dz 的微元平行六面体作为控 制容积，如图 52 所示， 微元平行六面体的形心坐 标为 x、y、z，在某一瞬 时，经过形心的流体质 点的速度矢量 V 在直角坐 标系中的三个分量分别是 u、v 和 w。 在沿着 x 方向，流入 控制容积的质量流量为 udydzdydzM x =， dx dy dz u w v dydz dx x u u dx x ) 2 )( 2 ( dzdx dy y v v dy y ) 2 )( 2 ( + + dydz dx x u u dx x ) 2 )( 2 ( + + dxdy dz z w w dz z ) 2 )( 2 ( dzdx dy y v v d
8、y y ) 2 )( 2 ( 0 y x z dxdy dz z w w dz z ) 2 )( 2 ( + + 图图 52 控制容积控制容积 3 流出控制容积的质量流量为dydzdx x u udydzdx x M M x x += + )( )( ， 则在 x 方向流 入和流出该控制容积的质量流量差为 dxdydz x u dydzdx x u uudydz = + )()( 同样可得，沿着 y 轴和 z 轴方向流入和流出该控制容积的质量流量差分别为 dxdydz y v )( dxdydz z w )( 因此，流入和流出该控制容积的总的质量流量差为 dxdydz z w y v x u
9、dAv CS n + + = )()()( 微元控制体内由于密度的变化引起流体质量的变化为 dxdydzdxdydz CV = 根据质量守恒定律，流入和流出该控制容积的质量差应等于该容积的质量变化。 0 )()()( = + + + z w y v x u （54） 这就是流体的连续性方程式。 对于可压缩流体的定常流动，0= ，得 0 )()()( = + + z w y v x u （54a） 对于不可压缩流体的定常或非定常流动，等于常数，则有 0= + + z w y v x u （54b） 如采用圆柱坐标系，对于不可压缩流体，连续性方程为 0 1 = + + z vv rr v r v
10、zrr （54c） 如采用球坐标系，则对于不可压缩流体，连续性方程为 0 2 sin 11 =+ + + r ctgv r v v r v rr v rr （54d） 53 动量守恒定律和动量方程动量守恒定律和动量方程 4 动量守恒定律是根据牛顿第二定律分析物体运动而得出的一条基本定律。 流体在连续运 动时，除了受质量守恒的约束以外，还应遵循牛顿第二定律，即作用在流体控制容积上的全 部外力之和应等于 该容积中流体动量 的变化率。 控制容积 内流体动量的变化 包括进出控制容积 的动量之差与控制 容积内流体质量的 动量变化。 在运动着的粘 性流体中取一个边 长为 dx、dy、dz 的 平行六面体的
11、流体 微团来讨论，如图 5 3 所示，沿 x 方向 进入的质量流量为 udydz，则每单 位 时 间 内 沿 x 方 向 进 入 的 动 量 为dydzu 2 ， 而 沿 x 方 向 输 出 的 动 量 为 dydzdx x u u + )( 2 2 ，净量输出为dxdydz x u )( 2 ；同样，进入下表面的质量流 量为vdxdz，由此每单位时间内沿 x 方向进入的动量为uvdxdz，而从上表面 x 方向 输出的动量为dxdzdy y uv uv + )( ，净量输出为dxdydz y uv )( ；进入后表面的 质量流量为wdxdy，由此每单位时间内沿 x 方向进入的动量为uwdxdy
12、，而从前表面 x 方向输出的动量为dxdydz z uw uw + )( ，净量输出为dxdydz z uw )( 。于是， 单位时间内单位体积 x 轴向的动量变化率为 z uw y uv x uu + + + )()()()( 2 。 对乘积的微分进行展开， 同时引进连续性方程， 则单位时间内单位体积 x 轴向的动量变化率 为 d du z u w y u v x u u u = + + + 。其中， d du 是 u 对时间的全导数。 如此的一个微元体在运动着，因是粘性流体，作用在控制容积流体上的力需考虑质量 力和表面力。其中，质量力也叫做体积力，是外力场作用在流体单元上的力，如重力场中流
13、 体所受到的重力， 自然对流时流体所受到的浮力， 以及处在电磁场中的流体所受到的电磁力 dy y 0 x dx dydzu )( 2 dxdzdy y vu vu + )( )( dydzdx x u u + )( 2 2 dxdzvu)( z dz dxdyuw)( dxdydz z wu wu + )( )( 图图 53 平行六面体的流体微团平行六面体的流体微团 5 等。 设每单位质量流体受到的质 量力为f，则此流体单元受到的 质量力为dxdydzf， kfjfiff zyx rrrr += （55） 表面力是作用在微元体表面 上的力，包括法向力和切向力两 种。取如图 54 微元体所受的应
14、 力体系， 质量力通过形心 M。 法向 应力垂直于表面， 切向应力是由于 流体的粘性导致各层流体的流速不等而引起的流体层表面之间的切向剪应力。 图中 p 代表法 向应力，代表切向应力，它们都有两个下标，第一个表示应力所在的平面的法线方向，第 二个表示应力本身的方向。为方便起见，假定所有法向应力都沿着所在平面的外法线方向， 切向应力在经过),(zyxA点的三个平面上的方向与坐标轴的方向相反，其他三个平面上 的则相同。 根据动量定律，在沿着 x 方向，所受到的合力作用的结果就等于动量的增量。 d du dxdydzdxdydz z dxdy dzdxdy y dzdxdydzdx x p pdydzpdxdydzf zx zxzx yx yxyx xx xxxxx = + + + )( )()( （56） 化简后得 )( 11 zyx p f d du zx yx xx x + + += （57a） 同理可得 )( 11 xzy p f d dv xyzyyy y + + += （57b） )( 11 yxz p f d dw yx xzzz z + + += （57c） 此即以应力形式表示的动量方程。 根据达朗伯原理，作用于微元平行六面体上的各力 对通过中心 M 并与 z 轴相平行的轴 （图 55） 的力矩之 和应等于零。又由
