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1、第13讲：数形结合思想情形之18-21【知识要点】 一、数学思想是人对数学知识的本质认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点，它在认识过程中被反复运用，带有普遍的指导意义.是建立数学和用数学解决问题的指导思想，而且数学思想是数学学科的精髓，是数学素养的重要内容之一.学生只有领会了数学思想，才能有效地应用知识，形成能力.在我们解决数学问题进行数学思维时，也总是自觉或不自觉地运用数学思想方法.高中数学解题常用的数学思想有数形结合思想、分类讨论思想、转化化归思想、函数方程思想等.二、数形结合，是中学数学最重要的思想方法之一.著名数学家华罗庚先生说：“数与形本是相倚依，怎能分
2、作两边飞，数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休。切莫忘，几何代数流一体，永远联系切莫分离. ”它精辟地阐述了数形结合的重要性，它不仅是一个重要的数学思想，而且是一种重要的解题方法. 因而数形结合的能力必然是历年高考的一个重点.所谓数形结合的思想方法，就是由数学问题所呈现的条件和结论，通过研究数式的几何意义，或者研究几何问题的代数意义，设法沟通数学问题在数量关系和空间形式的内在联系，使隐含条件明朗化，复杂问题简单化，抽象问题具体化，开拓题目新思路，以便最终找到解决问题的带有数形信息转换特征的数学方法.数形结合思想就是把“数”和它对应的“形”联系起来分析解答数学问题，以形
3、助数，以数解形，数形互助，提高解题效率，优化解题.高中数学中数形结合的情形很多，常见的情形见后面的方法讲评.三、数形结合要注意三个原则：等价性原则、双向性原则、简单性原则.四、本讲讲了数形结合思想情形之18-21, 情形18：直线参数方程中，直线上的点在定点上方时，表示和两点间的距离,直线上的点在定点下方时，表示和两点间的距离的相反数,当直线上的点和定点重合时，；情形19：函数的零点为表示函数的图像与轴交点的横坐标为；情形20：表示在方向上的投影；情形21：表示曲线上动点到极点的距离.【方法讲评】数形结合情形十八数形直线参数方程中的.直线上的点在定点上方时，表示A和P两点间的距离,直线上的点在
4、定点下方时，表示A和P两点间的距离的相反数,当直线上的点C和定点重合时，.表示直线上两点之间的距离.【例1】在直角坐标系中，以原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线的极坐标方程为， 点的极坐标为，在平面直角坐标系中，直线经过点，斜率为.（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的参数方程；（2）设直线与曲线相交于， 两点，求的值.即（为参数）（2）将的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得，【点评】（1）利用直线的参数方程解题时，首先要理解直线参数方程中的几何意义. 直线上的点在定点上方时，表示和两点间的距离,直线上的点在定点下方时，表示和两点间的距离的相反数,当直线上的点C和定点重合时，. （
5、2）为了确定参数的几何意义，所以一般要先画图，确定动点与定点的上下位置关系，但是并不是每题都要画图，本题中不需要画图，也不需要画图. （3）直线和曲线相交产生的弦长，可以作为公式记下来直接使用.【反馈检测1】在极坐标系中，曲线，曲线.以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数）.（1）求的直角坐标方程；（2）与交于不同四点，这四点在上的排列顺次为，求的值.数形结合情形十九数形函数的零点为函数的零点为表示函数的图像与轴交点的横坐标为.函数有个零点函数有个零点表示函数的图像与轴有个交点.【例2】（2016年北京高考文科）设函数（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，若
6、函数有三个不同零点，求c的取值范围；（3）求证：是有三个不同零点的必要而不充分条件.令，得，解得或与在区间上的情况如下：所以，当且时，存在，使得由的单调性知，当且仅当时，函数有三个不同零点（3）当时，此时函数在区间上单调递增，所以不可能有三个不同零点当时，只有一个零点，记作当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递增因此是有三个不同零点的必要而不充分条件【点评】（1）本题的第2问是用数形结合解答的，只要满足极大值大于零且极小值小于零，则函数图像与轴会有三个不同的交点，函数有三个不同零点.(2)本题的第3问， ，是一个二次函数，但是由于该二次函数与轴的交点的个数不确定，所以要就判别式分类讨论，
7、分类讨论时结合数形结合比较直观地看到函数的单调性，从而得到零点的个数.【反馈检测2】函数 （1）当时，若函数与的图象有且只有3个不同的交点，求实数的值的取值范围；（2）讨论的单调性数形结合情形二十数形表示在方向上的投影.【例3】在中，若，则向量在上的投影是（ ）A. B. C. D. 【点评】（1）由于向量在上的投影，所以首先要求和,这两个解题目标可以通过正弦定理和余弦定理完成. （2）向量在向量上的投影是一个矢量，既有大小也有方向，所以其值可以是一个非负数，也可以是一个负数. 本题就是一个负数.【反馈检测3】在中，边上的高为在上，点位于线段上，若，则向量在向量上的投影为（ ）A. B. 1
8、C. 1或 D. 数形结合情形二十一数形表示曲线上动点到极点的距离.表示复数的模.表示向量的模（长度）【例4】在直角坐标系中，曲线，曲线的参数方程为：，（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系.（1）求的极坐标方程；（2）射线与的异于原点的交点为，与的交点为，求.（2）射线的极坐标方程为，与曲线的交点的极径为.射线与曲线的交点的极径满足，解得.所以.【点评】（1）第2问如果把所有的条件都化成直角坐标再解答也可以，但是可能计算量比较大.如果直接利用极坐标来解答，可能简洁了许多，解题效率也提高了许多.把射线的极坐标方程为带入曲线和,得到和，从而. （2）解答参数方程极坐标问题，通常先把所有
9、条件化成直角坐标解答，再把结果还原成参数方程和极坐标，但是这种方法通常比较繁琐，解题效率较低.我们要试着用参数方程极坐标解答参数方程极坐标的问题，提高解题效率.【反馈检测4】在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点的极坐标为，点的极坐标为，曲线（1）求曲线和直线的极坐标方程；（2）过点的射线交曲线于点，交直线于点，若，求射线所在直线的直角坐标方程.数学思想在高中数学中的应用情形归纳 第05讲：数形结合思想情形之18-21参考答案【反馈检测1答案】（1）， （2）【反馈检测1详细解析】（1）因为，由得，所以曲线的直角坐标方程为，由得，所以曲线的直角坐标方程为：.（2）不妨设四个交点自下而上依次为，它们对应的参数分别为.把代入，得，即，则， ，所以.【反馈检测2答案】（1）；（2）见解析.【反馈检测2详细解析】（1）当时，由题得，当时，；，故（2）由于，当时，恒成立，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减【反馈检测3答案】A【反馈检测3详细解析】中，|， ，边上的高线为，点位于线段上，建立平面直角坐标系，如图所示；则、设 ，则，；，解得或；向量在向量上的投影为，当时，；当时，即向量在向量上的投影为或，故选A. 11
