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1、第04讲：转化化归思想情形之13-16【知识要点】 一、数学思想是人对数学知识的本质认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点，它在认识过程中被反复运用，带有普遍的指导意义.是建立数学和用数学解决问题的指导思想，而且数学思想是数学学科的精髓，是数学素养的重要内容之一.学生只有领会了数学思想，才能有效地应用知识，形成能力.在我们解决数学问题进行数学思维时，也总是自觉或不自觉地运用数学思想方法.高中数学解题常用的数学思想有数形结合思想、分类讨论思想、转化化归思想、函数方程思想等.二、在解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解比较困难，通过观察、分析等思维过程,需将原问题转化为
2、一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的），通过对新问题的求解，达到解决原问题的目的.这一思想方法我们称之为“转化化归思想”.转化化归思想就是化难为易，化生为熟，化繁为简，化未知为已知.转化化归思想的情形很多，常见的情形见后面的方法讲评.三、转化化归要遵循的几个基本原则有：目标简单化原则、和谐统一性原则、熟悉化原则、直观化原则.四、本讲讲了转化化归思想情形之13-16, 情形13：线面关系的转化化归；情形14：由因导果的转化化归；情形15：复杂简单的转化化归；情形16：特殊一般的转化化归.【方法讲评】转化化归情形十三线面关系的转化化归在解答空间几何问题时，经常要进行面面关系、线面关系和线线关系的相
3、互转化，完成解题目标.【例1】如下图所示，该几何体是由一个直三棱柱和一个正四棱锥组合而成，,.（1）证明：平面平面；（2）当正四棱锥的高为1时，求几何体的体积.【解析】（1）证明：直三棱柱中，平面，所以，又，所以平面，平面，所以平面平面.（2）由（1）平面，取中点，连接，则为正四棱锥的高，过【点评】（1）要证明平面平面，可以转化证明平面,要证明平面，可以转化证明，. 这就是把面面垂直的问题转化成线面垂直，再把线面垂直的问题转化成线线垂直的问题. 实际上就是线面关系的转化化归. (2)空间直线平面平行垂直位置关系的证明，经常要利用转化的思想，进行线线、线面、面面关系的合理转化.【反馈检测1】如图
4、，直三棱柱中，分别是棱的中点，点在棱上，已知.（1）求证：平面；（2）设点在棱上，当为何值时，平面平面.转化化归情形十四由因导果的转化化归有些数学问题，我们只要利用我们所学过的定义、定理和公式等，把已知和未知的化简，最后解题目标自然就完成了.【例2】已知函数（）的最小正周期为（）求的值；（）求函数在区间上的取值范围【解析】（）因此，即的取值范围为【点评】（1）本题先要利用三角诱导公式、二倍角公式、降幂公式、辅助角公式化简得，再代三角函数的周期公式即可求出的值，思路很自然，属于典型的由因导果转化化归.（2）对于复合函数的问题自然是利用复合函数的性质解答，求复合函数的最值，一般从复合函数的定义域入
5、手，结合三角函数的图像一步一步地推出函数的最值.这在有的资料上称为“增肥法”.（3）这种方法的关键是由得到，这一步的完成主要是把看成一个整体，通过观察正弦函数的图像得到.【反馈检测2】已知函数.（1）若，当时，求的单调递减区间；（2）若函数有唯一的零点，求实数的取值范围.转化化归情形十五复杂简单的转化化归对于比较复杂的数学问题，我们要利用我们所学过的知识把复杂的问题变成简单的问题，减少解题的繁琐，优化解题，提高解题效率.【例3】如图，在底面为梯形的四棱锥中，已知，（）求证：；（）求三棱锥的体积在中，为的中点，且，在中， 为直角三角形，且又，且 平面【点评】(1)求三棱锥的体积，如果把作底面，则
6、点到底面的高不易求得，比较复杂，所以这时我们要寻找简单高效的方法. 如果把作底面，求点到底面的距离就方便多了，因为可以证明就是点到底面的距离.把三棱锥的体积转化成三棱锥的体积是本题的关键. (2)本题就是利用了转化化归的思想，把复杂的问题化归成简单的问题.【反馈检测3】如下图所示，该几何体是由一个直三棱柱和一个正四棱锥组合而成，,.（1）证明：平面平面；（2）当正四棱锥的高为1时，求几何体的体积.转化化归情形十六特殊一般的转化化归对于有些数学问题，只有通过列举找规律才好解答，所以我们可以通过列举找到规律性的结论，帮助我们完成解题目标. 【例4】在数列中，且，（1）求的值；（2）猜测数列的通项公
7、式，并用数学归纳法证明.【点评】（1）本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明.（2）归纳法在主观题中一般用的比较少，一是因为它要给予严格的证明，二是有时数列的通项并不好猜想.如果其它方法实在不行，再考虑利用归纳法.（3）本题就是利用了转化化归的思想，由特殊到一般.【反馈检测4】在单调递增数列中，且成等差数列，成等比数列，（1）分别计算，和，的值；（2）求数列的通项公式（将用表示）；（3）设数列的前项和为，证明：，【例5】数列的通项，其前项和为，则为（ ）A. B. C. D. 【解析】题意得， ，则，所以数列的和具有周期性且；所
8、以，故选C.【点评】(1)对于已经不能化简，也不方便求出数列的通项，这时，我们一般可以通过列举找到数列的规律再分析解答.(2)通过列举，我们发现，该数列没有周期性，但是每四项的和具有周期性，每四项的和都等于2. 通过前面特殊的项找到规律，再推广到一般，实际上数学转化化归的思想，从特殊到一般.【反馈检测5】数列满足， （），为数列的前项和，则（ ）A. 5100 B. 2550 C. 2500 D. 2450转化化归思想在高中数学中的应用情形归纳 第04讲：转化化归思想情形之13-16参考答案【反馈检测1答案】(1)证明见解析；(2).【反馈检测1详细解析】（1）证明：连结交于，连结.因为为中线
9、，则为的重心，故,故又故.易证与相交，故平面.x-k/w又平面，故平面平面.【反馈检测2答案】（1）和；（2）.【反馈检测2详细解析】（1）定义域为，的单调递减区间是和.（2）问题等价于有唯一的实根，显然，则关于的方程有唯一的实根，构造函数，则，由，得，当时，单调递减；当时，单调递增，所以的极小值为，作出函数的大致图象，则要使方程的唯一的实根，只需直线与曲线有唯一的交点，则或，解得或.故实数的取值范围是.【反馈检测3答案】（1）证明见解析；（2）.因为，则四边形为正方形，所以.所以.所以，几何体的体积为.【反馈检测4答案】，.【反馈检测4详细解析】（1）由已知，得，. （2），；，.猜想,，以下用数学归纳法证明之当时，猜想成立；假设时，猜想成立，即,，那么, 时，猜想也成立由，根据数学归纳法原理，对任意的，猜想成立 当为奇数时，； 当为偶数时， 即数列的通项公式为 （方法2）由（2）得以下用数学归纳法证明，当时，；当时，时，不等式成立 假设时，不等式成立，即，那么，当为奇数时，；综上所述：【反馈检测5答案】B【反馈检测5详细解析】由（），可得 ， ，所以偶数项成等差数列,所以 ，故选B.12
