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1、第2讲数列的求和问题1(2016课标全国甲)Sn为等差数列an的前n项和，且a11，S728.记bnlg an，其中x表示不超过x的最大整数，如0.90，lg 991.(1)求b1，b11，b101；(2)求数列bn的前1 000项和解(1)设an的公差为d，据已知有721d28，解得d1.所以an的通项公式为ann.b1lg 10，b11lg 111，b101lg 1012.(2)因为bn所以数列bn的前1 000项和为1902900311 893.2(2016山东)已知数列an的前n项和Sn3n28n，bn是等差数列，且anbnbn1.(1)求数列bn的通项公式；(2)令cn，求数列cn的
2、前n项和Tn.解(1)由题意知，当n2时，anSnSn16n5，当n1时，a1S111，所以an6n5.设数列bn的公差为d.由即可解得b14，d3，所以bn3n1.(2)由(1)知，cn3(n1)2n1.又Tnc1c2cn，得Tn3222323(n1)2n1，2Tn3223324(n1)2n2两式作差，得Tn322223242n1(n1)2n233n2n2，所以Tn3n2n2.高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求一般数列的和，体现转化与化归的思想.热点一分组转化求和有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等
3、差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并例1等比数列an中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足：bnan(1)nln an，求数列bn的前n项和Sn.解(1)当a13时，不合题意；当a12时，当且仅当a26，a318时，符合题意；当a110时，不合题意因此a12，a26，a318，所以公比q3.故an23n1 (nN*)(2)因为bnan(1)nln an23n1(1)nln(23n1)23n1(1)nln
4、2(n1)ln 323n1(1)n(ln 2ln 3)(1)nnln 3，所以Sn2(133n1)111(1)n(ln 2ln 3)123(1)nnln 3.当n为偶数时，Sn2ln 33nln 31；当n为奇数时，Sn2(ln 2ln 3)ln 33nln 3ln 21.综上所述，Sn思维升华在处理一般数列求和时，一定要注意使用转化思想把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和，在求和时要分析清楚哪些项构成等差数列，哪些项构成等比数列，清晰正确地求解在利用分组求和法求和时，由于数列的各项是正负交替的，所以一般需要对项数n进行讨论，最后再验证是否可以合并为一个公式跟踪演练1(2015湖南
5、)设数列an的前n项和为Sn，已知a11，a22，且an23SnSn13，nN*.(1)证明：an23an；(2)求Sn.(1)证明由条件，对任意nN*，有an23SnSn13，因而对任意nN*，n2，有an13Sn1Sn3.两式相减，得an2an13anan1，即an23an，n2.又a11，a22，所以a33S1S233a1(a1a2)33a1，故对一切nN*，an23an.(2)解由(1)知，an0，所以3.于是数列a2n1是首项a11，公比为3等比数列；数列a2n是首项a22，公比为3的等比数列因此a2n13n1，a2n23n1.于是S2na1a2a2n(a1a3a2n1)(a2a4a
6、2n)(133n1)2(133n1)3(133n1).从而S2n1S2na2n23n1(53n21)综上所述，Sn热点二错位相减法求和错位相减法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列anbn的前n项和，其中an，bn分别是等差数列和等比数列例2已知数列an的前n项和为Sn，且有a12,3Sn5anan13Sn1(n2)(1)求数列an的通项公式；(2)若bn(2n1)an，求数列bn的前n项和Tn.解(1)3Sn3Sn15anan1(n2)，2anan1，又a12，an是首项为2，公比为的等比数列，an2()n1()n222n.(2)bn(2n1)22n，Tn121
7、320521(2n1)22n，Tn120321(2n3)22n(2n1)21n，Tn22(202122n)(2n1)21n2(2n1)21n6(2n3)21n，Tn12(2n3)22n.思维升华(1)错位相减法适用于求数列anbn的前n项和，其中an为等差数列，bn为等比数列；(2)所谓“错位”，就是要找“同类项”相减要注意的是相减后得到部分，求等比数列的和，此时一定要查清其项数(3)为保证结果正确，可对得到的和取n1,2进行验证跟踪演练2已知正项数列an的前n项和Sn满足：4Sn(an1)(an3)(nN*)(1)求an；(2)若bn2nan，求数列bn的前n项和Tn.解(1)4Sn(an1
8、)(an3)a2an3，当n2时，4Sn1a2an13，两式相减得，4anaa2an2an1，化简得，(anan1)(anan12)0，an是正项数列，anan10，anan120，对任意n2，nN*都有anan12，又由4S1a2a13得，a2a130，解得a13或a11(舍去)，an是首项为3，公差为2的等差数列，an32(n1)2n1.(2)由已知及(1)知，bn(2n1)2n，Tn321522723(2n1)2n1(2n1)2n，2Tn322523724(2n1)2n(2n1)2n1，得，Tn3212(2223242n)(2n1)2n162(2n1)2n12(2n1)2n1.热点三裂项
9、相消法求和裂项相消法是指把数列和式中的各项分别裂开后，某些项可以相互抵消从而求和的方法，主要适用于或(其中an为等差数列)等形式的数列求和例3已知等比数列an的各项均为正数，a11，公比为q；等差数列bn中，b13，且bn的前n项和为Sn，a3S327，q.(1)求an与bn的通项公式；(2)设数列cn满足cn，求cn的前n项和Tn.解(1)设数列bn的公差为d，a3S327，q，q293d27,6dq2，解得q3，d3.an3n1，bn3n.(2)由题意及(1)，得Sn，cn.所以Tn11.思维升华(1)裂项相消法的基本思想就是把通项an分拆成anbnkbn(k1，kN*)的形式，从而达到在
10、求和时某些项相消的目的，在解题时要善于根据这个基本思想变换数列an的通项公式，使之符合裂项相消的条件(2)常用的裂项公式()；()；()跟踪演练3(1)设Sn为等差数列an的前n项和，a22，S515，若的前m项和为，则m的值为()A8 B9 C10 D11(2)已知数列an的通项公式为anlog2 (nN*)，设其前n项和为Sn，则使Sn5成立的正整数n有()A最小值63 B最大值63C最小值31 D最大值31答案(1)B(2)A解析(1)设数列an的首项为a1，公差为d，则有a1d1，ann，.11，m9.(2)anlog2 (nN*)，Sna1a2anlog2log2log2(log22
11、log23)(log23log24)log2(n1)log2(n2)log22log2(n2)log2，由Sn5log262，故使Sn5成立的正整数n有最小值63.1已知数列an的通项公式为an，其前n项和为Sn，若存在MZ，满足对任意的nN*，都有SnM恒成立，则M的最小值为_押题依据数列的通项以及求和是高考重点考查的内容，也是考试大纲中明确提出的知识点，年年在考，年年有变，变的是试题的外壳，即在题设的条件上有变革，有创新，但在变中有不变性，即解答问题的常用方法有规律可循答案1解析因为an，所以Sn()()1，由于10)，且4a3是a1与2a2的等差中项(1)求an的通项公式；(2)设bn，
12、求数列bn的前n项和Tn.押题依据错位相减法求和是高考的重点和热点，本题先利用an，Sn的关系求an，也是高考出题的常见形式解(1)当n1时，S1a(S1a11)，所以a1a，当n2时，Sna(Snan1)，Sn1a(Sn1an11)，由，得anaan1，即a，故an是首项a1a，公比为a的等比数列，所以anaan1an.故a2a2，a3a3.由4a3是a1与2a2的等差中项，可得8a3a12a2，即8a3a2a2，因为a0，整理得8a22a10，即(2a1)(4a1)0，解得a或a(舍去)，故an()n.(2)由(1)，得bn(2n1)2n，所以Tn32522723(2n1)2n1(2n1)2n，2Tn322523724(2n1)2n(2
