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1、(二)立体几何1(2015江苏)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知ACBC，BCCC1.设AB1的中点为D，B1CBC1E.求证：(1)DE平面AA1C1C；(2)BC1AB1.证明(1)由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此DEAC.又因为DE平面AA1C1C，AC平面AA1C1C，所以DE平面AA1C1C.(2)因为棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1平面ABC.因为AC平面ABC，所以ACCC1.又因为ACBC，CC1平面BCC1B1，BC平面BCC1B1，BCCC1C，所以AC平面BCC1B1.又因为BC1平面BCC1B1，所以BC1AC.因为BCCC1，
2、所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1B1C.因为AC平面B1AC，B1C平面B1AC，ACB1CC，所以BC1平面B1AC.又因为AB1平面B1AC，所以BC1AB1.2在直三棱柱ABCA1B1C1中，CACB，AA1AB，D是AB的中点(1)求证：BC1平面A1CD；(2)若点P在线段BB1上，且BPBB1，求证：AP平面A1CD.证明(1)连结AC1，设交A1C于点O，连结OD.四边形AA1C1C是矩形，O是AC1的中点在ABC1中，O，D分别是AC1，AB的中点，ODBC1.又OD平面A1CD，BC1平面A1CD，BC1平面A1CD.(2)CACB，D是AB的中点，CDAB.又在直三
3、棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC侧面AA1B1B，交线为AB，CD平面ABC，CD平面AA1B1B，AP平面A1B1BA，CDAP.BB1BA，BB1AA1，BPBB1，RtABPRtA1AD，从而AA1DBAP，AA1DA1APBAPA1AP90，APA1D.又CDA1DD，CD平面A1CD，A1D平面A1CD.AP平面A1CD.3.如图，在三棱锥PABC中，PACBAC90，PAPB，点D，F分别为BC，AB的中点(1)求证：直线DF平面PAC；(2)求证：PFAD.证明(1)点D，F分别为BC，AB的中点，DFAC，又DF平面PAC，AC平面PAC，直线DF平面PAC. (2)PAC
4、BAC90，ACAB，ACAP，又ABAPA，AB，AP在平面PAB内，AC平面PAB，PF平面PAB，ACPF，PAPB，F为AB的中点，PFAB，ACPF，PFAB，ACABA，AC，AB在平面ABC内，PF平面ABC, AD平面ABC，ADPF. 4.如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，AB2AD，PD底面ABCD，E，F分别为棱AB，PC的中点(1)求证：EF平面PAD；(2)求证：平面PDE平面PEC.证明(1)取PD的中点G，连结AG，FG. 因为F，G分别是PC，PD的中点，所以GFDC，且GFDC，又E是AB的中点，所以AEDC，且AEDC，所以GFAE，且GFAE，
5、所以AEFG是平行四边形，故EFAG. 又AG平面PAD，EF平面PAD，所以EF平面PAD. (说明：也可以取DC中点，用面面平行来证线面平行)(2)因为PD底面ABCD，EC底面ABCD，所以CEPD.取DC中点H，连结EH.因为ABCD是矩形，且AB2AD，所以ADHE，BCHE都是正方形，所以DEHCEH45，即CEDE. 又PD，DE是平面PDE内的两条相交直线，所以CE平面PDE. 而CE平面PEC，所以平面PDE平面PEC. 5(2016北京)如图，在四棱锥PABCD中，PC平面ABCD，ABDC，DCAC.(1)求证：DC平面PAC；(2)求证：平面PAB平面PAC；(3)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA平面CEF？说明理由(1)证明PC平面ABCD，DC平面ABCD，PCDC.又ACDC，PCACC，PC平面PAC，AC平面PAC，DC平面PAC.(2)证明ABCD，CD平面PAC，AB平面PAC，又AB平面PAB，平面PAB平面PAC.(3)解棱PB上存在点F，使得PA平面CEF.证明如下：取PB的中点F，连结EF，CE，CF.又E为AB的中点，EF为PAB的中位线，EFPA.又PA平面CEF，EF平面CEF，PA平面CEF.4
