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1、第五章數學為科學之母,5.1數學發展史,原始時代的數學內容：只包含算術，也就是計算相關的學科 中期的數學內容：分化成代數（Algebra）、幾何（Geometry）、分析（Analysis）、統計（Statistics）及離散數學（Discrete Mathematics）等好幾大類 今日的數學的內容更加廣泛，例如離散數學已擴展成今日計算機科學的基礎 數學的分類並非全無交集，例如解析幾何既是幾何也是代數；而一般中學生所學的三角函數，更是包含幾何、代數、函數分析等不同方面的應用,5.1.1早期數學的發展,古希臘的數學家畢達哥拉斯（Pythagoras）發現並證明了畢氏定理a2+b2=c2 在中國
2、，畢氏定理相傳是由商末周初時的大臣商高所發現，故稱之為商高定理，又名勾股定理，而商高的年代約為公元前1100多年左右，早於畢達哥拉斯的年代，而在東周戰國時代的周髀算經中即有記載商高定理,歐幾里德（Euclid）與阿基米德（Archimedes）,古希臘數學家歐幾里德，大約在公元前300年左右，寫了幾何學原理一書,阿基米德螺線,祖沖之,573年，中國南北朝時期的數學家祖沖之，就已經算出圓周率（）的範圍是3.14159263.1415927，且近似等於355/113（密率）或22/7（疏率），這項成就領先西方近1000年,5.1.2 文藝復興時代之後的數學發展,1637年，法國哲學家兼數學家笛卡兒
3、(Descartes)提出解析幾何之觀念，他引進了座標系統，將平面或空間中的點予以明確定位，因而一個代數方程式可以表示一個曲線或曲面，反之亦然。於是代數和幾何學便能連貫起來,解析幾何之例,求解聯立方程式之根與求兩條直線的交點的數學意義為相同,數學界的莎士比亞尤拉（Euler） 1707-1783,尤拉之作品範圍涵蓋微積分、微分方程、解析幾何、微分幾何、數論、級數、數學物理等,數學王子高斯(Gauss) 1777- 1855,高斯從小就是數學天才，他的小學老師要他計算1+2+3+4+100等於多少，他馬上就推導出著名的等差級數公式 ，讓老師嚇了一跳 高斯在22歲時即完成其博士論文，在數學史上和阿
4、基米德、牛頓並列為三大數學家,高斯其研究包括整數論、代數、非歐幾何、複變函數分析、統計學和微分幾何等。他提出代數基本定理，還曾經與柯西(Cauchy)發現複變函數中著名的柯西積分定理，他還把數學應用於天文學、測量學、電磁學和重力等方面的研究上,柯西(Cauchy) 1789-1857,法國數學家柯西最重要的貢獻是在微積分學、複變函數和微分方程這三個領域，他曾被任命為法國科學院院士。他定義了一系列的微積分學準則，也和馬克勞林(Maclaurin) 發現了用來測試無限級數是否收歛的積分檢驗法,黎曼（Riemann） 1826-1866,德國數學家黎曼在分析學和微分幾何上有很重要的貢獻。數學中以他的
5、名字命名的定理或學門不少，例如黎曼積分、黎曼曲面、柯西黎曼方程式等。黎曼算是高斯的學生，1854年他開創了黎曼非歐幾何，並為愛因斯坦的廣義相對論提供了數學基礎,黎曼曲面,5.2 學習數學的重要性與途徑,學習數學可使人能夠變得更聰明，以下便為一個例子： 老農夫過世留下五頭牛，遺囑要將五頭牛分給兩個兒子：老大得二分之一，老二得三分之一，而經過以下計算：51/2=2.5，於是老大分得2.5頭牛，51/3=1.66，於是老二分得1.66頭牛，因此兩個兒子便打算宰殺牛隻以完成父親的心願。此時有個聰明的鄰居帶來自己的一頭牛，再經過以下計算：（5+1）1/2=3，於是老大分得3頭活牛；（5+1）1/3=2，
6、於是老二分得2頭活牛，而最後剩下1頭活牛再由鄰居帶回去。 數學解釋：因為1/2+1/3=5/6 1，所以採用老農夫遺囑的方法絕對無法完美分配遺產。但是（5+1）/6=1，因此必須用聰明鄰居的方法，再加一頭牛進來，才可以完美地分配牛隻,善用圖形與符號是學習數學的不二法門,範例一：如果華岡婚友社想要撮合3個男生：周杰倫(a)、劉德華(b)、蘇友朋(c) 與 4個女生：林志玲(r)、侯佩岑(s)、林嘉綺(t)、白歆惠(u)。如果周杰倫喜歡林志玲與侯佩岑，劉德華喜歡侯佩岑與白歆惠，蘇友朋喜歡林志玲、林嘉綺與白歆惠，那麼是否每個男生都可以配到心愛的女人？,吾人以a、b、c為代號表示3位男生，畫在左側，代
7、表第一個族群；而以r、s、t、u為代號表示4位女生，畫在右側，代表第二個族群 根據上圖所示，華岡婚友社可安排周杰倫配林志玲，劉德華配侯佩岑，蘇友朋配林嘉綺；或安排周杰倫配侯佩岑，劉德華配白歆惠，蘇友朋配林志玲,霍爾結婚定理(Halls Marriage Theorem),兩個分開的族群，彼此之間有連線。其中第一個族群的任一個部份集合的元素個數為m，而其連線至第二個族群的對應的個數為n。如果mn，則第一個族群中的每一個元素都可在第二個族群中找到一個專屬於自己的匹配元素,如果霍爾結婚定理不成立，則媒介婚配時便無法使得每位徵婚者獲得滿意的結果,範例二：如果華岡婚友社想要配對3個男生：金城武、彭政閔、
8、陽岱鋼與4個女生：瑤瑤（r）、阿喜（s）、安心亞（t）、蔡淑臻（u）。假設金城武喜歡瑤瑤與安心亞，彭政閔喜歡安心亞，陽岱鋼喜歡瑤瑤與安心亞，那麼是否每個男生都可以配到心愛的女生？,繪出圖形可以看出：對金城武、彭政閔、陽岱鋼3人而言，他們連線出去的人只有瑤瑤、安心亞二人，於是m=32=n，因為不滿足霍爾結婚定理，所以無法每個男生都可以配到心愛的女生。例如假設金城武配瑤瑤而彭政閔配安心亞，則陽岱鋼就配不到喜歡的女生。同樣地，如果陽岱鋼配瑤瑤而彭政閔配安心亞，則金城武就配不到心愛的女生,5.3邏輯學與集合論,邏輯學可訓練人的思考趨於理智，並且重視因果關係，以避免在推理上產生矛盾現象。而一般人在生活中
9、常出現許多矛盾之處，例如 民歌手鄭怡的一首歌之歌詞：苦苦的一杯酒，淡淡地沒有滋味， 男歌星余天的一首歌之歌詞：有一位陌生的女孩，我們時常見面，,若p則q與若非q則非p的邏輯相等,範例：因為林志玲很漂亮，所以有些男生喜歡她與因為沒有男生喜歡林志玲，所以這表示她不漂亮，這兩句話的邏輯意義其實是相同的，都是表示男生只喜歡漂亮女生的意思,若p則q與若非p否則q邏輯相等,範例： 因為林志玲很漂亮，所以男生都喜歡她與因為林志玲長得不漂亮，否則就會有男生喜歡她，這兩句話邏輯相等，也都是表示男生只喜歡漂亮女生的意思,笛摩根第一定律（De Morgans First Law）：否定（p與q）與非p或非q的邏輯相
10、等,範例：如果隋棠與白歆惠都是美女不正確，即表示隋棠不美或是白歆惠不美，反之亦然,笛摩根第二定律（De Morgans Second Law）：否定（p或q）與非p與非q的邏輯相等,例：如果白歆惠很醜或是隋棠很醜不正確，即表示白歆惠與隋棠都是美女,羅素詭論（Russells Paradox）：事情的任何發展結果均與其前題假設產生矛盾,範例一：某犯人被判死刑即將執行，臨死前法官對犯人說：如果你所交待的遺言是實話則可免死，如果是謊話則非死不可！於是這位聰明的犯人便說：我將被處決。因此這位犯人便僥倖存活。事實上，這是一位非常聰明的犯人所說的話，因為如果我將被處決是實話，則依照法官的命令，犯人可以免死
11、；但如果我將被處決是謊話，則表示犯人不會被處決。所以無論是以上那種情況，這犯人都不會死,範例二：有一位男性理容師，他只為不為自己刮臉的人刮臉，那麼他到底要不要為自己刮臉？如果他為自己刮臉，那麼他就是為自己刮臉的人，所以依據他的原則，他就不應該為自己刮臉；如果他不為自己刮臉，那他就是不為自己刮臉的人，依據他的原則，他就該為自己刮臉,許多邏輯學的論述也可以用集合理論來表示,中國戰國時代公孫龍之白馬非馬的理論：求馬，黃黑馬皆可致。求白馬，黃黑馬不可致是白馬之非馬審矣 以數學集合理論來說，表示包含所有白馬的集合比較小，會被包含在所有馬的集合中，因為馬的顏色除了白色以外，還有黃色、黑色或其他顏色的馬，所
12、以白馬不能代表所有的馬,5.4機率論與統計學,機率論是指對於大量數目的偶然現象，探討其出現某種結果的比率。統計學則是記錄許多個體的現象，並配合機率的觀念，來反推大量（或全體）數目的某些特性,5.4.1機率與樣本空間的關係,機率理論探討的是數目很多的群體現象，而非少數或單一個體的情況，因此其結論只適用在多數群體而非少數個體。例如某種癌症的治癒機率是50%，是表示有一大群此種癌症的患者，約有一半人可以治癒，但是如果某醫生只治療兩個此種癌症的病人，第一個患者不治死亡，並不表示第二位患者一定會痊癒,機率的大小與樣本空間的選取有關,如果以每年發生的次數來看，車禍發生的機率遠大於空難，所以車禍較可怕；但是
13、如果以發生之後的死亡人數來看，空難死亡的機率遠大於車禍，因此兩者的可怕情況必須視樣本空間的選取情況而定 一般而言，統計結果須滿足以下幾個條件才正確：隨機取樣，取樣數目要多，統計過程不能改變原先全體之特性,5.4.2統計學及其應用,統計學一般常用在預測事情最可能之結果，例如選舉時的民意調查、收視率調查等，但是如果統計步驟違反了以上三個原則，則預測結果可能會出錯 1948年美國總統大選，當時美國的民意調查顯示共和黨候選人杜威的支持率遙遙領先民主黨候選人杜魯門，可是開票結果卻是杜魯門當選，後來經過分析才知道原來是當時美國只有富裕的家庭才會裝設電話，因此當年使用電話訪問來做民意調查，只能看出有錢人的投
14、票傾向較支持杜威,統計學所得到之結論並非絕對準確，可以有少數例外，例如：多運動，身體才會健康的結論就不一定百分之百正確，因為對大多數人而言，以上之結論雖然正確，但是有少數人雖然很少運動，身體也很健康；甚至於還有少數人雖然時常運動，身體也不健康 純粹的數學公式或定律以及其所推導的結論則一定正確。例如幾何學的畢氏定理：如果a、b、c分別是直角三角形的兩邊與斜邊長度，則a2+b2=c2的性質，無論在何種情況，一定完全正確。,統計數據常附有正負誤差範圍，所以在觀看這些數據時，必須加以考慮進來,範例：A頻道收視率為20%，B頻道收視率為18%，C頻道收視率只有6%。如果上述統計的誤差皆為正負5%，那麼是
15、否實際收看A頻道的人會比看B頻道或看C頻道的人多？實際上，如果考慮正負誤差範圍，A頻道的實際收視率在15%25%之間，B頻道的實際收視率為13%23%之間，C頻道的實際收視率為1%11%之間，所以實際收看A頻道的人不一定會比B頻道的人多，但一定高於C頻道的人,統計學所得到結論不一定為因果相關（或邏輯相關），有時只是表示統計相關,肥胖的人較易得心臟病是屬於因果相關，表示肥胖是導致心臟病的原因之一 冰淇淋銷路好的時候，游泳溺斃的人也較多則是屬於統計相關，但非因果相關，因為冰淇淋銷路好並非導致游泳溺斃的原因，只是二者都常在天氣熱的時候發生，所以統計上會出現冰淇淋銷路好與游泳溺斃具有相關性,一般的算命
16、理論大多來自古代人的統計結論，但是缺乏實際數據，而且大多是統計相關而非因果相關的結論,星座理論：處女座的人做事較龜毛（做事拖拖拉拉，猶豫不決）。此命題說明可能有很多個處女座人士很龜毛，但是究竟有多少百分比的處女座人士很龜毛？從古至今的星座算命書籍並未有確切的統計數據留下來，而且處女座並非導致龜毛的原因，所以二者並非因果相關，而是統計相關,2004年暑假期間，文化大學電機系的同學許銘峻、羅勝名、吳文勝、莊仲岳等人便對易經占卜的準確度作了實驗統計。他們連續34個交易日，每天隨機挑選10支股票，用易經占卜法來預測當日股票漲跌情況，一共預測了340支股票。同一期間，他們也用第六感直覺預測第5至第34個交易日之當日股票漲跌來作為比較，一共用直覺預測了300支股票。同時也在第1至第30個交易日連續上網抽籤預測當日股票之漲跌，一共上網抽籤預測了300支股票。結果他們發現之占卜累計平均準確率可達60.6%，直覺累計平均準確率為52.4%，而上網抽籤累計平均準確率只有33.9%，他們並繪出其統計曲線圖,各式占卜法之準確率統計曲線,算命的準確率之心理分析,對於一般人而
