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1、第五章 留数及其应用,5.1 孤立奇点 5.2 留数 5.3 留数在定积分计算上的应用,5.1 孤立奇点,函数不解析的点称为奇点.如果函数 f (z)虽在z0不解析, 但在z0的某一个去心邻域0|z-z0|d内处处解析, 则z0称为f (z)的孤立奇点.,将函数 f (z)在其孤立奇点z0的去心邻域0|z-z0|d内展开成洛朗级数. 根据展开式中所含负幂项的不同情况对孤立奇点分类如下：,可去奇点 如果在洛朗级数中不含z-z0的负幂项, 则称孤立奇点z0为 f (z)的可去奇点.,f(z)=c0+c1(z-z0)+.+cn(z-z0)n +.,0|z-z0|d,则在圆域|z-z0|d内恒有f(z
2、)=c0+c1(z-z0)+.+cn(z-z0)n+.,从而 f (z)在z0点也解析.故z0称为可去奇点.,2. 极点 如果在洛朗级数中只有有限多个z-z0的负幂项, 且其中关于(z-z0)-1的最高幂为 (z-z0)-m, 即f(z)=c-m(z-z0)-m +.+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1+c0+ c1(z-z0)+.(m1, c-m0),则称孤立奇点z0为函数 f (z)的m级极点.,上式也可写成:,其中 g (z) = c-m+ c-m+1(z-z0) + c-m+2(z-z0)2 +., 在 |z-z0|d 内是解析的函数, 且 g (z0) 0 .,反过来,
3、当任何一个函数 f (z) 能表示为(*)的形式, 且g (z0) 0 时, 则z0是 f (z)的m级极点.,如果z0为 f(z)的极点, 由(*)式知,3. 本性奇点 如果在洛朗级数中含有无穷多z-z0的负幂项,则孤立奇点z0称为 f (z)的本性奇点.,综上所述:,我们可以利用上述极限的不同情形来判别孤立奇点的类型.,4.函数的零点与极点的关系,例如当f(z)=z(z-1)3时,z=0与z=1是它的一级与三级零点.,根据这个定义, 我们可以得到以下结论:设f(z)在z0解析,则z0是f(z)的m级零点的充要条件是: f (n)(z0)=0, (n=0,1,2,.,m-1),f (m)(z
4、0)0 .,不恒等于零的解析函数f(z)如能表示成 其中 在z0解析且 , m为某一正整数, 则z0称为f(z)的m级零点.,因为, 若 f (z)在z0解析, 就必能在z0的邻域展开为泰勒级数: f(z)=c0+c1(z-z0)+.+cm(z-z0)m+，易证 z0是 f (z)的m级零点的充要条件是前m项系数 c0=c1=.=cm-1=0, cm0, 等价于 f (n)(z0)=0, (n=0,1,2,.,m-1), f (m)(z0)0 。,例如 z=1是f (z)=z3-1的零点, 由于 f (1) = 3z2|z=1=3 0, 从而知z=1是f (z)的一级零点.,所以 在z0的去心
5、邻域内不为零, 即不恒为零的解析函数的零点是孤立的.,由于 中的 在z0解析, 且 故 必在z0连续, 所以给定,该定理为判断函数的极点提供了更为简单的判别方法.,例3,对 讨论函数 在 处的性态。,5.2 留数,留数的定义 如果函数f(z)在z0的邻域D内解析,那么根据柯西积分定理,两端沿C逐项积分:,定义,定理一 设函数f(z)在区域D内除有限个孤立奇点 z1, z2, .,zn 外处处解析. C是D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线, 则,2.留数定理,证明 把C内的孤立奇点zk(k=1,2,.,n)用互不包含的正向简单闭曲线Ck围绕起来, 则根据复合闭路定理有,注意检查定理中的条件要满足
6、。例如,不能应用留数定理。,求函数在孤立奇点z0处的留数就是求它在去心邻域内所展洛朗级数中(z-z0)-1 项的系数 c-1 即可. 但如果知道奇点的类型, 对求留数会更有利.,如果z0是f (z)的可去奇点, 则Resf(z),z0=0 . 如果z0 是本性奇点, 则只好将其展开成洛朗级数. 如果z0 是极点, 则有如下规则:,3. (极点)留数的计算规则,规则2 如果z0为f(z)的m级极点, 则,事实上, 由于f(z)=c-m(z-z0)-m+.+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+.,(z-z0)m f(z)=c-m+c-m +1(z-z0)+.+c
7、-1(z-z0)m-1+c0(z-z0)m+.,规则1 如果z0为f (z)的一级极点, 则,令 zz0,右端的极限是(m-1)!c-1,两端除以(m-1)! 就是Resf(z),z0,即得规则2,当 m=1时就是规则1。,即得 规则3。,由规则1, 得,我们也可以用规则3来求留数:,比用规则1更简单!,例 4,例 5,解：,原式=,*5.3.在无穷远点的留数,f (z)在圆环域 R|z|内解析：,理解为圆环域内绕 的任何一条简单闭曲线。,这就是说,f(z)在点的留数等于它在点的去心邻R|z|+内洛朗展开式中 z-1 的系数变号.,定理二 如果f(z)在扩充复平面内只有有限个孤立奇点,那么f(
8、z)在所有各奇点(包括点)的留数总和必等于零.,证：除点外,设f(z)的有限个奇点为zk(k=1,2,.,n).且C为一条绕原点的并将zk(k=1,2,.,n)包含在它内部的正向简单闭曲线, 则根据留数定理与在无穷远点的留数定义, 有,所以规则4 成立.,定理二与规则IV为我们提供了计算函数沿闭曲线积分的又 一种方法, 在很多情况下, 它比利用上一段中的方法更简便.,例 6,解：,证明：,留数定理是复变函数的定理，若要在实变函数定积分中应用，必须将实变函数变为复变函数。留数定理又是涉及闭路积分的，要应用于定积分，必须先将定积分变为闭路积分中的一部分。,5.3 留数在定积分计算上的应用,如图，对
9、于实积分 ，变量x定义 在闭区间a,b(线段 )，此区间应是回路 的一部分。实积分要变为闭路积分，则实函数必须解析延拓到复平面上包含闭路的一个区域中,让实积分成为闭路积分的一部分：,其中f(z)是z的有理函数, 且在单位圆周|z|=1上分母不为零, 根据留数定理有,其中zk(k=1,2,.,n)为单位圆|z|=1内的f(z)的孤立奇点.,例1 计算 的值.,解: 由于 , 被积函数的分母在 内不为零,因而积分是有意义的.,在被积函数的三个极点z=0,p,1/p中只有前两个在圆周|z|=1内,其中z=0为二级极点,z=p为一级极点.,例2 计算 的值.,解：令,例3,解：,取积分路线如图所示,
10、其中CR是以原点为中心, R为半径的在上半平面的半圆周. 取R适当大, 使R(z)所有的在上半平面内的极点zk都包在这积分路线内.,此等式不因CR的半径R不断增大而有所改变.,例 4,例 5,解：,也可写为,例6 计算 的值.,解:这里m=2,n=1,m-n=1.R(z)在实轴上无孤立奇点,因而所求的积分是存在的. 在上半平面内有一级极点ai,例7 计算积分 的值.,解: 因为 是偶函数,所以,因此, 要算出所求积分的值, 只需求出极限,下面将证明,由于,所以,j(z)在z=0处解析,且j(0)=i, 当|z|充分小时可使|j(z)|2,而,由于,在r充分小时,本章重点与难点,拓展思考 复变函数中的可去奇点与实变函数中可去间断点有何共同之处?,How beautiful the sea is!,Lets have a rest!,
