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1、类型一 倍长中线针对演练1. 已知：点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点(点P不与点A、C重合)，分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E，F，点O为AC的中点(1)当点P与点O重合时如图，求证OEOF；(2)直线BP绕点B逆时针方向旋转，当OFE30时，如图、图的位置，猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系？请写出你对图、图的猜想，并选择一种情况给予证明第1题图2. 在等腰RtABC中，ABC90，BABC，在等腰RtCDE中，CDE90，DEDC，连接AD，F是线段AD的中点(1)如图，连接BF，当点D和点E分别在边BC和AC上时，若AB3，CE2，求BF的长
2、；(2)如图，连接BE、BD、EF，当DBE45时，求证：EFED.第2题图3. 在等腰RtABC中，ACBC，ACB90，CFAB交AB于点F，点D在AC上，连接BD，交CF于点G，过点C作BD的垂线交BD于点H，交AB于点E；(1)如图，ABDCBD，CG1，求AB的长；(2)如图，连接AH、FH，AHF90，求证：HBAH.第3题图4. 已知，在ABCD中，连接对角线AC，CAD的平分线AF交CD于点F，ACD的平分线CG交AD于点G，AF、CG交于点O，点E为BC上一点，且BAEGCD.(1)如图，若ACD是等边三角形，OC2，求ABCD的面积；(2)如图，若ACD是等腰直角三角形，C
3、AD90，求证：CE2OFAC.第4题图5. (2017重庆江北区模拟)如图，ABC和BDE都是等腰直角三角形，其中ACBBDE90，ACBC，BDED，连接AE，点F是AE的中点，连接DF.(1)如图，若B、C、D共线，且ACCD2，求BF的长度；(2)如图，若A、C、F、E共线，连接CD，求证：DCDF.第5题图6. (2017重庆南岸区模拟)在ABC中，点D是BC上的一点，点E是ABC外一点，且AEB90，过点C作CFAF，垂足为F，连接DE，DF.(1)如图，点D在AE上，D是BC中点，BAE30，CAE45，AB2，求AC的长；(2)如图，点D不在AE上，连接AD，延长CF至点G，连
4、接GD且GDAD，若BC平分ABE，GDAB.求证：DEDF.第6题图答案1. 解：(1)AEPB，CFBP，AEOCFO90，在AEO和CFO中，AOECOF(AAS)，OEOF；(2)图中的结论为：CF OEAE；图中的结论为：CFOEAE.选图中的结论如下：如解图，延长EO交CF于点G，第1题解图AEBP，CFBP，AECF，EAOGCO，在EOA和GOC中，EOAGOC(ASA)，EOGO，AEGC，在RtEFG中，EOOG，OEOFGO，OFE30，OFG903060，OFG是等边三角形，OFGF，OEOF，OEFG，CFFGCG，CFOEAE；选图的结论证明如下：如解图，延长EO交
5、FC的延长线于点G，AEBP，CFBP，第1题解图AECF，AEOG，在AOE和COG中，AOECOG(AAS)，OEOG，AECG，在RtEFG中，OEOG，OEOFOG，OFE30，OFG903060，OFG是等边三角形，OFFG，OEOF，OEFG，CFFGCG，CFOEAE.2. (1)解：在等腰RtCDE中，CDE90，DEDC，CE2，DEDC2.ABBC3，BD1，在RtABD中，AD.AFDF，BFAD.(2)证明：如解图，延长EF到点N，使得FNEF，连接BN，AN，延长DE交AB于点M，在AFN和DFE中，AFNDFE(SAS)，ANDEDC，FANFDE，DMAN，OMB
6、BAN.MOBOMB90，DOCOCD90，MOBDOC，OMBOCD，BANBCD.在BAN和BCD中，BANBCD(SAS)，ABNCBD，BNBD，DBNCBA90.DBE45，EBNEBD.BEBE，BNBD，BENBED(SAS)，DEEN2EF，EFED.第2题解图3. 解：(1)ACB90，ACBC，CFAB，FCBF，又CEBD，GCHGBF，FCEFBG(ASA)，GFEF，ABDCBD，BHBH，BHCBHE，BHCBHE(ASA)，BCBE，设GFx，则EFx，BFCFx1，BCEFBF2x1，CF2BF2BC2，2(x1)2(2x1)2，解得x1，x2(舍去)BC2x1
7、1，ABBC2.第3题解图(2)如解图，延长HF至点M，使HMAH，连接AM.AHF90，HAMHMA45，AMAH.CEBD，CFAB，CGHBGF，CHGBFG，CHGBFG，CGBFGH，GBCGFH，GHFGCB45.GHFFMA.ACBC，CFAB，AFBF，HFBAFM，HFBMFA(AAS)，BHAM，BHAH.4. 解：(1)ACD为等边三角形，CADACD60.AF、CG分别平分CAD、ACD，CAFCAD6030，ACGDCG6030，且AFCD，CD2CF， CAOACO30，AOCO2.在RtOCF中，DCG30，OFOC21，CF，AFAOOF213，CD22，S四边
8、形ABCDCDAF236；(2)如解图，延长OF到H，使FHOF，连接HD，OHOFFH2OF.第4题解图ACD为等腰直角三角形，AF平分CAD，CFDF，AFCD，又CFODFH，CFO DFH (SAS)，OCFHDF， CGHD，AOGH，AGOADH. 在RtOCF中，OCFCOF90，在RtACG中，ACGAGC90，CG平分ACD，ACGFCG，COFAGC，AOGAGC，AOAG，HADH， AHAD，AHAOADAG，即OHGD，2OFGD.四边形ABCD是平行四边形，ABCD，ADBC，BACACD.BAEDCG，BACBAEACDDCG，即EACACG，AECG，四边形AE
9、CG为平行四边形，ECAG.在RtACD中，ACAD，AGGDAD，CE2OFAC.5. 解：(1)ACCD2，DBDE4. 如解图，过A点作AHDE，垂足为H，则四边形AHDC是边长为2的正方形，AH2，HE246，在RtAHE中，AE2AH2HE2226240，在RtABC中，AB2AC2BC222228，在RtBDE中，BE2BD2DE2424232，AB2BE2AE2，ABE90，BF是斜边中线，BFAE.第5题解图(2)如解图，延长DF至M，使MFDF，连接AM，CM.第5题解图F是AE中点，AFEF，AFMDFE，AMFEDF(SAS)，AMDEBD，MAFDEF.又BCE BDE
10、90， CBDDEF，MACCBD，ACBC, AMBD，MACDBC(SAS)，CMCD，ACMBCD，MCDACB90，DCM是等腰直角三角形，又DFFM，CFDM，DFCF，DC22DF2，DCDF.6. 证明：(1)D是BC中点，BDCD.CFAE，CFACFD90.AEB90，AEBCFD.在BDE和CDF中，ECFD，EDBFDC，BDCD，BDECDF(AAS)CFBE.AEB90，BAE30，AB2，BE1，CF1.CFA90，CAE45，ACCF.第6题解图(2)如解图，BC平分ABE，12.CFEBEF90，23，13.在ABD和GCD中，4G，GDAD，13，ABDGCD(AAS)BDCD.延长FD交BE于点H.在BDH和CDF中，23，BDCD，HDBFDC，BDHCDF(ASA)，DHDF，DFHF.HEF90，DEHFDF.即DEDF.16
