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1、教学 参谋 解法探究 2014年9月 20 1 4年高考数学湖北卷理科压轴题解法探究 湖北省武汉市钢都中学梅柳红 2014年高考湖北卷理科第22题考查函数、导数、对 数函数、指数函数、幂函数及性质、不等式的证明，考查 逻辑思维能力、推理论证能力、运算求解能力及数据处 理与估算的能力，考查化归与转化思想以及分类讨论思 想本文给出该题的几种解法，与大家共勉 题目：1r为圆周率，e：2718 28为自然对数的底数 (I)求函数 )= 的单调区问； ()求e 、3e、e 、 、3 、 这6个数中的最大数与最 小数； ()将e 、3e e 、1Te、3 、叮r 这6个数按从小到大的顺 序排列，并证明你的
2、结论 解答：(I)函数厂( )的定义域为(0，+。) 厂 ( )= 1-1nx 一 当厂 ( )0，EPOe时，函数 )单调递减 故函数，【 )的单调递增区间为(O，e)，单调递减区间 为(e，+) (1)解法1：因为e ； 丌 3 由 。e，由(I)的结论，ln-Ra ，即l l 6 6, b 则当60e时， 6 在中，令a=3，b=Tt，得3 竹。； 在中，令 e，b=3，得3。2一旦 订 由得eln 2一詈)272一 12_7(2_088) 1T j1 =30243，IDelnrr3，亦Nllnwlne，所以e 63e6一e叮，IJ3n丌竹，所以e 2一一e 因为81T一9e8x31-9
3、x272=2482448=0320，所以 e 8 2一s9=190，2一詈2一詈= 詈 由得ln耵 ，ln百 ，即eln丌3，31nrrrr，故e 0，即0 2一三 盯 1T 1T 1T 以下同前面的解法 解法4：同解法1得只需比较e 与 和e i1T3的大小 设函数g( )：l眦一 +1( 1)，则g，( )： 一 ： 故当 ( )0，Pxl时，a(pc)单调递增，从而g( ) g(1)亍0，所以当 1时，有l眦1一一1 因此ln 1一旦，则ln订2一三 e 叮T 盯 以下同前面的解法 解法5：同解法1得lnrr2一一e 叮T 故ln竹2一三22，：7 22088：l_12，即ln盯112
4、1T 01 由得elnrI27x112=30243，Pelnrr3，亦即 lncrlne ，所以e 3x112rr，l131nnrr，所以er1)，则g，( )= 一 十l 2(x+1)一2(x一1) ( 一1) ( +1)2 一 ( +1) 学 谋 故当 1时，g ( )0，g(pc)单调递增，从而g( )g(1) ：0，所以当 1时，有l似 +1 n l 一 因此ln ，即ln1T3一 。 一IT i1 盯+。 从而ln1T3一 e_34x272：3一 3188： w+e 31+27 58 112，即ln订112 以下同解法5 该题第一问求函数的单调区间，考查导数作为工具 研究函数单调性的
5、方法，属于基本题型，试题较简单，考 生容易人手第一问的结果为在第二问、第三问中比较 数的大小提供了基础 第二问考查对数函数、指数函数的单调性，考查运 用第一问的结果来证明不等式的有关知识，同时考查化 归与转化思想，此问也不难 第三问对考生的综合运用能力和运算求解能力提 出了更高要求在第二问的基础上应该很自然地得到六 个数中的一些排列顺疗，只需考虑两个数排在何处，其 关键是得出关于lnrr的不等式，考查考生的探究能力 本题的三个小问层层推进，小问与小问间的衔接过 渡和逻辑关系自然，难度逐步加大，既能让一般考生在 压轴题上有得分，又能让优秀考生脱颖而出 以上几种解法，从不同的角度出发来解决问题本 题很有特色，也充分表现出高考题的不拘一格，给学生 很大的发挥空间竹和e是数学中最重要的两个常数，该 题以1T和e与它们中间的3为基础，由幂的运算组成六个 数，要求比较这六个数的大小试题构思独特，避开常见 题型套路；解法优美，不落俗套；背景深刻，富有余味，是 一道不可多得的好题圆圈 ， 高中版中7擞7 黼
